考考数学家

郑江

教材分析

“考考数学家”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师大版）七年级上册第五章《一元一次方程》的内容。“考考数学家”是从学生的实际问题出发，结合《数学课程标准》的理念，创造性地使用教材设计的一节课，是继前面有过经历“将实际问题转化为数学问题的过程”的经验后，体验文字语言、图形语言、符号语言的互相转换。本课的设计是从学生感兴趣的情景入手，通过画线段图获取信息，经历从不同的角度寻求不同的相等关系。通过本课教学，使学生初步感受“数学建模”的方法，更好地发展有条理地进行思考和表达的能力，为以后顺利学习有关其它方程打下基础。

学生分析

学生首次接触用列方程来解决生活中遇到的实际问题，其关键是正確找出等量关系，并设未知数建立方程。应用题是学生学习过程中的一大难关，故很多学生会厌倦和回避，只有通过创设引人入胜的实际问题情景，让学生在无形中产生浓厚的学习探索兴趣和热情，通过解决实际问题，学生感受到数学来源于生活又回归生活实际，才能激发学习数学的热情。

设计理念

1.从有趣的问题情景出发，让学生在轻松的环境中逐渐进入问题的解决中，同时设计一些问题串和活动，由易到难，由简单到复杂，逐层深入，让学生在自由愉悦的环境中学习，又在激烈竞争的环境中探索知识。

2.学生自己设计问题，拓展思维，给学生一个自由翱翔的思维空间和表现发挥的舞台，让学生充分体验投入探索后的成就感。

教学目标

1.经历运用画示意图寻求相等关系的过程，提高自己的思维能力。

2.利用路程、时间、速度三者之间的关系，借助画示意图列一元一次方程，解以现实活动为背景的应用题。

3.探索和寻求相等关系的方法，形成解决问题的一些基本策略，提高综合分析问题、解决问题的能力。

4.经历通过分析寻求不同的相等关系的过程，体验解决问题策略的多样性，发展创新能力。

教学重点：通过分析题意，寻找等量关系，列方程。

教学难点：从不同的角度来找等量关系，列方程。

教学过程

一、创设情景，提出问题。

师：当代数学家苏步青教授曾在法国遇到一个很有名气的数学家，在电车里给他出了一道题。

问题1：甲、乙两人，同时出发，相对而行，距离是50km，甲每小时走3km，乙每小时走2km，问他几小时可以碰到？苏步青教授一下子便回答出来了。你能回答上述问题吗？

二、组织学生活动。

学生活动一：

学生通过四人小组的活动，观察分析，理解题意，明白路程、速度、时间之间的关系。

在小组讨论的基础上，组织全班交流。

教师针对学生讨论的情况进行点评，引导学生分析，渗透数学建模的思想。

画出示意图：

引导分析：甲、乙相遇时，他们共行的路程为

本题有哪些相等关系呢？

从路程角度分析：甲行走的路程+乙行走的路程=_______。

从时间角度分析：甲行走的时间=乙行走的时间。

如果设甲、乙相遇，用的时间为X.此时相等关系：

甲行走的路程+乙行走的路程=_______。

即：甲行走的速度×甲行走的_______+乙行走的_______×乙行走的时间=_______。

则可得到方程：3X+2X=50

解;设甲、乙相遇时行走了X小时，根据题意得：

3X+2X=50

5X=50

X=10

答：他们10小时能相遇.

如果设甲行走的路程为Xkm，相等关系又是什么呢？

学生活动二：

学生通过四人小组讨论，相互合作交流。

教师点评分析。

【通过创设愉悦的问题情景，引起学生的学习兴趣，给学生提供经历从多角度寻求相等关系的过程，在轻松欢快中探索问题，解决问题。】

问题2：接着，这位法国数学家又说，甲带一只小狗丁诺，它每小时走5km，同甲一起出发，碰到乙时它又往甲这边走，碰到甲它又往乙这边走，问小狗在甲、乙相遇时一共走了多少千米？

师：在外国且又是电车上回答这个问题可有点难了，但是苏步青教授思考了一会儿，还是在下车前就解决了这个问题。你知道他又是怎样解答的吗？

学生活动三：

学生仍然分组讨论，由小组派代表来发表本组的见解。

教师点评分析。

画出示意图：

分析：小狗丁诺走的路程=小狗丁诺走的速度×小狗丁诺走的时间。

现在只须求出小狗丁诺走的时间，问题就解决了。

小狗走的时间为多少呢？

显然，小狗往返跑，直到甲、乙相遇时才停下来，故小狗跑的时间一定为甲、乙相遇前走的时间，问题由此就迎刃而解。

解：设甲、乙X小时后相遇，由题意得;

3X+2X-50

X=10

故小狗走的路程为：5×10=50（千米）。

答：小狗所走路程为50千米。

【学生惊讶又不知所措，抛砖引玉，让学生对数学知识的学习充满了憧憬和热情。通过设置的两个问题，形成问题串，逐步深入，引导发现，通过提问，把学生逐步引入问题情景中，并且问题具有一定的梯度，对学生的思考有一定的引导和启发作用。画出相应的示意图解决问题是解应用题的一个重要手段，要使学生学会利用不同的示意图解决问题。】

师：事情还没结束，苏步青教授回国后把这个问题向他的学生讲了以后，学生又向苏步青教授问了几个问题。而苏步青也在很短的时间内回答了这几个问题？你行吗？

问题3：学生A提出问题。

如果乙带小狗，而小狗也以5kml小时的速度向甲跑，遇甲后又往乙跑，遇乙后又往甲跑，当两人最终相遇时，小狗跑的路程又为多少呢？

学生活动四：

学生仍然分组讨论，由小组派代表来发表本组的见解。

【进一步创设有趣的问题情景，引起学生的学习兴趣，通过变换情景，改变问题类型，培养学生的思维迁移能力，通过激励来增强学生对问题探索的欲望。】

教师引导分析。

提问;这个问题与第二个问题的区别和联系分别是什么呢？

显然，行走的路程只与时间有关（速度没变），而时间的决定与小狗出发点没关系，故还是与问题2的解答结果一样。

小狗丁诺走的路程=小狗丁诺走的速度x小狗丁诺走的时间

现在只需求出小狗丁诺走的时间，问题就解决了。

小狗走的时间为多少呢？

显然，小狗往返跑直到甲、乙相遇时才停下来，故小狗跑的时间一定为甲、乙相遇前走的时间。问题由此就迎刃而解，解由学生来完成.

【问题进一步升华，此时问题和学生的兴趣达到一个高潮，通过越来越多的变式，使学生感受到问题层出不穷，变幻莫测，从而体验到数学的奥妙和神奇。】

问题4：学生B提出问题。

如果甲、乙、小狗都从一点出发，同向而行，其速度皆不变，而乙和小狗先出发3小时，甲再出发追赶乙，当甲追上乙时，小狗跑了多少米？

学生活动五：

学生仍然分组讨论，由小组派代表来发表本组的见解。

教师引导分析。

画出示意图：

分析：变换情景后，变成了什么问题？问题的等量关系又是什么？

小狗跑的路程二小狗跑的速度x小狗跑的时间，故这里也是先要求出甲追上乙的时间.

在探究问题中建立等量关系：

甲行走的速度x甲追上乙行走的时间=乙行走的速度x甲追上乙行走的时间+乙提前行走的速度x乙提前走的时间。

而这时的未知数是甲追上乙走的时间：

解：设甲追上乙的时间为x.故依题意得：

3X=2X+2×3

X=6

故小狗行进的路程为：

5×3+5×6=45（千米）

【学生兴奋好奇地面对新问题，并积极思考。教师给予引导，抓住问题间的关系找出等量关系。学生通过相互讨论、探索学习来解决问题，有一种豁然开朗的感觉，充分享受成功。】

问题5：学生C提出问题：

如果甲、乙、小狗从同一A点出发，同向而行，而甲先出发5小时，乙才和小狗一起出发，当小狗追上甲时，甲走了多少千米？乙还能追上甲吗？为什么？

学生活动六：

学生仍然分组讨论，由小组派代表来发表本组的见解。

教师引导分析。

分析：显然，小狗和甲又形成了追击问题，由问题4知，设小狗追赶甲的时间为X，则可得到：

5X=3X+5×3

X=7.5

此时小狗行走的路程二甲行走的路程=5×7.5=37.5（千米）

乙不能追上甲，原因何在呢，如果乙能追上甲，则肯定有等式：

2X=3×5+3X

X=-15

显然时间不能为负数。

说明：速度较大者追速度较小者，定能追上，而速度较小者，追速度较大者，肯定不能。

从而引出悖论：公元前400多年古希腊的芝诺提出这样一个观点，跑得最快的阿基里斯永远追不到爬得最慢的乌龟。因为阿必须到达乌龟的出发点A，而此时乌龟又进到A1点，当阿再进到A1点时，乌龟又进到A2点，如此继续下去，阿永远追不上它。显然这是一个错误的结论，故称为悖论。而又应该怎么解釋呢？

【通过数学趣味性的渗透，进一步引发学生对数学的热爱和学习探索的欲望，从而加强对问题矛盾性的正确分析和证明的积极性。】

三、思考。

假如你也是苏步青教授的学生，你也出一个题来考考，看哪些同学提出的问题有深度。

【自己设计问题，拓展学生的思维空间，开发学生的思维活力，学生多角度、多方位、多层次地提出问题，深深感受到数学知识运用的灵活性及享受成功后的幸福感。】

四、课后拓展。

同学们查阅相关资料，了解有关悖论的问题.

【进一步拓展学生在数学领域内的视野，增强学生对数学的兴趣，使学生从小热衷于数学的学习和探索。】

课后思考

学生通过本堂课教师设计的问题串，从易到难、从简单到复杂、从教师的带领到学生的自己探索和设计，让学生充分感受到学习数学的趣味及意义，学生在老师的引导下独自探索，无不体现一种学习的自主性和积极性，问题情景的创设更是引人入胜，学生的思维也在不经意中展开，这样，知识的学习和掌握，不是一种任务和负担，而是一种精神上的充实。