数学大师解题小故事

于志洪

（一）曾任国际数学教育委员会主席的弗赖登塔尔在《思辨数学与算法数学》中提出问题：“设有白酒与红酒各一杯，分量相同.现从白酒杯中舀一匙放入红酒杯中，调匀后，舀回一匙放进白酒杯中.问白酒杯中所含的红酒是否少于红酒杯中所含的白酒？”

弗氏说，会出现两种解法.多数人会在设酒杯和羹匙的容积之后，实际计算一番（其中不少人还会遇到困难）.只有少数人会作如下的“思辨”求解：两个杯子最终所盛液体分量相同.设想将每杯中的白酒与红酒分离，则白酒杯中之红酒是来自红酒中之“所失”，而红酒杯中“所失”的分量正好由白酒置换.因此，白酒杯中所含的红酒与红酒杯中所含的白酒，分量相同.

多一点思考，换一个角度，问题就一语道破！大师的“思路”，令人大开眼界.

（二）当代数学大师陈省身，1980年在北京大学的一次讲学中妙语惊人：“人们常说，三角形内角和等于180°.但是，这是不妥的！”当时全场爆发一阵笑声，于是陈教授作了精辟的解释：“三角形内角和为180°”不妥，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应该说“三角形外角和是360°”.把眼光盯住内角，只能看到三角形，四边形，……，n边形的内角和分别是180°，360°，……，（n-2）·180°——公式里出现了边数n.

如果看外角呢？不论是三角形、四边形或n边形，外角和都是360°！这样就把一切可能的情况用一个十分简单的结论概括出来，用一个与n无关的常量（360°）代替了与n有关的公式，找到了更一般、更明白的规律.

设想一只蚂蚁在多边形的边界上绕圈子，每经过一个顶角，它的前进方向就要改变一次，改变的角度恰好是这个顶点处的外角的度数.爬了一圈，回到原处，角度改变量之和当然恰好是360°.

（三）G·波利亚曾任国际数学教育委员会主席，“鸡兔同笼”问题最早见于我国古代的《孙子算经》.波利亚认为该题是一个“智力测验的难题”，若干世纪以来一直使“许多聪明的青少年感兴趣”.下面就让数学教育大师向我们讲解“鸡兔同笼”问题.

题目：一户农家的大笼子里关着若干只鸡和兔子，它们共有50个头和140条腿，问其中鸡、兔各几只？

解1（试凑法）一共50只鸡兔，它们不会全是鸡，否则只有100条腿；也不可能全是兔子，否则将有200条腿.会不会正好一半是鸡，另一半是兔子？如果这样，总共的腿数为25×2+25×4，即150条，超过了题目中的140条.可知兔子应少于25只，让我们再试一试（即20只兔子，30只鸡），这时总共的腿数为20×4+30×2=140（条）.这里用的是试凑、猜测的办法.

解2（触景生情引发的巧思）在我们持续探求新解法时，有人忽然看见笼子里的家畜作出一种新姿势：每只鸡都用一条腿站着，而每只兔子都仅用后腿（两条）站着.这时，只用了半数的腿，即70条腿，在70这个数目中，显然鸡的头只计算了一次，而兔子的头则计算了两次.从70这个数减去所有的头数50，就应是兔子的头数70-50=20，即兔子20只，于是鸡有30只.

巧思是诱人的，但毕竟不可多得，如果不是“触景生情”，也一定是有心人久经思索所得.

解3（代数的方法）我们已经学过“好的数学——方程（组）”，多数读者一定会列方程（组）解决此题：