对一节省级优质课的几点感想

余树林　袁新宝

2007年11月初，湖北省高中数学青年教师优质课比赛在荆州举行，笔者认真观摩了所有选手的作品，收获颇多，对其中一节获一等奖的“随机事件及其概率”课感想颇多，下面发表一点个人浅见，和同行交流.

1 教学过程呈现

1.1 情景引入

师：第二次世界大战中，美国曾经宣称：1名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.同学们可知这句话的由来吗？

1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国囿于实力受限，又无力增派更多的护航舰艇，一时间，德军的“潜艇战” 搞得盟军焦头烂额.为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，按数学角度来看这一问题，它具有一定的规律.一定数量的船（如100艘）编队规模越小，编次就越多（如每次2 0艘，就要有5个编次）；编次越多，与敌人相遇的概率就越大.比如5位同学放学都回自己家里，老师要找1位同学的话，随便去哪家都行.但若这5位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有20％.美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了！盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25％降低为1％，大大减少了损失，保证了物资的及时供应.

师：现实生活中存在大量不确定性事件，而概率正是研究不确定性事件的一门学科.这个事件中，数学家们运用了概率知识研究不确定性事件中隐含的确定性规律.从这节课开始，我们就一起来探究概率的有关知识.

1.2 三个事件

师：大千世界有许多耐人寻味的事件，请同学们讨论下列事件能否发生？

（1）木柴燃烧，产生热量；（2）明天,地球仍会转动；（3）实心铁块丢入水中,铁块浮起；（4）在标准大气压0℃以下，雪融化；（5）两人各买1张彩票，均中奖.

教师微笑着走到举手的学生身旁，该生小声回答：事件(1)(2)一定会发生.事件(3)(4)一定不会发生.事件(5)可能会发生也可能不会发生.

师：像(1)(2)这样一定会发生的事件，我们可以为它取个怎样的名字呢？

生：必然事件.师：其他两种事件呢？

生：不可能事件，偶然事件.师：偶然事件也可以称为随机事件.

师：比如事件（3）将铁块挖空了，变成跟轮船似的，铁块就可能浮起.这里的“实心”铁球就是铁块下沉的一个条件，如果将这个条件改变了，事件发生的可能性也就发生了变化.那么以上三种事件的定义究竟该怎样？（生回答）幻灯片给出三种事件的定义及事件表示方法.

师：举一个你生活、学习中的必然事件、不可能事件、随机事件的例子.

1.3 实验探究

师：虽然随机事件可能发生也可能不发生，但其发生的可能性有大有小，那么其发生可能性的大小用什么来度量呢？下面我们一起来探究这个问题.

1.3.1 实验一：（学生参与+电脑模拟）掷骰子

师：我们一起来研究随机事件A：“掷一枚骰子3朝上”的频率.

第一步：学生分组合作掷骰子.教师拿出两枚骰子，点四名同学分两组上讲台掷骰子，各掷20次，一人掷骰子，一人填表一.

师：两组同学做实验20次，3朝上的频率相同吗？这是为什么？

生：不相同，因为随机事件有可能发生也有可能不发生.

师：这反映了频率的什么特性呢？（引导学生体会这正体现了随机事件发生频率的随机性）

第二步：电脑模拟实验.教师引导：如果做同样的实验200次，400次， 1000次，乃至2000次或者更多呢？即通过大量重复实验来研究随机事件A发生的频率，频率的变化会有什么趋势呢？由于人力有限，咱们还是借助电脑来模拟实验.（课件演示，教师同步讲解）

师：再请同学们一边观察一边根据电脑模拟实验数据填写表二(频率,频数统计表).

教师引导学生分析并处理数据：再请同学们根据表二完成 “频率折线图”：在平面直角坐标系中描出这样的点，横坐标为实验的总次数，纵坐标为3朝上的频率.

频率折线图教师深入学生并帮助困难学生处理数据，最后用幻灯机展示完成得较好的图表.

教师引导学生体会频率的稳定性：你们有什么发现？频率是确定值吗？频率的变化有规律吗？

引导学生发现大量重复实验时频率的变化规律：实验一中大量重复实验三朝上的频率变化趋于稳定，将在1/6附近摆动.

1.3.2 实验二：（直接呈现）抛掷硬币

师：对于其它随机事件，其频率的变化是否也有类似的规律呢？我们再来看另外一个随机事件B：“抛一枚硬币，正面朝上 ”.

师：数学家们为了研究正面朝上的频率，把抛硬币这个枯燥的实验重复做了几千次甚至上万次，请看多媒体，该表数据是他们的实验结果.

实验人抛掷次数出现正面频 率狄摩更204810060.5181布 丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005 师：大量的重复同一实验，随机事件B发生的频率会有怎样的变化规律？

生：实验二中大量重复实验抛硬币，正面朝上的频率在1/2附近摆动.

1.3.3 实验三：（直接呈现）孟得尔豌豆实验

师：当大量重复实验时，随机事件的频率在某个常数附近摆动的事例不胜枚举.又如随机事件C：“孟得尔豌豆遗传性状实验中子一代自交，子二代表现显性性状”.

性状F1的表现F2的表现种子的形状全部圆粒圆粒5474皱粒1850圆粒:皱粒

≈2.96∶1茎的高度全部高茎高茎787矮茎277高茎:矮茎

≈2.84∶1子叶的颜色全部黄色黄色6022绿色2001黄色:绿色

≈3.01∶1豆荚的形状全部饱满饱满882不饱满299饱满:不饱满

≈2.95∶1 师：生物学家孟得尔将子一代自交发现：F1即子一代表现显性性状，F2即子二代发生性状分离，并且显性性状与隐性性状之比约为3∶1.则：大量重复实验，子二代表现显性性状的频率有什么规律呢？

学生思考半天后，换了几个学生才答出：“在常数3/4附近摆动.”

师：这三个实验有哪些共同点？①实验的次数如何？②它们都研究什么？③频率有何变化规律？

生：大量重复做同一实验；都研究频率；实验次数越多频率靠近某个常数，在其附近波动.

师：我们将这个常数称为这个随机事件发生的概率.它是用来描述随机事件发生可能性大小的量.

师：能结合常数发生的过程给出概率的定义吗？

幻灯片打出定义：一般地，在大量重复进行同一实验时，事件A发生的频率mn总是接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作 P（A）.

1.4 巩固延伸

师：结合今天所学内容，我们来看以下几个习题：

例1 指出下列事件是必然事件，不可能事件还是随机事件？

（１）发射１枚炮弹，命中目标；（key: 随机事件）

（２）若a为实数，则｜a+1｜＋｜a+2｜＝０；（key: 不可能事件）

（３）江苏地区每年１月份月平均气温低于７月份月平均气温；（key: 必然事件）

（４）北京六月飞雪．（key: 随机事件）

例2 下列说法正确的是 ( C )

A.任何事件的概率总是在（0，1）之间

B.频率是客观存在的，与试验次数无关

C.随着试验次数的增加，频率一般会非常接近概率

D.概率是随机的，在试验前不能确定

师：有些随机事件的概率能求，而在实际生活中有些随机事件的概率不那么容易求，我们常常用频率作为概率的估计值.比如（多媒体课件同步演示）:

例3 美丽的松花江碧波荡漾散发着生命的光泽，然而2005年11月吉林石化公司双苯厂发生爆炸，松花江受到严重污染变成这样：大量的石油漂浮在水面上，曾经美丽的松花江犹如一条黑色的巨蟒，致癌物质硝基苯充斥着松花江，致使鱼类大量死亡.在这危机关头国家紧急调度大量的活性炭进行处理，一段时间后松花江的水能喝吗？鱼能吃吗？环保部门发布了松花江水质的情况,多次提到一种化学物质硝基苯,有些专家认为硝基苯在动物中有致癌作用,我国的地表水环境质量标准中集中式生活用水地表水源地特定的项目限值硝基苯为0.017mg/L.这与美国的标准一致．专家们如何判定松花江里的鱼类受污染的程度呢？

师：专家在松花江采取并检测分析了五百尾鱼类，包括不同江段，不同习性，不同种类的鱼以及松花江沿岸２公里以内养鱼鱼塘的鱼类的硝基苯残量发现这些鱼中只有一条鱼的硝基苯含量略微超过安全标准.

在实际生活中，很多随机事件的概率都不好求，这里从江里捞起一条鱼恰好硝基苯超标的概率有多大呢？专家通过抽样500条，用检测超标鱼出现的频率1/500来估计出整个松花江的鱼中硝基苯超标的概率为1/500.

例4 在数学史上也有这样的例子.祖冲之将圆周率算到3.1415926 到3.1415927之间,比西方早了1000年,这是我们中华民族数学史上的骄傲.

十九世纪英国人威廉·向克思花了二十年将圆周率算至小数点后707位，他死后，人们在他的墓碑上刻下了他毕生的心血结晶——圆周率的707位小数.许多年后，数学家法格逊对这些数据产生了疑虑：为什么有的数码出现的次数过多而有的数码出现的次数过少？疑惑的依据是他的奇特设想：在小数点后的大量数码中，每个数码出现的频率应该差不多，概率都应该是1/10.是不是向克思的计算有误呢？，他用当时最先进的计算设备整整算了一年，得出结论：向克思的圆周率的707位小数中前527位是正确的，法格逊的猜想是事实吗？只是当时的数据太少了，事情很快有了转机,计算机的发明使这成为可能.1973年法国学者让·盖尤和他的助手统计了圆周率的前100万位小数中各数码出现的频率，如右表：在圆周率的大量数码中，任何数字出现的频率均在0.1附近，可见在圆周率的数值式中，各数码出现的概率为1/10.

2 观后感

建构主义最早是瑞士著名心理学家皮亚杰提出来的，他认为，数学学习并非是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程，数学知识不能从一个人迁移到另外一个人，一个人的数学知识必须基于个人对经验的操作、交流，通过反省来主动建构. 虽然学生学习的数学都是前人已经建造好了的，但对学生而言，仍是全新的、未知的，需要每个人再现类似的创造过程来形成的，即用学生自己的活动对人类已有的数学知识构建自己的正确理解，这应该是学生亲身经历参与的充满丰富、生动的概念或思维活动的组织过程. 对建构主义学习来说，活动是第一位的，强调要在“做数学中学数学”，活动是个人体验的源泉，对处于认知发展阶段的学生而言，数学活动最初主要表现为外部活动，由于主体自身的智力参与，特别是主体高水平的智力参与，使外部的活动过程内化为主体内部的心理活动过程，并从中产生出主体的个人体验.

这节课以建构主义理论组织教学,始终以学生为主体，尊重学生，民主教学，不把任何学生还不能接受的认识直接抛给学生，而是将概率知识由学术形态转化成一些有探究性、可操作性的实验，让学生通过动眼、动手、动脑、动口等活动，亲身体验概率知识的形成过程.通篇以大量的实验事实为基础来完成归纳与猜想，教师的任务就是引导学生提取三个试验的共同精神，归纳出定义.本节课通过概率定义的形成过程，渗透归纳思想，优化思维品质，让学生体会了“实践出真知”的含义，有利于学生认识数学的价值，形成正确的数学观.在教学过程中始终贯穿以教师为主导，学生为主体，自主探究，合作交流为主线.始终贯彻“以学生的发展为本”的科学教育观，引导学生积极主动地进行思考活动，直接参与体验数学知识产生发展的背景、过程，返璞归真，揭示本质，体会其中的思想和方法，学生只有这样才能真正理解掌握数学知识和方法，有效地发展智力、培养能力.

大数学家欧拉说过:“数学这门科学需要观察,更需要实验”.为了不让学生以为“概率”这个定义好像是从天上掉下来的“林妹妹”，教师精心设计了三个实验，然后以实验切入、层层铺垫启发学生形成概念、理解概率的定义，引导学生发现随机事件频率的随机性和在大量重复实验中所表现出的稳定性.教师在这个阶段引导学生体验知识的形成和发展过程，通过实验、观察、归纳、思考、探索、交流、反思来实现学生的主体作用，认识和理解数学知识，学会学习，学会如何发现新知识，培养学生的创新能力，发展能力.

下面对本节课的四个关键环节谈几点具体感想.

2.1 关于新课引入

新课引入不能为了引入而引入，象本节课这样的引入的确生动有趣，但学生在学完本节课后还无法解决这个情境问题，显得有点花哨.与其这样还不如省掉这个问题情境，直接开门见山地进入课题，因为引入问题情境一方面是为了激发学生的探究兴趣，另一方面问题情境还应能为本节课数学知识的形成或理解服务.例如：这节课可以设计摸球试验引入：教师拿出一个正方体纸盒，告知学生里面放有若干种颜色的球若干个，摸出红球者就是咱们班的“幸运星”，谁先来摸？激发学生参与摸球兴趣，在学生发现所摸的球都是红球而诧异时，便将盒子打开，展示里面装的全都是红球，并指出在这种条件下，摸出红球这件事一定会发生；而摸出白球这件事一定不会发生；再改变实验条件：往盒子里再放几个黄球，则摸出红球这件事情就可能发生也可能不发生了.这个生动形象的引入为本节课设置了两个包袱：“一定条件下”和“三个事件”，为学生深刻理解“三个事件”埋下了很好的伏笔.

2.2 关于“三个事件”

“三个事件”的名称其实不必问学生：不该问的不问——没有任何数学思维，且学生可能将“随机事件”称为“偶然事件”，但下面三个实验中的任何结论都只能引导学生得出.教师提问时不应轻易下讲台、站到学生的旁边——这不仅不能给学生以亲切感，反而会给胆小的学生压力，容易造成两人之间的小声交流.让学生自己列举关于三个事件的生活实例，既能反馈学生对这三个事件的掌握情况，又能让学生主动地去掌握三个事件的外延与内涵，使学习更轻松.但教师组织教学时应有所为有所不为，“有所不为”省下来的时间和精力是为了更好地“有所为”.由于本节、甚至本章主要研究的都是随机事件，故不应对这三个事件平均使用力气，而可以让学生多举几个随机事件的例子，当学生一下子举不出几个例子时，老师还可以帮忙补充，如每期体育彩票的中奖号码 ，某件产品是否合格，某个灯泡的使用寿命，掷一枚硬币，正面朝上；从一批待检产品中任取一件是优质品；经过十字路口遇到红灯等等，使学生感觉到在现实生活中大量广泛地存在着随机事件，因而产生进一步研究随机事件的愿望，为下一步引入课题作铺垫.

2.3 关于探究实验

本节课是实验探究课，实验感知决定着本节课的成败.这节课中三个实验都是学生先猜测，再通过实验验证.体会归纳、猜测、论证是发现知识的重要方法.三个实验都注重用精确的数字向学生展示前人的研究成果，一方面使学生认识到数学是门严谨的学科；另一方面，可由图表直观地将学生引入到概率的定义中.体验完三个实验后，教师很好地引导了学生提取三个试验的共同精神：频率的稳定性，归纳出概率的定义及性质，这是本节课的精彩所在.在实验过程中，教师没有代替学生体验和概括.还不忘锻炼学生分析数据的能力——这是现代信息社会对每个公民的基本要求！通过“投影学生的分析结果”激励学生参与兴趣.但教师为什么没有遵循先易后难、由浅入深的原则，先研究抛硬币，后研究掷骰子呢？这是因为抛硬币的结果，学生都很熟悉，一看就能猜对答案，所以将抛硬币作为第一个实验就不符合有效教学的原则.不过在多媒体演示掷骰子实验的过程中，同时显示1、2、3、4、5、6点的表格，就是将6个实验结果一起显示，让学生抓不住重点，不如用不同的颜色突出3点向上这一格的数据，引导学生只关注同一个事件“3点向上”发生频率的变化趋势.实验三虽然很新颖，但学生理解事件本身都很难，这就冲淡了对所讲知识的理解.其实若将实验三删掉，补上笔者设计的引入实验（举手学生上讲台摸球），再在实验一（掷骰子）中，教师提供多枚骰子——可事先用刀片将橡皮擦切成小方块，六个面分别标上1、2、3、4、5、6点，制作成骰子，将全班学生分组后，每组分一枚.这样就“部分参与”、“ 全体参与”、“ 模拟实验”都有了：三个试验的展开形式各不相同，学生和评委就不会产生视觉疲劳.若常规内容的表现形式有独到新颖之处，再加上开场新颖、过程流畅、表现形式丰富多彩，便可胜人一筹.当然“全体参与”控制不好就容易造成混乱！可通过分组和明确分工来避免混乱：一人抛、一人记录并统计数据、一人协调，大家一起分析数据.

2.4 关于概率的应用

新的课程标准明确指出“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质.”因此，教师不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值.本节课在讲完频率和概率后，给出了两个概率的应用的事例，这不但巩固了概率的定义而且这样活生生的例子也调动了学生学习的兴趣，让他们有多种机会在不同的情境下去应用他们所学的知识(将知识“外化”).这同时向学生渗透了数学来源于生活，又应用于生活的思想.概率的应用特别广泛，本节可作为概率第一节课，应该简单提一下概率的应用及其发展史，因为这节课不讲这些内容，以后就没有机会讲了.本节课中例3、例4都是概率很好的应用情景，但4个练习太多，会冲淡学生感受概率应用这个主题，故删掉例1、例2，学生就会有更多的时间来感受其应用.不仅如此，若老师能对例3、例4做一些深挖掘，学生就不仅了解了概率应用，还会升华对概率的理解，如：例3中加一句反思回顾：“反过来，若已知整个松花江的鱼中硝基苯超标的概率为1/500，那该怎样理解这个数据？能不能理解为每500条鱼中都有一条鱼的硝基苯含量超标？”；例4中加一句点睛之言：“由此可见，大量重复实验对于寻找频率的稳定值至关重要！”还可引导学生进一步思考：“那是不是任何随机事件的概率，都需要象数学家那样花整年的时间来做大量重复实验呢？更何况有些实验是具有破坏性的.欲知结果如何，且听下节分解！”经过老师这么一引导，学生就会加深对概率本质的理解，也为下一节内容的引入做好了铺垫.

总之，在优质课比赛中开场新颖、过程流畅、表演形式丰富，能尊重学生、体现新课程理念等都会增加获胜的筹码.不仅如此，在教学过程中，教师的语言还不能平铺直叙，而应像歌手唱歌那样激情投入、像评书演员那样声情并茂，时刻观、听所有学生的一言一行及其情感变化，关键时刻还应用自己的情感体验去驱动学生的情感体验！不否定学生、不回避学生问题.讲课时不能背教案，因为心中有教案就会言行呆板，容易造成脱离学生而没有感染力，其实只要将所有问题都讲出来就够了，打乱预案秩序正体现了“一切以学生为主”. 要成功先发疯，头脑简单向前冲，只要心中全是学生，就会上出天马行空、行云流水的优质课！

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