激趣——一道简单应用题及其变式的妙用

朱凤鸣　贾春辉

在高中数学学习中，应用题让很多学生感到头痛.在教学中，如果老师善于发现应用题的妙处，那么不但不会让学生头痛，反而会激发他们无穷的学习乐趣.笔者在教学过程中就发现并重新设计了一道这样的例题，并在教学中适时进行鼓励性评价，取得了很好的教学效果.

例题 某商场将进价8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现采用提高售价的方法增加利润.已知售价每提高1元，销售量就要减少5件，问售价定为多少元（整数）时，才能使每天所赚的利润最大？

这是在高一新生初入学，进行初高中衔接时用到的一道例题.题目难度不大，我首先让学生自己动手求解.很快很多学生就使用下面的方法给出正确答案：

解法1 设将售价定为x元，每天所赚利润为y元，则

即售价19元时利润最大，为605元.

评价 问什么，设什么.这种思路比较常用，很好.

提出问题：有没有什么其它的方法可以求解？有没有其它设法？

经过一段时间的思考，不少学生想出了下面的方法：

解法2 设将售价提高x元，每天所赚利润为y元，则

即售价提高9元，售价19元时利润最大，为605元.

评价：稍加变化.这种变化使计算简单，好.

还有少数同学使用下面的方法：

解法3 设提价后每件利润为x（x>2）元，每天所赚利润为y元

所以每件利润为11元，即售价19元时利润最大，为605元.

发现：使用这种设法的同学，大多在销售量的计算上出现了问题.

评价：非常好的想法！但是这种方法计算销售量比较困难，需要缜密思考.

经过上面的多种设法、一题多解的教学过程，因为学生在此过程中都想出了方法，得到了肯定和表扬，很急切地想继续做题.于是我展示了下面两个变式，只改变了其中一个数字，要求使用第一种设法求解.

变式1 某商场将进价8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现采用提高售价的方法增加利润.已知售价每提高1元，销售量就要减少6件，问售价定为多少元（整数）时，才能使每天所赚的利润最大？

解法 设将售价定为x元，每天所赚利润为y元，则

即售价17元时利润最大，为522元.

变式2 某商场将进价8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件.现采用提高售价的方法增加利润.已知售价每提高1元，销售量就要减少4件，问售价定为多少元（整数）时，才能使每天所赚的利润最大？

解法 设将售价定为x元，每天所赚利润为y元，则

即售价21或22元时利润最大，为728元.

解题情况：学生解决这两个问题比较顺畅，但是因为对二次函数的图象和性质了解不深，有些学生在取哪个整数的问题上存在争议.我没有给学生讲二次函数的性质，而是通过将数代入检验进行判断取哪个整数.

提出思考：

思考1 变式1中，1713介于17、18之间，为什么是17而不是18？能不能说出其中的数学道理？

思考2 变式2中，2112介于21、22之间，为什么利润相同？能不能说出其中的数学道理？

思考3 例题、变式1、变式2三种情况下利润分别是605元、522元、728元，什么因素导致了它们大小不同，其中的现实理由是什么？

思考4 变式2中，如果现实中你是商场经理，在同样利润的情况下，你会将价格定在21元还是22元？

思考1、2、3很顺利就解决了，原来存在疑问的学生也都明白了，而且总结出求二次函数最值的一般结论.

在思考4中出现了戏剧性的一幕：

在没经过太长时间思考的情况下，绝大多数同学选择将价格定在21元，只有一位同学坚持定价22元.

我先问为什么把价格定在21元，

“我可以让更多需要这种商品的人得到它”；

“我薄利多销…”

没等这位同学说完，那位定价22元的同学忍不住站起来说：“你薄利多销有什么用？又不多赚钱.我虽然卖的少，但是我成本会低，还会省下运费和时间，实际上我赚得更多！”

评价：我欣赏定价21元同学的心灵，同时我佩服定价22元同学的头脑.

后来，这位同学有了一个绰号，叫“奸商”；这个“奸商”在下一次的期中考试数学成绩从班级40多名跃居第三，并且一直很稳定；这个班的同学从此很喜欢学习数学，成绩一直很好.

这就是兴趣的力量，兴趣的培养和激发来自日常教学的点点滴滴.

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