第一届美国数学邀请赛试题

(1983年)

《科学画报》编者按:第一届美国数学邀请赛于今年3月22日，在上海市科学会堂举行。本市八所中学的76名学生参加了这次邀请赛。

第一届美国数学邀请赛的试题由美国数学协会命题，共15道题，要求应试者在2.5小时内答完。试题的形式新颖，内容广泛，并有一定难度。现征得上海市数学学会的同意，将试题全文发表。

本刊编者按:试题的答案刊登在本期。解题思路与技巧的辅导本刊将分别在第10期、11期陆续发表，请读者注意。

1.设x，y和z都大于1，ω是正数，且有logxω=24，logyω=40，logxyzω=12，求logzωw。

2.设f(x)=|x-p|十x一15

+|x-p-15|，其中0

3.方程x2+18x+30=

少?

4.一金工车间的切割工具呈有缺口的圆形，如图①所示，圆的半径

2cm，

5.设两复数x和y的平方和为7，它们的立方和为10，x+y能取到的最大实值是多少?

6.设an=6n+8n，决定a83除以49的余数。

7.某个国王的二十五位骑士围坐在他们的圆桌旁，他们中间的三位被选派去杀一条恶龙(设三次挑选都是等可能的)，令P是被挑到的三位骑士中至少有两位是邻座的概率。若把P写成一个既约分数，其分子与分母之和是多少?

的二位数质因子的最大值是多少?

9.对0

10.数1447，1005和1231有某些共同点，即每一个都是以1开头的四位数，且每个数恰好有两个数字相等。这样的数共有多少个?

11.一个以边长S的正方形为底的物体，如图②所示。其最上方的一条边平行于底面，且长度为2S，

此物体的体积是多少?

12.一圆(图③)的直径AB是一个二位整数(十进制)，把它的十进制表示的两个数字交换次序恰巧是垂直弦CD的长度。交点H到圆心O的距离为一正有理数。试决定AB的长度。

13.对{1，2，……，n}及其每一非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的数开始交替地减或加后继的数。(例如，{1，2，4，6，9}的“交替和”是9-6+4-2+1=6，{5}的“交替和”就是5)。对n=7，求所有这种“交替和”的总和。

14.在附图④中有半径分别为6和8的圆，其圆心距为12。过二圆的一个交点P引一直线，使弦QP和PR长度相等。求QP的长度的平方。

15.如附图⑤所示，一个圆内有两条相交的弦，其中B点落在小弧AD上(注:小弧指所对的圆心角小于180℃的那段弧，下同)。设圆的半径为5，BC=6，且弦AD被BC等分。又设AD是从A点引出的被BC等分的唯一弦。这样，小弧AB所对的圆心角的正弦必是一个有理数。若此数表示成既约分数m/n，积mn是多少?

注:每题答数均为小于999的正整数。