全等三角形开放性试题的特点

刘金江

开放性数学问题有利于激发我们的创新意识，启迪创新思维，培养创新精神，是中考命题的热点.本文举例说明全等三角形开放性题的特点.

一、条件开放

给出部分条件和问题结论，要求我们探索该结论成立的条件，因使结论成立的条件往往不惟一，这就是条件开放题.它要求我们从结论出发，逆向、多角度分析问题.

例１如图１，在△ＡＢＣ中，ＡＤ⊥ＢＣ，ＣＥ⊥ＡＢ，垂足分别为Ｄ、Ｅ，ＡＤ、ＣＥ交于点Ｈ，请你添加一个适当的条件：，使△ＡＥＨ≌△ＣＥＢ.

分析：由题意知，在△ＡＥＨ、△ＣＥＢ中，∠ＥＡＨ＝∠ＥＣＢ，∠ＨＥＡ＝∠ＢＥＣ，只要再加一条对应边相等的条件即可，因此添加的条件可为ＡＥ＝ＣＥ或ＥＨ＝ＥＢ或ＡＨ＝ＣＢ.

评点：这道题要求我们全面掌握全等三角形的知识，且具有较强的分析能力、推理能力.这类题改变了被动地利用条件解题的思路，要求大家主动获取条件，进行创造性学习.

二、结论开放

给出条件，要求根据条件探索结论，由于符合条件的结论往往呈现多样性，这就是结论开放题.这类题要求我们进行大胆合理的猜想，发现规律，得出结论.

例２如图２，若ＡＣ、ＢＤ、ＥＦ两两互相平分于点Ｏ，请写出图中的一对全等三角形：.（只需写一对即可）

分析：不难发现图２中有多对全等三角形．如△ＡＤＯ≌△ＣＢＯ，△ＤＯＦ≌△ＢＯＥ，△ＤＯＣ≌△ＢＯＡ，△ＡＤＣ≌△ＣＢＡ，△ＦＯＣ≌△ＥＯＡ.

例3如图３，Ｄ是ＡＣ上一点，ＢＥ∥ＡＣ，ＢＥ＝ＡＤ，ＡＥ分别交ＢＤ、ＢＣ于点Ｆ、Ｇ，∠１＝∠２.

问图中哪个三角形与△ＦＡＤ全等？并证明你的结论.

解：△ＦＥＢ≌△ＦＡＤ.

证明：∵ＡＤ∥ＢＥ，

∴∠１＝∠Ｅ.

又∵∠ＥＦＢ＝∠ＡＦＤ，ＢＥ＝ＡＤ，

∴△ＦＥＢ≌△ＦＡＤ.

评点：这类问题让我们体会到同一条件下可以得到多种结果，能培养思维的灵活性和发散性.解题时要注意题后括号中的附加说明.

三、策略开放

例4此题有Ａ、Ｂ、Ｃ三类题目，其中Ａ类题４分，Ｂ类题６分，Ｃ类题８分，请你任选一类证明，多证明的题目不记分.

（Ａ类）已知：如图４，ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ.求证：∠Ｂ＝∠Ｃ.

（Ｂ类）已知：如图５，ＣＥ⊥ＡＢ于点Ｅ，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｄ，ＢＤ、ＣＥ交于点Ｏ，且ＡＯ平分∠ＢＡＣ.求证：ＯＢ＝ＯＣ.

（Ｃ类）已知：如图６，△ＢＤＡ、△ＨＤＣ都是等腰直角三角形，且点Ｄ在ＢＣ上，ＢＨ的延长线与ＡＣ交于点Ｅ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程.

证明：（Ａ类）在△ＡＢＤ和△ＡＣＥ中，

ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝∠Ａ，ＡＤ＝ＡＥ，

∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ，即∠Ｂ＝∠Ｃ.

证明：（Ｂ类）∵ＡＯ平分∠ＢＡＣ，ＣＥ⊥ＡＢ，ＢＤ⊥ＡＣ，

∴ＯＥ＝ＯＤ.

在△ＢＯＥ和△ＣＯＤ中，

∵∠ＯＥＢ＝∠ＯＤＣ＝９０°，ＯＥ＝ＯＤ，∠ＢＯＥ＝∠ＣＯＤ，

∴△ＢＯＥ≌△ＣＯＤ，即ＯＢ＝ＯＣ.

解：（Ｃ类）△ＢＤＨ≌△ＡＤＣ.

证明：∵△ＢＤＡ、△ＨＤＣ都是等腰直角三角形，

∴ＢＤ＝ＡＤ，∠ＢＤＨ＝∠ＡＤＣ＝９０°，ＨＤ＝ＣＤ.

∴△ＢＤＨ≌△ＡＤＣ.

评点：这类试题可以满足不同水平、不同个性同学的需要，这是尊重个性差异，“让不同学习风格的人在数学上都有平等发展”的一种尝试和探索.由于需对这些知识点掌握情况进行一次反思后才能作出选择，促进了我们认知能力的发展.