从一道概率题透析杨辉三角的应用

于发智

2008年深圳一模数学（理科）第17题：将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A袋或B袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是1/2．

（Ⅰ）求小球落入A袋中的概率P(A)；

（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球，记ξ为落入A袋中的小球个数，试求ξ=3的概率和ξ的数学期望Eξ．

这是一道典型的以杨辉三角为背景的概率应用问题．

对于杨辉三角的构成，还可以有一种有趣的看法．

图1如图1，在一块倾斜的木板上钉上一些正六角形的小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方框子. 把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面，以后，落到第二层中间一个六角板的左边或右边的两个竖直通道里去．

再以后，它又会落到下一层的三个竖直通道之一里面去. 这里，如果要弹子落到最左边的通道里，那么它一定要是从上一层的左边通道里落下来的才行（1个可能情形）；同样，如果要它落在最右边的通道里，它也非要从上一层的右边通道里落下来不可（1个可能情形）；至于要它落在中间的通道里，那就无论它是从上一层的左边或右边落下来的都可以（2个可能情形）．

这样一来，弹子落在第三层（有几个竖直通道就算第几层）的通道里，按左、中、右的次序，分别有1，2，1个可能情形. 不难看出，在再下面的一层（第四层），左、右两个通道都只有1个可能情形（因为只有当弹子是从第三层的左边或右边落下来时才有可能）；而中间的两个通道，由于它们可以接受从上一层的中间和一边（靠左的一个可以接受左边，靠右的一个可以接受右边）掉下来的弹子，所以它们所有的可能情形应该分别是第三层的中间和一边（左边或右边）的可能情形相加，即3个可能情形. 因此第四层的通道按从左到右的次序，分别有1，3，3，1个可能情形．

照同样的理由类推下去，我们很容易发现一个事实，就是任何一层的左右两边的通道只有一个可能情形，而其他任何一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能情形相加. 这正是杨辉三角组成的规则. 于是我们知道，第n+1层通道从左到右，分别有1，C1璶，C2璶,……,Cn-1璶,1个可能情形．

我们还可以这样来看上面的结论：如果在倾斜板上做了n+1层通道，从顶上漏斗里放下1+C1璶+C2璶+…+Cn璶+1颗弹子，让它们自由地落下，掉在下面的n+1个长方框里. 那么分配在各个框子中的弹子的正常数目（按照可能情形来计算），正好是杨辉三角的第n+1行. 注意，这是指“可能性”而不是绝对如此. 这种现象称为概率现象．

点评 本题考查学生的知识迁移能力、化简变形能力和观察问题分析问题的能力．要从表中看出其中的规律是：每一行中的每一个数为其“脚下”两数的和．第二问的关键是进行裂项求和.

“杨辉三角”型数列创新题是近年高考创新题的热点问题.求解这类题目的关键是仔细观察各行项与行列式的对应关系，通常需转化成一阶（或二阶）等差数列结合求和方法来求解．

“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”