最值问题的学用解法

许钦彪

最值问题是中学数学中一类重要的问题，常涉及函数、三角形、不等式、解析几何、立体几何、向量、导数等内容，同学们在整个高中数学的学习过程中都会遇到，熟练掌握一次函数、二次函数、指(对)数函数及三角函数等初等函数的最值求法，是求复杂函数最值的基础，最值问题的解法多而灵活，本文仅把常用的方法进行归纳介绍。

一、直接法

某些函数的结构并不复杂，可以通过适当变形，由初等函数的最值及不等式的性质直接观察得到它的最值。

例1求y=x³＋2/²＋5暑的最杏值，解析：变形为y＝1=X²＋2/3，故当x=0，时，y_ma

二、反函数法

由原函数反解出x=￡(y)，根据x的范围求出y的范围，进而得到y的最值的方法称为反函数法，此方法适用于能顺利求得反函数的函数，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函数，类似地，此方法也可推广到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范围的函数，

三、配方法

配方法是求解“可化为二次函数形式”这一类函数的最值问题的基本方法，有着广泛的应用，

四、换元法

引入新变量对原函数式中的代数式或三角函数进行代换，将所给函数转化成容易求最值的简单函数，进而求得最值的方法称为换元法，形如y=ax+6的函数求最值常用此法，用换元法解题时要特别注意变元前后自变量的取值范围要保持一致。五、不等式法

通过对原函数式进行变形，利用等基本不等式求函数的最值的方法称为不等式法，用不等式法求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的应用条件，即不等式中的两项必须都为正，两项的和一定时积有最大值、积一定时和有最小值，必须能取得到最值，

点评：利用不等式法求最值时，要注意函数取到最值时，相应的x的值是否存在，如果不存在，则此最值不能取到，此时要考虑用其他方法来解题，点评：用不等式法和判别式法都只能求出例8中函数的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考虑换用其他方法，

七、单调性法

如果能确定函数在某个区间上的单调性，就可以求出该函数的最值，求解函数在给定区间上的最值问题常可试用这种方法，函数的单调性可以直接用单调性的定义来判别，也可结合函数的图像来研究，或者用导数法来判定。

点评：看到例11中的函数的形式，很多同学会考虑用换元法来解题，但若用换元法无法将其转化为一元二次函数的形式，会让解题过程变得更繁杂，甚至无法顺利进行下去，在判断函数的单调性时，方法的选择也是很重要的，三种方法各有特点：定义法是最容易想到的，图像法最直观，而导数法往往比较简捷。

八、数形结合法

利用函数表示的几何意义，借助于几何方法求出最值的方法称为数形结合法。