数学公式的性格

沈致远

数学公式分为三大类：恒等式、等式、不等式。

恒等式的变量取任何数值都相等。例如：(x+y)2=x2+2xy+y2，无论x、y取何值，此式两边都相等。就像天平两边等重，两臂永远持平。

等式的变量必须取特定数值才相等。例如：x2=1，只有x=1或x=-1，此等式两边才相等。就像天平称物，放上特定砝码两臂才持平。

顾名思义，不等式的两边不相等。例如：x>0，x是正数都行；x<0，x是负数都行。就像天平之两臂向左或向右倾斜而失去平衡。

数学公式也有性格。恒等式的性格宽宏大量，对变量数值没有任何约束，可随心所欲。等式的性格一丝不苟，对变量约束得非常严格，只能取特定数值，差一点也不行。以上是两个极端，不等式介乎其中，其性格随和而有原则，变量有很大的活动空间，但不能逾越界限。

数学公式在物理学中有广泛的应用。物理学之守恒定律最重要的有三：能量守恒定律、动量守恒定律、角动量守恒定律，均以相应的等式表示。任何物理过程，其总能量、总动量和总角动量过程前后必须相等，差一点也不行。科学家爱追根究底：能量、动量、角动量为什么守恒？德国著名女数学家诺特（A. E. Noether, 1882-1935）证明的“诺特定理”给出了回答，这三个守恒定律均与时空性质有密切关系。能量守恒由于时间平移不变性，动量守恒由于空间平移不变性，角动量守恒由于空间旋转不变性。换言之：能量、动量、角动量之守恒分别为时间、空间、方向均匀性之表现。譬如，想象你在完全没有摩擦力其平如镜的冰上自由滑行，由于冰面均匀———二维空间平移不变，按动量（等于质量与速度之乘积）守恒定律，你会以等速一直向前滑行；如发现在某处滑行速度突然改变，那一定是该处冰面有异———二维空间不再平移不变。可见，等式一旦注入物理内容，就变得鲜活起来。

物理学的定律、定理及方程大多以等式表示，但别以为不等式不重要。以物理学中两个著名不等式为例，说明其重要性。

热力学第二定律又名“增熵定律”：封闭系统中的熵不会自动减少。以数学公式表示：熵随时间之变化率大于零，是一个不等式。按照热力学定义，熵是能量差额除以绝对温度（摄氏度加273度）。将冰块置入保温瓶内热水中，略等片刻，发现冰块溶化而水温降低。冰块溶化所吸收的能量等于水温降低所放出的能量，能量差额之绝对值相等；冰块的温度比水的温度低，所以冰块溶化所增加的熵比水温降低所减少的熵多，故为增熵过程，符合热力学第二定律。

“这有什么稀奇？”这确实不稀奇，但有谁见过保温瓶中的温水自动变回热水和冰块？为什么没有？因为此逆过程减熵，违反热力学第二定律。

有人不服气，说：“将温水置入冰箱不就结出冰块了吗？”对不起！他忘记了增熵定律的先决条件“封闭系统”，置入冰箱中的温水向外放出热量才会结出冰块，已不再符合封闭系统条件。

热力学第二定律非常重要，大到宇宙演化小到日常生活，其作用无处不在。信手拈来几个减熵过程的例子：瀑布从深潭跃起飞向悬崖之巅（李白：“遥看瀑布挂前川，飞流直下三千尺”之逆过程）；落英跃上枝头变回鲜花（晏殊：“无可奈何花落去”之逆过程）；坑内灰烬变回篆书竹简，冢中枯骨复活为敢言儒生（秦始皇焚书坑儒之逆过程）。这类事不可能！为什么？因为违反热力学第二定律那个增熵不等式。读者不妨试试，会想出更多有趣的例子来。一个增熵不等式，就演化出这么多故事，谁说数学枯燥无味？

物理学中另一个著名不等式是“测不准原理”，德国物理学家海森堡（Werner Heisenberg, 1901-1976）证明：量子力学中的一对“共轭量”不可能同时测准。例如：能量与时间、动量与空间、角动量与方向均为共轭量，在原则上无法同时测准。测不准原理以不等式表示：一对共轭量偏差额之乘积大于“普朗克常量”，两者此长彼消。

别被测不准原理的“测”字所误导，以为只适用于测量。其实这是翻译失真，英文是：Uncertainty principle，按理应译为“不确定性原理”，其含意是：一对共轭物理量的数值具有不确定性，这是量子世界固有之本性，即使不去测量也存在。例如：动量与空间尺度是一对共轭量，微观粒子所处的空间尺度越小，粒子的动量及其不确定性就越大；因为能量包含动能，相应的能量及其不确定性也随之增大。原子的尺度约为一百亿分之一米，与之相应的能量是原子外层价电子所具有的化学能。核子的尺度约为一千万亿分之一米，大约是原子尺度的十万分之一，与之相应的能量是核能。核能大于化学能约十万倍，这是因为产生核能的核子运动局限于极其微小空间内。

根据海森堡测不准原理，空间越小所蕴藏的能量就越大。聪明的读者会问：“在无穷小空间内是否蕴藏着无穷大能量？”这取决于两个因素：一是海森堡测不准原理是否普遍适用。多数物理学家倾向于肯定；二是许多物理学家相信，空间有一个最小尺度———“普朗克长度”约为一千亿亿亿亿分之一米，大约是核子尺度的一万亿亿分之一，相应的普朗克能量约为核能的一万亿亿倍！这虽然不是无穷大，现有技术水平离此极限还远着呢。石油价格飞涨导致能源危机，根本解决之道：钻进更小的空间中去寻找更大的能量，海森堡如是说。他那个不等式好厉害！

够了！不妨轻松一下。美国一些家长具有恒等式性格，对子女管教宽宏大量放任自流，造成有些子女逃课甚至辍学，这是一个极端。中国许多家长具有等式性格，对子女严加管束一丝不苟，造成子女不堪重负严重影响身心健康，这是另一个极端。两极取其中，不等式性格的家长对子女教育成长比较有利。对此我有亲身体会：幼年丧父，我兄弟三人全靠寡母独力支撑抚养成人。母亲史国瑞系出名门，毕业于苏州高等师范学校。她教子有方，让我们兄弟按个人志趣爱好自由发展，只要不干坏事。这不就是典型的不等式性格吗？如今回想起来，仍觉受益终身。

（陳放荐自2007年3月18日《解放日报》）

责编：叶万军