函数与方程思想应用面面观

斯理炯

函数思想即用集合与对应的观点、运动与变化的思想去分析和研究数学问题中的数量关系，方程思想是分析数学问题中变量间的等量关系的一种重要手段，两者联系密切，渗透于中学数学的各个知识点，历年高考试题中都会有一些设计新颖的问题，解题时往往需要用到函数与方程思想，本文举例分析函数与方程思想在解决各类问题中的应用，

一、在不等式问题中的应用

等与不等是相辅相成的，在解某些不等式的过程中，往往需要将不等转化成等，建立相应的方程，从方程的根来考虑不等式解集的临界值。称性证明了不等式，巧妙别致。

二、在数列问题中的应用

数列是一种特殊的函数，因此函数思想在数列中的应用非常广泛，等差数列的通项及前n项和的公式分别可以看成是项数n的一次函数和二次函数，而等比数列又与指数函数密切相关，

例3设等差数列｛a_n｝的前n项之和为s_n已知a₃，S₁₃<0，

(1)求公差d的取值范围；(2)指出s₁，s₂s₁₂中哪一个值最大，并说明理由。

点评：利用函数的性质证明有关数列的性质(如单调性、有界性)和不等式，是近几年高考考查的热点，此外，借助导数判断函数的单调性已成为高考中又一道靓丽的风景，

例7两位对讲机持有者莉莉和霍伊在同一公司工作，已知对讲机的接收范围为25km，下午3时，莉莉正在公司正东面距公司30kin以内的某处，霍伊此时正在公司正北面距公司40kin以内的某处，问在下午3时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？(本题对本届高三同学不作要求)

解析：设X和Y分别代表下午3时莉莉和霍伊与基地之间的中距离，且D≤X≤30，0≤y≤40则分别

四、在何问题中的应用

立体几何与解析几何是高中数学的重要内容之一，运用函数与方程思想，通过构造函数、建立等量关系，就能利用代数运算来解决此类问题。

例8一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，对应的方程为x²=2y(O≤y≤20)，若在杯内放一玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的取值范围为

(A)O

(C)O

解析：考虑到球心到球面上各点的距离相等，由对称性可知，球心必在抛物线的对称轴(即y轴)上，

点评：解决本题的关键是建立关于变量α的函数关系式，把求MN的最小值转化为求函数的最小值。