配速法分析带电粒子在复合场中的摆线运动临界问题

摆线是指一个圆沿一直线缓慢地滚动，圆上一固定点所经过的轨迹.近几年高考出现了带电粒子在复合场中受不为零的恒力，导致粒子的速度大小改变，洛伦兹力随着变化，使粒子做比较复杂的摆线运动.下面通过配速法分析带电粒子在电场、磁场或重力叠加场中摆线运动的规律，并阐述其临界条件．

1.初速度为零的带电粒子在复合场中摆线运动的临界条件分析

如图1（a）所示，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为+q的带电粒子由静止释放，粒子重力不能忽略.应用运动的合成与分解的知识，把初速度为零的速度，分解为水平向右的分速度v和水平向左的分速度v，其中水平向右的速度v对应的洛伦兹力等于重力，即mg=Bqv，则v=mgqB，如图1（b）所示，粒子向右做匀速直线运动.建立如图2所示的直角坐标系，以圆上定点的初始位置为坐标原点0，向左的分速度v导致粒子受到另一个洛伦兹力，在竖直平面内做逆时针的匀速圆周运动且半径r=m2gq2B2，周期T=2πmqB，每经历一个周期T，粒子的水平位移为x=vT=2πm2gq2B2，粒子离水平轴最远的距离d=2r=2m2gq2B2；当粒子的匀速直线运动和匀速圆周运动速度v同向时，则粒子的速度最大vmax=v+v=2v；当粒子的匀速直线运动和匀速圆周运动速度v反向时，速度最小vmin=v-v=0.这样把复杂的摆线运动分解为两个比较常见的运动，这种方法叫配速法．

【例1】如图3（c）所示，某空间内存在电场强度大小E=100V/m、方向水平向左的匀强电场和磁感应强度大小B=100T、方向垂直纸面向里的匀强磁场.一质量m=01kg、带电量q=001C的小球从0点由静止释放，到达点0′时速率恰好为零，g取10m/s2.求：

（1）小球运动过程中的最大速率；

（2）小球运动过程中距离00′的最大距离ym；

（3）00′的长度及方向．

【解析】（1）如图3（d）所示，把初速度为零的速度，分解成一个斜向左上方的速度v和一个斜向右下方的速度v，其中斜向右下方的速度v对应的洛伦兹力等于电场力和重力的合力，即Bqv=

（mg）2+（qE）2，则v=（mg）2+（qE）2Bq=2m/s，小球在斜向右下方的方向做匀速直线运动.斜向左上方的分速度v导致小球受到洛伦兹力，在竖直平面内做逆时针的匀速圆周运动，且半径r=mvBq=210m.当做匀速直线运动的速度和匀速圆周运动速度v同向时，则最大速率vmax=2v=22m/s.

（2）小球运动过程中距离00′的最大距离

ym=2r=2mvBq=2210m．

（3）如图3（c）所示，经历一个周期T后，粒子在沿斜向右下方v方向的位移为00′=vT=2πmvBq=22π10m.设00′偏离水平方向夹角为θ，如图3（d）所示，则tanθ=qEmg=1，故θ=45°．

2.初速度不为零的带电粒子在复合场中的摆线运动临界条件分析

（1）带电粒子以某初速度沿竖直方向射出

如图4所示，空间存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场，磁感应强度和电场强度的大小分别为B和E.一质量为m、电荷量为+q的带电粒子以速度v0竖直向上射出，如图4所示，把初速度v0分解为一个水平向右的速度v1和一个斜向左上方的速度v2.如图5（e）所示，水平向右的速度v1对应的洛伦兹力等于电场力，即mg=Bqv1，则v1=mgqB，粒子向右做匀速直线运动.分速度v2导致粒子受到另一个洛伦兹力，粒子在竖直平面内做逆时针的匀速圆周运动且半径r=mv2Bq=

mv20+v21Bq.粒子的运动轨迹如图5（f）所示．

当带电粒子以速度v0竖直向下射出，其运动轨迹与图5（f）类似，但图像对称向下．

（2）带电粒子以某初速度沿水平方向射出

如图6所示，已知一质量为m、电荷量为+q的带电粒子以水平初速度v0向右运动，匀强磁场垂直纸面向里，现讨论带电粒子在磁场和重力叠加场中的运动轨迹．

①当Bqv0＜mg，即0＜v0＜mgBq时，如图7（g）所示，把初速度v0分解为一个水平向右的速度（v0+v）和一个向左的速度v.水平向右的速度（v0+v）对应的洛伦兹力等于重力，即mg=Bq（v0+v），粒子向右做匀速直线运动.向左分速度v导致粒子受到另一个洛伦兹力，在竖直平面内做逆时针的匀速圆周运动.粒子的运动轨迹如图7（h）所示．

②当Bqv0=mg，即时v0=mgBq，粒子的运动轨迹是一条直线.因此，v0=mgBq是粒子的运动轨迹上下偏离横轴的临界点．

③当Bqv0＞mg，即v0＞mgBq时，如图8所示，把初速度v0分解为一个水平向右的速度（v0-v）和一个向右的速度v.水平向右的速度v对应的洛伦兹力等于重力，即mg=Bqv，粒子向右做匀速直线运动.向右分速度（v0-v）导致粒子受到另一个洛伦兹力，粒子在竖直平面内做逆时针的匀速圆周运动．

Ⅰ.当mgBq＜v0＜2mgBq，则在最高点向右匀速直线运动的速度v=mgBq大于匀速圆周运动的速度（v0-v），粒子一直向右运动，其运动轨迹如图9所示．

Ⅱ.当v0=2mgBq时，则在最高点v=mgBq=（v0-v），粒子的运动轨迹如图10所示.因此，v0=2mgBq是粒子的速度是否出现反向的临界点．

Ⅲ.当v0＞m2gBq，则在最高点向右匀速直线运动的速度v=mgBq小于匀速圆周运动的速度（v0-v），粒子做匀速直线运动的速度出现反向运动，其轨迹如图11所示．

【例2】在地面上方某处的真空室里存在着一个垂直于纸面向外的匀强磁场，建立如图12所示的平面直角坐标系.一质量为m、电荷量为+q的微粒在原点以速度

v0=26gl3沿与x轴成α=60°斜向左下方运动，磁感应强度的大小B=mq3g2l，该磁场有理想的下边界，其他方向范围无限大，已知重力加速度为g.求：

（1）欲使微粒不从磁场下边界穿出，该磁场下边界的y轴坐标值应满足什么条件？

（2）微粒在运动过程中的最大速率？

【解析】（1）微粒在原点的速度v0分解为水平分速度v1和竖直分速度v2，则v1=v0cos 60°=2gl3，v2=v0sin60°=2gl.如图13所示，对于水平分速度v1，其所对应的洛仑兹力分力的大小为f1=qv1B=q·23gl·mq3g2l=mg，方向竖直向上，即与重力恰好平衡，则微粒以速度v1向左做匀速直线运动.竖直分速度v2所对应的洛伦兹力分力的大小为f2=qv2B=q·2gl·mq3g2l=3mg，则微粒在竖直方向分运动可看作在洛仑兹力的另一个分力作用下做顺时针的匀速圆周运动，由qv2B=mv22r，解得半径为r=mv2qB=233l.微粒在0点竖直分速度v2向下，其轨迹距x轴的最大竖直距离为圆的半径r.欲使微粒不从磁场的下边界穿出，磁场下边界的y坐标值应满足y≤-r=-233l．

（2）微粒在磁场中的运动可视为水平向左的匀速直线运动和向左顺时针匀速圆周运动的合运动.当两分运动速度在最低点同向时，微粒达最大速率

vmax=v1+v2=（1+33）2gl．

【作者简介： 李叶贤，中学物理高级教师，教育硕士，研究方向为物理教学和教法，在市级教学设计竞赛和市级实验资源征集活动中获一等奖，在《物理教师》《物理教学》《物理教学探讨》《物理通报》《广东教育》等刊物发表论文13篇】

责任编辑 李平安