关于“乘方”与“幂”的商榷

人教版教材和教参是这样定义和说明乘方和幂的：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power).……，当an看作a的n次方的结果时，也可读作的a的n次幂.

(教材，[1]中第51页)

应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果.

(教参，[2]中第51页)

我们认为这种说法不妥，乘方和幂没有什么不同，有以下理由.

其一，在我们的习惯表达中，从来都是把乘方和幂混用的. 例如，我们说“2的4次方”，也说“2的4次幂”. 特别奇怪的是，教材的编写者对这种现象给了一个非常牵强附会的解释：当an看作a的n次方的结果时，也可读作的a的n次幂. 如果是这样的话，我们经常说“16是2的4次方”就错了，这里乘方显然指的就是运算结果. 另一方面，不仅乘方是运算，幂也是运算，我们也常说幂运算. 事实上在英文中，乘方和幂用的就是同一个词——power.

其二，从数学抽象的角度讲，运算以及运算结果两者之间并无不同. 在现代数学中，我们经常需要把过程和结果统一起来. 例如，“映射”一词可看成是一个过程的概念，但在数学中严格的抽象定义又可以这样给出：

设A，B是两个集合， A×B的一个子集f称为映射，如果满足：若(x₁，y₁)∈f， (x₁，y₂)∈f， 则y₁=y₂.

很显然，这个抽象定义又是把“映射”看成了结果. 这两种关于“映射”的认识表面看起来虽然不同，其实其本质是一致的. 由于“运算”可以看作是一种映射，因此我们把“运算”不管是看作为“过程”还是“结果”，其本质也没什么不同. (更详细的讨论见[3]). 事实上，数学中的概念不管其来源背景如何(也许它是某个过程)，都可以定义为一个集合(其实就是结果)，这也是集合论能成为现代数学基础的一个重要原因.

其三，退一步讲，即便乘方和幂真有点什么细微的不同，我们是否真的需要在我们的教材和教参中一再强调?事实上，即便一个数学学习者没能辨析两者的不同，也根本不妨碍他对其数学本质的理解. 在数学教育实践上，类似的文字游戏带给数学教育的伤害可谓是刻骨铭心，它只会把数学变成了冰冷的教条，让学生敬而远之. 按照“淡化形式，注重实质”[4]的精神，这种文字游戏可以休矣.

总之，在教学中把乘方和幂不分开是为了简单，分开了反而不好. 因此我们认为，混用乘方和幂不仅是必要的，也是必须的. 这样做，既符合现代数学的精神，又可以把学生的精力更多地引导到对于数学本质的理解上来；基于此，乘方和幂可以直接这样定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方或幂.

参考文献

[1] 课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书·数学(七年级上册)[M].北京：人民教育出版社，2005.49.

[2] 课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书·数学(七年级上册)教师教学用书[M].北京：人民教育出版社，2004.51.

[3] 钱佩玲，邵光华.数学思想方法与中学数学[M].北京：北京师范大学出版社，1999.217-221.

[4] 陈重穆，宋乃庆.淡化形式，注重实质——兼论《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲》.数学教育学报[J]，1993，2(2)：4-9.

作者简介：熊惠民(1971-)，男，湖北汉川人，博士，讲师.