学生如何理解“战略性”概念

本期话题：你会读你自己的课堂吗？（续 ）

留心读自己的课堂，这是一种重要的反思意识。看似平庸的日常课堂将因此变成富矿。

然而怎样才能挖出金子，这始终是一个问题。

从阅读学生开始，是一个关键而现实的起点。教育心理学为我们描画的是共性、抽象的“儿童”、“少年”，而真正个性、具体的学生仍然需要靠我们自己来理解。课堂就提供了这样生动的例子。王长沛老师从一个片段中读出了有趣的思维成长过程，也读出了数学重要概念的教学内涵。

在复杂的课堂事件中捋出条理，还有赖于必要的理论视角。这是提升实践意义的专业基础。王永老师尝试从“数学化”理论的角度对一堂课上学生不断出现的错误进行分析，获得教师应该具有的数学教育哲学。

从实践中生长理论，从理论中汲取拨开复杂现实面纱的力量，这是教师阅读课堂这本大书的两条路径，也是教师专业成长的必经通道。

让我们一起穿过雷同的教育程式，来翻读背后的这部书吧！

《a能表示什么》※这堂课有许多有趣的情节，关于“摆a个正方形需要多少根火柴棍”所引起的探索与讨论便是其中之一。对它的分析有助于了解：（1）学生建立对字母的理解要经历一个什么样的过程？（2）许老师所设置的教学活动是怎样影响学生的？让我们来回顾发生在这堂课上的一段故事吧！

在许老师提出这个问题后，学生杨继川给出了一个颇为复杂的表达式：4a-（a-1），所用的方法是将a与具体算式4×150-149中的“150”、“149”进行对照、替换。而下面的回答同样引人注意：

（针对许老师的问题“摆a个正方形需要多少根火柴？”）

李岩龙：xa+1。a表示正方形的个数，x表示搭正方形所需的根数。

王佳姗：4a-x。

王伟亮针对李岩龙所给出的表达式做了这样的评论：

王伟亮：我不同意李岩龙的方法，我认为是3a+1。从前面可以知道，把第一个正方形去掉一根火柴棒，摆一个正方形用了3根，所以是3a+1。

這以后，另一个学生的解释也同样令人思考：

张欢：我认为他们说的不对，x是未知数，它没有固定性，它是多少都可以。

这些对话传达了哪些信息？对学生的这些认识活动，我们如何解释？这些认识活动对学生有什么价值？

有些数学教师对上面的现象不以为然，甚至把它看作是这堂课不成功的证据。他们建议：通过教学过程的周密设计与控制，许老师课上学生的那些“误解”是完全可以避免的。教师的讲授应当预先就把“漏洞堵住”，避免产生上面的错误。他们（包括一些小学教师）把字母表示数看作是一个“非常简单的知识”，告诉学生就行了。

但是从另一个角度看，许老师与学生们的这些对话却很有意义。它们在一定程度上反映了部分学生（10～15岁）建立概念的过程（或典型的认识方式），也反映了他们在数学抽象思维上所达到的水平。

对杨继川而言，他知道“字母表示数”，但似乎还不能把握a的意义，不能把字母本身看作是独立的数学对象。因此，他要借助某个具体的算式，依赖某种“抓手”，通过“一个一个”地用a取代数150才能写出算式。而持这种认识的学生不在少数。

李岩龙在尝试用a表示正方形个数的同时，却不能把字母与所表示的对象的具体意义相匹配，于是就“顺便”用x来取代3（在摆第一根后，每摆一个正方形只需3根）。

张欢虽然认识到x可以取不同数值，却认为它不能取某个特定的数值。

王伟亮的表达与解释都是很清晰的。从这堂课以及以后的测试看，他能把字母a看作“能取许多数值的”独立的数学对象。

由此可见，学生可能会在不同水平上，以不完全相同的方式理解这个概念。他们形成对符号（这里是字母）的认识是和形成相应的数学对象（即字母表示的意义）的过程紧密联系在一起的。注意，这里指的是“一般的数”，而不是某个具体的数！他们往往“顾此失彼”。

特别有趣的是杨继川，他不仅给出了正确的表达式4a-（a-1），还做了清晰的说明。但没过几分钟，他又突发奇想，给出这样的表达式：（摆a个正方形需要）4+aa（根火柴棒）。这令全班同学大跌眼镜！反复查看杨继川在课堂上的认识活动，可能的一种解释是：他对“字母表示数”并未形成稳定的认识。仅仅停留在把字母看作是“表示某个具体的数”是远远不够的，虽然这种“理解”也能成功地解决某类问题，但由于不能把握a的意义，不能把字母本身看作是独立的数学对象，这些学生只好在形式上用a取代具体数（如150）。杨继川所做的不正是“无意义的符号游戏”吗？由于忽略了算式本身的意义，自然也就难免顾此失彼。可见，只停留在把字母看作是“某个具体的数”的水平，还是远远不够的！

这段认识活动的启示是：要学生把字母a理解为一种独立的、表示数的变量，远非我们想象的那样简单。“字母表示数”是一个非常丰富而又“难产”的概念。这是一个由具体到抽象的过程，也是把“一般的数”看作是数学对象的过程。这是认识上的一次飞跃。

数学思想史也支持上面的看法。数学家丢蕃图（公元四世纪）被认为是使用代数符号的第一人，但他只是在“速记缩写”的水平（如代表未知数）使用字母。由这个水平发展到用字母表示一般的数，人类整整用了1200年。这是多么漫长的过程啊！创造认识对象，也包括创造这个对象的数学表示——符号。这两者是并行发生与发展的。后来，字母不仅用来表示数、表示变数，还用来表示抽象的变元。符号的形成，常常会经历一个漫长的演变过程。

建立对字母表示数的理解，不仅具有关乎数学学习全局的重要性，还是一个复杂而漫长的过程。如果说个体的成长往往会以某种形式重复人类发展的历程，那么儿童对字母表示数的理解或多或少也要经历类似的跌跌撞撞的发展过程，才能在比较抽象的水平形成新的数学对象“一般的数”与它的符号表示！我们不妨把“字母表示数”看作是一种“战略性”的概念。这是相对于“战术性”的概念（例如那些可以借助概念的上下位结构而确定的概念）而言的。正因为如此，《数学课程标准（实验稿）》提出“符号感”这个术语，并把发展“符号感”作为贯穿于义务教育阶段数学的重要内容。

在这节课中，许老师采用摆火柴棒的活动，让学生体验发现与表示一般规律的需要。然后由表示一般规律而产生用字母表达的需要，再让学生用字母a表示正方形个数，尝试构造所需火柴棒个数的一般表达式。在教学活动中，许老师鼓励学生说出自己的做法与认识。正是在学生与教师“讨价还价”的交流中，折射出人类逐步“发明”用字母表示数所经历的某些过程，也折射出学生建立概念的艰难旅程，而这些恰恰是最有价值的活动。

当然，直接“告诉”学生并安排恰当的练习，以帮助他们获得关于“字母表示数”的初步认识，这也是一种选择。但要知道，“字母表示数”的教学，远不是“了解事实”就够了。对类似这样的概念，教师讲得再清楚，甚至处处“设防”，也未见得能阻止学生按自己的方式理解概念。学生没有机会发表自己的看法，不等于那些“模糊认识”就不存在。理解上的“似是而非”，“时而清楚、时而模糊”，这是建构数学理解的必由之路。他们正在经历的是最重要、最美妙的数学化过程。随着代数知识的继续学习，依靠经验的积累与顿悟，大多数学生会逐步形成关于“字母表示数”的深刻理解。也会有部分学生对字母的理解仍然停留在较低水平。教师对此应有清醒的认识。

在数学课程中，“战略性”概念还有很多，例如分数、比与比例、平均数与函数等。对某些学生来讲，这些往往是难于理解的“概念”，涉及新的、更高抽象层次的数学对象的建立，还常涉及到某种新的思想方法的掌握，需要克服某些认识上的障碍。我国数学教育家刘景昆在总结毕生的教学经验时，说过这样一句话：凡是难学的概念，往往是学生自己悟出来的，而不是我教会的！这的确是真知灼见！我想刘先生指的正是这些概念吧！但是，教师的指导却十分重要。“悟”总是建立在经验的积累基础之上的。而“积累”是由教师帮助建立的。

从许老师的课以及关于这节课的讨论中，笔者得到的一个启示是：对数学课堂教学进行观察与分析，首先要对它所涉及到的数学本身进行考察，因为这种考察决定着教学策略的选择。