打破“圆”规轮胎并不是非“圆”不可
2025-02-20彭子妤王天志
在我们的日常生活中，无论是汽车、飞机，还是用来运送货物的推车，它们的轮胎都是圆形的。为什么会将轮胎设计为圆形？这利用了圆形的什么特殊性质？其他形状是否也可以“变身”为轮胎外形？接下来就和我们一起从数学角度探秘这些问题吧。
圆形为何备受青睐？
物理优势——圆形轮胎可以最大限度地减少轮胎与地面的接触面积，从而减小摩擦力，节约前进过程中的能源消耗，保障汽车等交通工具平稳、安全地行驶。
圆形的半径是确定的，其圆心到圆周任意一点的距离都相等，所以当轮胎在地面滚动时，轮胎中心与地面的距离总是等于车轴——即轮胎半径，使车辆行驶起来极为平稳。
在了解圆形轮胎背后的原理后，我们就可以大胆想象：世界上是否有其他图形能够满足轮胎必备的平稳性？若能找到另外能满足“图形中心与地面接触任意一点的距离都相等”的图形，设计师们就可以设计出其他形状的轮胎。
现实中，确实有一种非圆形形状的轮胎，它似三角形又似圆形，能支持自行车的使用。在数学世界里，我们把这样的图形称为鲁洛克斯（Reuleaux）三角形，又称为莱洛三角形、圆弧三角形。
似圆又非圆
鲁洛克斯三角形是一个独特的三角形。它是一个以正三角形的顶点为中心、以边长为半径构建3段圆弧后，由这3段圆弧组成的“曲边三角形”。
我们先画出一个正三角形ABC，再以正三角形ABC的3个顶点为圆心、以其边长为半径画弧，便可以得到一个鲁洛克斯三角形。
根据其画法和特征，我们可以分析出它具备圆的等距性。
当鲁洛克斯三角形向任意方向转动时，作与它运动轨迹相切的两条平行直线，可以发现所作出的每组平行线都有相同的宽度。在数学上，这类在平面内按一定规律旋转一定角度后，仍能与原线段逆向重合的特殊几何图形，被命名为等宽曲线。
而这组平行线间的垂线段被称为等宽曲线的宽。鲁洛克斯三角形正是等宽曲线的一种，它能在两条平行的直线（该直线与正三角形边长相等）间自由滚动，距离与其圆弧半径相等，并与这两条平行线始终保持接触。
圆形是等宽曲线中最常见的一种，根据等宽曲线的定义可以发现，任意一个具有奇数边，且对角线相等而边长不一定相等的多边形，都可以构造出等宽曲线，而偶数边的多边形已被证明是不可能构造出等宽曲线的。例如，以正五边形的对角线为半径画5段圆弧，就能得到一个圆弧五边形，还可以根据等宽曲线定义作出圆弧七边形、圆弧九边形等各种正多边形的等宽曲线。
“玩转”等宽曲线
那么，任意多边形能否得到对应的等宽曲线呢？以直角三角形为例，我们一起来探究一下它是否存在对应的等宽曲线。
首先画出一个具有勾三股四弦五特征的直角三角形，即直角三角形斜边AB＝5，较长直角边AC＝4，较短直角边BC＝3，便于作辅助线。
随后，根据等宽曲线定义中的等宽性，分别以3个顶点为圆心，延长直角三角形的边长，使得延长后的相邻两条边可成为一个圆的两条半径。
①延长BC至F，可将AB、BF看作一个圆的半径；
延长CB至G，可将AC、CG看作一个圆的半径；
延长AB至D、AC至E，可将AD、AE看作一个圆的半径
②所以AB＝BF＝5" AC＝CG＝4" AD＝AE
使得CF＝CE＝AB－BC＝2 使得BG＝BD＝AC－CB＝1
③由此就可以得到：
AD＝AE＝AB＋BD＝5＋1＝6
最后，分别以C为圆心，以CF为半径作从E到F的圆弧；
以B为圆心，以BA为半径作从F到A的圆弧；
以C为圆心，以CA为半径作从A到G的圆弧；
以A为圆心，以AD为半径作从D到E的圆弧；
以B为圆心，以BG为半径作从G到D的圆弧；
得到5条圆弧，符合等宽曲线定义。
由此我们可以发现，只需要根据等宽曲线的定义，就可以构造出任意奇边形对应的等宽曲线。
鲁洛克斯三角形“动起来”
那么，在平面中存在的等宽曲线是否在多维空间中存在立体形态呢？根据平面上鲁洛克斯三角形的画法，我们首先可以在立体空间里构建一个正四面体，以各个顶点为球心以及对角线为半径构建球体，而中心的“圆润四面体”便是正四面体的三维定宽体——Meissner体，中文名称为迈斯纳四面体。
等宽曲线的独特价值
由于具有等比例对称美感、可分散力的工程学优势、节约空间优势及其他特殊性质，等宽曲线在数学或设计等方面具有极高的研究价值。
例如，在研究最值问题时，高度相同的等宽曲线具有相同的周长（等宽曲线的周长公式为：宽度×π），在等宽曲线中，圆的面积最大，鲁洛克斯三角形的面积最小。
鲁洛克斯三角形凭借其滚动性质，还可以作为运动学问题中的曲线连杆。不仅如此，在设计方面，大到国家货币，小到扑克牌的创新，都有鲁洛克斯三角形的身影。
英国以圆弧七边形为灵感，设计了50便士与20便士的硬币，这样的硬币给人一种圆润且不失比例的美感。
有研究人员还根据鲁洛克斯三角形的边、角均圆润的特点和人体工学知识，设计出了更方便人们使用的扑克牌，使它的弧度与握牌时手掌内部的结构相吻合。相比于传统扑克牌的长方形造型，新型扑克牌尖角朝下的抓牌方式，使得扑克牌在手中的抓握面积更小，更加美观。
等宽曲线是一类好看且有趣的几何图形，希望各位青少年可以充分发挥想象力和创造力，动手尝试构造自己喜爱的等宽曲线。
知识拓展
鲁洛克斯三角形让钻头变得更好用
德国机械学家莱洛在设计方孔钻头时发现了鲁洛克斯三角形，并凭借这个灵感发明创造出了方孔钻头。
固定了鲁洛克斯三角形钻头后，钻头开始在一个边长为鲁洛克斯三角形的正方形内旋转工作。莱洛发现，这个三角形在任何时候都有4个点可与正方形接触，且这4个点的位置是不断改变的，在旋转之后可以获得一个四角圆润的正方形孔洞。
运用五边形钻头则能得到正六边形的钻孔，这可以满足一些特殊的工业设计需求。
（责任编辑 / 王佳璇 美术编辑 / 徐博宇）
