因式分解的常用方法

胡国忠

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.因式分解是整数质因数分解的发展，实质是多项式乘法的逆运算.它是多项式的一种恒等变形，主要包含以下三方面内容：

１.因式分解的对象是多项式，无论是被分解式还是分解后的每一个因式都是多项式或单项式.

２.因式分解的过程是多项式的恒等变形，每一步保持前后两式恒等，可以逆用多项式乘法或代入具体数值来检验.

３.因式分解的结果是整式连乘积的形式，并且每个因式都要分解到不能再分解为止.

因式分解的方法很多，技巧性较强，常用的有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、配方法.这些方法在应用时有一定的规律，但没有固定模式，且在分解因式时常常是将几种方法结合交替使用.现以竞赛题为例，说明分解因式的一般方法.

一、提公因式法

例１分解因式：２ｘ^３－ｘ^２ｚ－４ｘ^２ｙ＋２ｘｙｚ＋２ｘｙ^２－ｙ^２ｚ.

（１９９９年天津市初二数学竞赛试题）

解：原式＝２ｘ^３－４ｘ^２ｙ＋２ｘｙ^２－（ｘ^２ｚ－２ｘｙｚ＋ｙ^２ｚ）

＝２ｘ（ｘ^２－２ｘｙ＋ｙ^２）－ｚ（ｘ^２－２ｘｙ＋ｙ^２）

＝２ｘ（ｘ－ｙ）^２－ｚ（ｘ－ｙ）^２＝（ｘ－ｙ）^２（２ｘ－ｚ）.

评点：不管用什么方法分解因式，有公因式的一定要先提公因式.分组要有预见性，本题的关键是要从系数和字母ｚ入手，观察得到含字母ｚ的三项与不含ｚ的三项系数比都是１∶（－２）∶１.

二、先分组，再套公式

例2将多项式ｘ^２－４ｙ^２－９ｚ^２－１２ｙｚ分解成因式的积，结果是（）.

（Ａ）（ｘ＋２ｙ＋３ｚ）（ｘ－２ｙ－３ｚ） （Ｂ）（ｘ－２ｙ－３ｚ）（ｘ－２ｙ＋３ｚ）

（Ｃ）（ｘ＋２ｙ＋３ｚ）（ｘ＋２ｙ－３ｚ）（Ｄ）（ｘ＋２ｙ＋３ｚ）（ｘ－２ｙ－３ｚ）

（第９届“希望杯”全国初中数学竞赛题）

解：原式＝ｘ^２－（４ｙ^２＋１２ｙｚ＋９ｚ^２）

＝ｘ^２－（２ｙ＋３ｚ）２＝（ｘ＋２ｙ＋３ｚ）（ｘ－２ｙ－３ｚ）.选（Ｄ）.

评点：解本题的关键是发现４ｙ^２＋１２ｙｚ＋９ｚ^２是个完全平方式.

三、先分组，再代入确定系数

例3设ｘ^３＋３ｘ^２－２ｘｙ－ｋｘ－４ｙ可分解为一次与二次因式之积，则ｋ＝_______.

解：ｘ^３＋３ｘ^２－２ｘｙ－ｋｘ－４ｙ

＝（ｘ^３＋３ｘ^２－ｋｘ）－（２ｘｙ＋４ｙ）＝ｘ（ｘ^２＋３ｘ－ｋ）－２ｙ（ｘ＋２）.

欲使此式可分解，则ｘ^２＋３ｘ－ｋ应含因式ｘ＋２.

以ｘ＝－２代入ｘ^２＋３ｘ－ｋ，则它的值为０，

即（－２）^２＋３（－２）－ｋ＝０，故ｋ＝－２.

评点：把含有字母ｙ的项分成一组，其他的项分成另一组，然后利用“ｘ＝－２代入ｘ^２＋３ｘ－ｋ，它的值为０”确定ｋ的值是解题的关键.

四、十字相乘法

2a-b

例4已知ａｂ≠０，ａ^２＋ａｂ－２ｂ^２＝０，那么———的值为________.

2a+b

（１９９９年全国初中数学竞赛题）

解：由条件得（ａ＋２ｂ）（ａ－ｂ）＝０，故可得ａ＋２ｂ＝０或ａ－ｂ＝０.

2a-b5

当ａ＋２ｂ＝０时，即ａ＝－２ｂ，＝———=——；

2a+b3

２a-b１

当ａ－ｂ＝０时，即ａ＝ｂ，————＝——.

２a+b3

２a-b5 １

故———的值为——或——.

２a+b3１

评点：解本题的关键是利用十字相乘法把ａ２＋ａｂ－２ｂ^２分解因式，从而得到ａ、ｂ之间的关系式.

五、先将多项式“全部还原”或“部分还原”，再分组

例5把多项式ｂ^２－ｃ^２＋ａ（ａ＋２ｂ）分解因式，得_______.

（２００１年全国初中数学联赛题）

解：ｂ^２－ｃ^２＋ａ（ａ＋２ｂ）＝ｂ^２－ｃ^２＋ａ２＋２ａｂ

＝（ａ２＋２ａｂ＋ｂ^２）－ｃ^２＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）.

评点：当多项式是几项积的和时，先将多项式“全部还原”或“部分还原”，再重新整理分组，是解决此类问题比较好的方法.

请做下面几道竞赛题：

１.分解因式：ｘｙ－１－ｘ＋ｙ＝_______.

（第１０届“希望杯”初中数学竞赛题）

２.下列５个多项式，其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（）.

①ａ２ｂ^２－ａ２－ｂ^２－１；

②ｘ^３－９ａｘ^２＋２７^ａｘ－２７ａ^３；

③ｘ（ｂ＋ｃ－ｄ）－ｙ（ｄ－ｂ－ｃ）－２ｃ＋２ｄ－２ｂ；

④３ｍ（ｍ－ｎ）＋６ｎ（ｎ－ｍ）；

⑤（ｘ－２）２＋４ｘ.

（Ａ）①②③ （Ｂ）②③④

（Ｃ）③④⑤（Ｄ）①②④

（第１０届“希望杯”初中数学竞赛题）

３.下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（ ）.

（Ａ）ｘ^３－９ｘ^２＋２７ｘ－２７ （Ｂ）ｘ^３－ｘ^２＋２７ｘ－２７

（Ｃ）ｘ^４－ｘ^３＋２７ｘ－２７ （Ｄ）ｘ^３－３ｘ^２＋９ｘ－２７

（第１３届“希望杯”初中数学竞赛题）