微软“选秀题”中的数学思维

林　革　顾小平

【面试题】一个正三角形的每一个角各有一只蚂蚁．每只蚂蚁开始朝另一只蚂蚁做直线运动，目标角是随机选择的．蚂蚁不相撞的概率是多少？

这是一道生动而有趣的题．这个问题并不复杂，解题过程也简单直观．只是一般的应试者很容易落入出题者的“陷阱”，即自然想像成：三只蚂蚁在每个角上都有两种选择方向，每只蚂蚁选择的不确定性，组成的各种运动情形较繁杂．这样就抓不住解决问题的关键，甚至出现思维混乱．微软公司要求应试者能排除习惯因素的干扰，具有化繁为简、切中要害的能力．

为了说明面试题蕴含的数学思维，我们先看下面这道趣味题：

一家录像厅，原门票８元一张，降价后平均每场观众增加了３倍，收入增加了１．５倍，门票降价多少元？

这个问题的描述只是停留在表面情况上，按常规思路来解答似乎缺少条件，而我们一旦采用“简约”思路来考虑，把问题简化成原来平均每场只有一个观众，研究起来就非常方便快捷．

若原来平均每场观众只有１人，则降价后平均每场就有１×（１＋３）＝４人，收入８×（１＋１．５）＝２０元．由此可知，门票降价后为２０÷４＝５元，即门票降价８－５＝３元．可见“简约”思维可以达到直奔主题、迅速解决问题的目的．

类似地，我们也可以用“简约”思维分析解答微软的面试题．从整体来看，只有２种方法可以让蚂蚁避免相撞，即：它们全部顺时针运动，或者全部逆时针运动．否则，肯定会撞到一起．既然如此，我们不妨选择一只蚂蚁Ａ作为参照标准，一旦Ａ确定了自己是按逆时针方向或者顺时针方向运动，那么其他蚂蚁就必须做相同方向的运动才能避免相撞．由于蚂蚁运动的方向是随机选择的，那么第二只蚂蚁Ｂ有的概率选择与Ａ相同的运动方向．同样第三只蚂蚁Ｃ也有的概率选择与Ａ相同的方向．因此，蚂蚁避免撞到一起的概率就是×＝．怎么样？解答很简单吧． 其实问题本来就是很容易的，只是应试者往往习惯性地把它想得过于复杂而不自觉地给自己增加了难度．

为了强化这种十分有效的“简约”思维，最后向大家介绍一个有趣的数学游戏：甲、乙两人往一圆桌上轮流放一枚硬币，交替进行．规则是每一枚硬币都必须平放在桌上而且不许重叠，谁在桌上放下最后一枚硬币，谁就获胜．有没有方法判断哪一方一定能获胜呢？

这个问题的答案是：先放的一方必获胜．你也许会问这是为什么呢？最容易的方法是，想像硬币慢慢地大起来，最后极端的情况就是“硬币与圆桌一样大”，那么显然先放的那个人必获胜．因为这个人放了以后，另一个人就不能再放了．这种容易理解的解法正是由于采用了“简约”思维而发现的．在正常的情况下，硬币没有桌面大，桌上可以放许多硬币，是不是仍是先放的一方获胜呢？回答是肯定的．常规的解法如下：甲首先把硬币放在桌面的中心，不管乙把硬币放在什么地方，甲第二次都可以把硬币放在与乙的硬币关于桌面中心对称的地方．这样继续下去，必是甲获胜．