多档次概率罐子模型估计的渐近性质

周跃进

（安徽理工大学理学院，安徽 淮南 232001）

摘 要：对多个处理且试验结果为多档次的临床试验，构建了其 概率罐子模型。研究了模型中每个处理试验结果发生的概率。利用极大似然估计方法得到其 估计量，并获得此估计量具有渐近正态性。

关键词：罐子模型；自适应设计；极大似然估计；渐近正态性

Asymptotic Behaviour of Probability Estimation in

Urn-models with Multi-outcome

ZHOU Yue-jin

(School of Sciences, Anhui University of Science and Technology , Huainan Anhui 232001, China)

Abstract:The urn model for clinical trails with multi-treatment

and multi-outcome was constructed. The probability of outcome of every treatmen t was researched in the urn model.The estimators were obtained by MLE method, an d the estimators have asymptotic normality.

Key words: urn model；self-adaptive designs；MLE；asymptot ic normality

随着科学技术的发展，新的药品和治疗方法不断涌现，这样临床试验设计 越来越受到重视。从人道主义上讲，在临床试验设计中应尽可能地把较好的、处理较多的分 配给病人。传统的临床试验设计是随机化的50-50设计，这种设计优点是操作简便，但若治 疗方法治愈率相差较大时，有的处理对病人有较重的负面影响，有近半数病人受到损 害。这 样就提出了如何根据前面的试验结果，合理有效地修正后面试验方案的自适应设计方法。文 献［1］提出了自适应设计思想。文献［2］提出了“胜者优先”（Play-the-Winner Rule ）设计。文献［3］1 801提出了广义Friedman概率罐子模型（Generalized Friedman s Urn）。利用广义Friedman概率罐子模型而构建的序贯试验设计是一种重要的自适应设 计。文献［3］1 805～1 807还研究了成功概率为齐态的概率罐子模型渐近性质。文献 ［4］研究了成功概率为非齐态的概率罐子模型强相合性和渐近性质。文献［5］研 究了带时 序趋势的概率罐子模型极限性质。文献［6］研究了多处理的罐子模型极限定理。以 上研究 的罐子模型考虑的试验结果只有两档次，成功和失败。但是在临床试验中试验结果为多个档 次的情形也是常见的。文献［7］利用非参数秩统计方法提出了一种设计，但没有建立这种 设计的渐近性质。文献［8］研究了在临床试验中试验结果为多档次的罐子模型，对 此提出了一种设计，并建立了渐近定理。

本文考虑多个处理且试验结果为多档次的罐子模型， 并建立其渐近性质， 推广了文献［8 ］中的结果。 文中第一部分对多个处理且试验结果为多档次的临床试验设计一种罐子模型 ； 第二部分得到主要结果， 即建立这种模型的渐近正态性质并给出证明。

1 罐子模型

考虑玨个处理临床试验问题，假定临床试验结果可划分为2t个档次:T璽，Tt-1，… ，T1；S1,S2,…,S璽。其中T璽，Tt-1,…，T1表示负面结果，负面程度由 轻到重；S1,S2,…,S璽表示正面结果，正面程度由轻到重。对病人有人文关怀的设计 应是这样，当处理A璱(i=1,…,k)的试验结果为T璲(j=1,…,t)时，下一步则应减少处理A 璱(i=1,…,k)的试验机会，同时增加其它处理的机会；当处理A璱(i=1,…,k)的试验结果 是S璲(j=1,2,…,t)时，下一步则应增加处理A璱(i=1,…,k)的试验机会，同时减少其它 处理的机会，而且随着负面（正面）结果程度的增加，相应减少（增加）机会的力度也增大 。

设X(l)(l=1,…,k)表示试验处理A璴的结果。记plj=｛X(l)=S璲 ｝，qij=｛X(l)=T璲｝，l=1,…,k,j=1,…,t，则p璴=∑[DD(]t[]j=1[DD)]p lj表示试验处理A璴成功的概率。取定2t个正数0＜β璽＜βt-1＜…＜β1 ＜[SX(]1[]2[SX)]＜α1＜α2＜…＜α璽，并约定α璱+β璱=1，i=1,…,t。假定在 试验开始时已在一个罐子中放入k种球，每种球代表一种处理方法，第i种球表示第i种处理 方法。在开始时罐子中k种球的个数分别为Y01,Y02,…,Y0k。从大样本 观点看，各种球的分配个数Y0i对试验的渐近结果没有影响。为简单而不失本质，可 假定Y01=Y02=…=Y0k=[SX(]1[]k[SX)]。试验开始时，随机地从罐中有 放回抽取一球，若抽取第i种球，则对病人进行A璱处理。若试验结果是S璲，则在罐中添 加α璲个第i种球，同时以[SX(]psj[]∑[DD(]k[]s≠i[DD)]psj[SX)]概率添 加β璲个其它第s种球（s≠i,s=1,…,k），即增加处理A璱的试验机会，减少其它处理机 会；若试验结果是T璲，则在罐中添加β璲个第i种球，同时以[SX(]psj[]∑[DD(]k []s≠i[DD)]psj[SX)]概率添加α璲个其它第s种球（s≠i,s=1,…,k），即减少处理 A璱的试验机会，增加其它处理机会。

这样试验可重复递推进行下去，到第n次时，记罐中成份为Y璶=(Yn1，Yn2 ，…，Ynk)，其中Yni(i=1,…,k)表示第iе智虻母鍪。上述罐子模型可表示 成如下递推形式

Y璱=Yi-1(I+[SX(]1[]i[SX)]H)+Q璱

i=1,2,…（1）

式中：Y璱=(Yi1,Yi2,…,Yik)′；Yi-1=(Yi-1,1,Y i-1,2,…,Yi-1,k)′;I为k阶单位阵；Q璱=(Y璱-Yi-1)-E(Y璱-Y ﹊-1｜Fi-1),i=1,2，…，为一个k维鞅差序列；F璱=σ(Y0,Y1,…,Y璱)是 由Y0,Y1,…,Y璱所产生的σ-域；F0为平凡σ-域；H为模型的生 成矩阵，H=[JB(［]∑[DD(]t[]i=1[DD)](p1iα璱+q1iβ i)

∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]p2i[]∑[DD(]k[]s≠1[DD)]psi[SX)](p1i β璱+q1iα璱)］…∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]pki[]∑[DD(]k[]s≠1[DD)]psi[SX)](p1i β璱+q1iα璱)］

∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]p1i[]∑[DD(X]s≠2[DD)]psi[SX)](p2iβ 璱+q2iα璱)］∑[DD(]t[]i=1[DD)](p2iα璱+q2iβ璱)

…∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]pki[]∑[DD(X]s≠2[DD)]psi[SX)](p2iβ 璱+q2iα璱)］

…………

∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]p1i[]∑[DD(X]s≠k[DD)]psi[SX)](pkiβ 璱+qkiα璱)］∑[DD(]t[]i=1[DD)]［[SX(]p2i[]∑[DD(X]s≠k[DD)]psi[SX)](pkiβ 璱+qkiα璱)］…∑[DD(]t[]i=1[DD)](pkiα璱+qkiβ璱)

[JB)］]

2 主要结果

在此罐子模型中，每个处理发生的试验结果是未知的，为此需对plj,qlj 进行估计。记:

a璵=[SX(][SX(]pmi∑[DD(X]s≠m[DD)]psi[]qmiα璱+pmiβ 璱[SX)][]∑[DD(]k[]j=1[DD)][SX(]pji∑[DD(X]s≠j[DD)]psi[]qji α璱+pjiβ璱[SX)][SX)],a=(a1,…,a璳)′，则向量a是矩阵H的左特征向量。

如果第i次抽得第j种球，ξji=1；如果第i次抽得其它球，ξji=0。

η璱(S璲)=1，第i次试验结果为S璲；

η璱(S璲)=0，第i次试验结果为其它情况。

η璱(T璲)=1，第i次试验结果为T璲；

η璱(T璲)=0，第i次试验结果为其它情况。

以上j=1,…,t;i=1,2,…。

Mnj=∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξji，M璶=(Mn1,Mn2,…,Mnk )′，则Mnj表示到n次时，第jе执理实验次数。

令

p[DD(-1*3]＾[KG-*2]lj=[SX(]∑[DD(]n[]i =1[DD)]ξliη璱(S璲)[]Mnl[SX)] q[DD(-1*3]＾ [KG-*2]lj=[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξliη璱(T璲)[]Mnl[ SX)](2)

其中l=1,…,k；j=1,…,t，由极大似然估计可知，p[DD(-1*3]＾ lj,q[DD(-1*3]＾lj分别是plj，qljУ募大似然估计。

记：

P=(p11，…,p1t,…,pk1,…,pkt)′

P[DD(-1*3]＾n=(p[DD(-1*3] ＾11，…,p[DD(-1*3]＾ 1t,…,p[DD(-1*3]＾k1 ,…,p[DD(-1*3]＾kt)′

p[DD(-1*3]＾t=∑[DD(]t[]j=1[DD)]p[ DD(-1*3]＾lj,l=1,…,k(3)

由此获得的估计量P[DD(-1*3]＾nв 渐近正态分布。

定 理 当n→∞时，有[KF(]n[KF)](P[DD(-1*3]＾n-P)→N(0,苮)。其中

玪=1,2,…,k

(4)

[FL(K2]

为了证明定理，需引入一个引理 。

引 理［8］：当n→∞时，有M璶[]n[SX)]→a,a.s.。И 证 明：由引理，有

n[KF)](P[DD(-1*3]＾n-P)=

([SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ1i(η璱(S1)-p11)[]Mn1[SX)],…,[SX (]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ1i(η璱(S璽)-p1t)[]Mn1[SX)]，

[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ1i(η璱(T1)-q11)[]Mn1[SX)]，…,[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ1i(η璱(T璽)-q1t)[]Mn1[SX)]，…,

[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξki(η璱(S1)-pk1)[]Mnk[SX)]，…,[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξki(η璱(S璽)-pkt)[]Mnk[SX)]，

[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξki(η璱(T1)-qk1)[]Mnk[SX)]，…,[SX(]∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξki(η璱(T璽)-qkt)[]Mnk[SX)])′

(∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（1）n1i，…，∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（1 ）nki，∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（2）n1i，…,∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（2）nki，…，

∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（2k）n1i，…，∑[DD(]n[]i=1[DD)]ξ（2k ）nki)′(1+o璸(1))[JY](5)

由鞅的中心极限定理［9］可得

n[KF)](P[DD(-1*3]＾n-P)→N( 0,苮)。

推 论 当n→∞时，有

n[KF)][JB((]p[DD(-1*3]＾1-p 1

ⅰ

p[DD(-1*3]＾k-p璳[JB))]→N[JB((][HL(3][SX(]p1(1-p1)[]a1[SX)][]…[]0

………

0…[SX(]p璳(1-p璳)[]a璳[SX)][HL)][JB))](6)

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(责任编辑：何学华)