圆台体积估算法的依据论证

申　锦

在卖木材时，木材商在估算树的体积时，并没有量出两端的半径，而是量取某一高度时树的外围周长，简便的算出体积.例如4m长的树，在距大端高1.4m处量出外围周长，再按圆柱体积公式得出体积.而这种算法，往往与实际结果相差很小.那么，这是什么原因呢？

我们把它简化为数学模型处理.如图所示:

两端半径为R和r的圆台（R>r），高度为h，由圆台体积公式可知：

通过以上推导我们可以看出，在距大端高为(1-33)h=0.4226h时测出圆台外围周长得出体积，不论两端半径为多少，误差总在一定范围里，且半径比为2.73时误差达最大值7.18%.因此这样估算是有一定道理的.当树高为4m时，应在0.4226×4=1.7m处测量.这种算法有较好实际意义.若仔细去测量两端半径，费时费劲.这种算法则简易可行，有较好实际意义，故被木材商广泛采用.有趣的是，由于误差大于零，估算体积会偏大，木材商是肯定可以赚上一笔的.

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