浅谈函数单调性在高考中对关键能力的考查

函数单调性作为高中数学必备知识，非常重要.考查该知识点的题目在今年全国高考各个考卷中均有出现.考查的题型可以为选择题、填空题或解答题，考查形式表现十分丰富和灵活.函数单调性承载着逻辑推理及数学抽象两大核心素养的考查，有的以分段函数为载体出现，有的以导数为载体出现，有的以不等式为载体出现.想要解决以上问题，需要具备哪些关键能力呢？函数单调性主要涉及定义的理解和推导及函数图像等知识点，其中对单调性定义的理解及运用是关键能力.下面以2024年高考题为研究对象，让我们逐一探究.

【题型一】以分段函数形式考查

【2024年新课标全国Ⅰ卷6】已知函数f（x）=－x2－2ax－a，xlt;0ex+ln（x+1），x≥0在R上单调递增，则a的取值范围是（" ）

A. （－∞，0］"""" B. ［－1，0］

C. ［－1，1］" D. ［0，+∞）

【分析】本题考查分段函数的单调性，综合性较强，涉及二次函数的单调性及对称轴、指数函数的单调、对数函数的单调性，以及分界点处的大小关系等内容，列出满足以上条件的不等式组，解出即可.

【详解】x≥0时，y=ex单调递增，y=ln（x+1）单调递增，因此fx=ex+lnx+1单调递增.且y=－x2－2ax－a开口向下，因此其对称轴要满足大于或等于零，否则会出现递减区间.同时因为fx在R上单调递增，在y=－x2－2ax－a和y=ex+ln（x+1）的分界点处左边要比右边低或相等，即当x=0时，－02－0－a≤e0+ln（0+1）.

则需满足－－2a2×－1≥0，－a≤e0+ln1，，解得－1≤a≤0，即A的范围是［－1，0］.故选：B.

【点评】1.本题主要考查分段函数的单调性，由始至终都离不开函数单调性的定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，区间DI：如果x1，x2∈D，当x1lt;x2时，都有f（x1）lt;f（x2），那么就称函数f（x）在区间D上单调递增.（x1，x2∈D，当x1lt;x2时，都有f（x1）gt;f（x2）即为单调递减）

2.对于分段函数的单调性问题，一定要注意分界点处两边的大小也要满足单调性的定义.

3.函数单调性的常见规律：两个递增函数的和是递增函数，两个递减函数的和是递减函数.因此本题 有：x≥0时，y=ex单调递增，y=ln（x+1）单调递增，因此f（x）=ex+ln（x+1）单调递增.

【题型二】结合导数内容考查

【2024年新课标全国Ⅰ卷10】设函数f（x）=（x－1）2（x－4），则（" ）

A. x=3是f（x）的极小值点

B. 当0lt;xlt;1时，f（x）lt;fx2

C. 当1lt;xlt;2时，－4lt;f（2x－1）lt;0

D. 当－1lt;xlt;0时，f（2－x）gt;f（x）

【分析】求出函数fx的导数，研究单调性后可得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数fx在1，3上的值域即可判断C，也可以根据函数的单调性进行判断；直接作差可判断D.

【详解】因为函数fx的定义域为R，而f′x=2x－1x－4+x－12=3x－1x－3，

易知当1lt;xlt;3时，f′xlt;0，当xlt;1或xgt;3时，f′xgt;0，函数fx在－∞，1上单调递增，在1，3上单调递减，在3，+∞上单调递增，故x=3是函数fx的极小值点，所以A正确；

对B，当0lt;xlt;1时，fx单调递增，此时xgt;x2，由单调性可得fxgt;fx2，所以B错误；

对C，当1lt;xlt;2时，1lt;2x－1lt;3，而f（3）=－4，f（1）=0，从而转化为比较f（3），f（2x－1），f（1）三者的大小.而由上可知，函数fx在1，3上单调递减，所以f1gt;f2x－1gt;f3，即－4lt;f2x－1lt;0，故C正确；

对D，当－1lt;xlt;0时，难以比较x与2－x的大小，因此考虑函数值作差：f（2－x）－f（x）=1－x2－2－x－x－12x－4=x－122－2xgt;0，

所以f（2－x）gt;f（x），D正确；

故选：ACD.

【点评】1.导函数的值与函数的单调性密切相关：导数大于零的区间，函数单调递增.导数小于零的区间，函数单调递减.

2.选项B，C都是利用函数的单调性比较函数值的大小，其中C选项要把函数值转化为自变量.

【题型三】以比较大小的形式考查.

【2024年天津卷5】若a=42－03，b=4203，c=log4202，则a，b，c的大小关系为（" ）

A.agt;bgt;c"" B. bgt;agt;c

C. cgt;agt;b" D. bgt;cgt;a

【分析】本题考查指数和对数的大小比较，利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.

【详解】因为42gt;1，所以y=42x在R上递增，同时指数函数的性质可知y=4xgt;0.因为－03lt;03，由单调性可得0lt;42－03lt;4203，即0lt;alt;b，因为y=log42x在（0，+∞）上递增，且02lt;1，所以log4202lt;log421=0，即clt;0.

所以bgt;agt;c，故选：B

【点评】 1.要熟悉指数函数和对数函数的单调性性质：对于agt;1，y=ax在R上递增，y=logxa在（0，+∞）递增.对于0lt;alt;1，y=ax在R上递减，y=logxa在（0，+∞）递减.

2.利用单调性比较大小时常用中间值1和0辅助比较，本题用到0.即clt;0，0lt;alt;b，通过0可知c小于a和b.

【题型四】结合基本不等式考查

【2024年北京卷9】 已知x1，y1，x2，y2是函数y=2x的图像上两个不同的点，则（" ）

A. log2y1+y22lt;x1+x22

B. log2y1+y22gt;x1+x22

C. log2y1+y22lt;x1+x2

D. log2y1+y22gt;x1+x2

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举反例判断CD即可.

【详解】由题意不妨设x1lt;x2，因为函数y=2x是增函数，所以0lt;2x1lt;2x2，即0lt;y1lt;y2，

对于选项AB：可得2x1+2x22gt;2x12x2=2x1+x22，即y1+y22gt;2x1+x22gt;0.根据函数y=log2x是增函数，所以log2y1+y22gt;log22x1+x22=x1+x22，故B正确，A错误；

对于选项C：例如x1=0，x2=1，则y1=1，y2=2，可得log2y1+y22=log232∈0，1，即log2y1+y22lt;1=x1+x2，故C错误；

对于选项D：例如x1=－1，x2=－2，则y1=12，y2=14，可得log2y1+y22=log238=log23－3∈－2，－1，即log2y1+y22gt;－3=x1+x2，故D错误，

故选：B.

【点评】1.本题将指数和对数的单调性结合基本不等式考查，难度较大.

2.C和D选项，代入特殊值用排除法.

【题型五】以抽象函数为载体考查

【2024年上海卷16】已知函数f（x）的定义域为R，定义集合M={x0x0∈R，x∈－∞，x0，fxlt;fx0}，在使得M=－1，1的所有fx中，下列成立的是（" ）

A. 存在fx是偶函数

B. 存在fx在x=2处取最大值

C. 存在fx是严格增函数

D. 存在fx在x=－1处取到极小值

【分析】本题涉及单调性的概念，以抽象函数为载体考查，此类题可采用化抽象为具体的方法应对，以一个符合题目要求的具体函数作为研究对象，那问题就迎刃而解了.

【详解】由题目要求M={x0x0∈R，x∈－∞，x0，fxlt;fx0}，在使得M=－1，1，满足以上要求的函数可以为f（x）=－3，xlt;－1x，－1≤x≤11，xgt;1

对于A，明显以上函数不关于y轴对称， 故A错误；

对于B，当xlt;－1时，则f（x）=－3，当－1≤x≤1时，fx∈－1，1，当xgt;1时，fx=1，

则该函数fx的最大值是f2，则B正确；

对C，假设存在fx，使得fx严格递增，则M=R，与已知M=－1，1矛盾，因此不存在fx是严格增函数，故C错误；

对D，假设存在fx，使得fx在x=－1处取极小值，则在－1的左侧附近存在x1，使得f（x1）gt;f（－1），这与已知集合M的定义矛盾，故D错误.

故选：B.

【点评】1.遇到抽象函数的题目可采用化抽象为具体的方法应对，以一个符合题目要求的具体函数作为研究对象

2.遇到抽象函数的题目多用数形结合的方法解题.

3.给出新定义的题目要紧紧扣住新定义思考问题.

【题型六】以恒成立问题为载体考查

【2024年全国甲卷文科数学20】 已知函数fx=ax－1－lnx+1．

（1）求fx的单调区间；

（2）当a≤2时，证明：当xgt;1时，fxlt;ex－1恒成立．

【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；

（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当xgt;1时，ex－1－2x+1+lnxgt;0即可.

【详解】（1）f（x）定义域为（0，+∞），f′（x）=a－1x=ax－1x

当a≤0时，f′（x）=ax－1xlt;0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；

当agt;0时，x∈1a，+∞时，f′（x）gt;0，f（x）单调递增，

当x∈0，1a时，f′（x）lt;0，f（x）单调递减.

综上所述，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）.

agt;0时，f（x）的单调递增区间为1a，+∞，单调递减区间为0，1a.

（2）a≤2，且xgt;1时，ex－1－f（x）=ex－1－a（x－1）+lnx－1≥ex－1－2x+1+lnx，

令g（x）=ex－1－2x+1+lnx（xgt;1），下证g（x）gt;0即可.

g′（x）=ex－1－2+1x，再令h（x）=g′（x），则h′（x）=ex－1－1x2，

显然h′（x）在（1，+∞）上递增，则h′（x）gt;h′（1）=e0－1=0，

即g′（x）=h（x）在（1，+∞）上递增，

故g′（x）gt;g′（1）=e0－2+1=0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增.

故g（x）gt;g（1）=e0－2+1+ln1=0，问题得证.

【点评】1.第1小问为考查含参数的函数单调性，一般通过分类讨论的办法解决.

2.第2小问恒成立问题往往转化为求最值问题.

3.第2小问证明g（x）gt;0的过程中运用了二次求导，即利用导数的单调性求得g′（x）gt;0，再得到g（x）的单调性，从而求得g（x）的最小值.

【备考建议】

1.考查函数的单调性，由始至终都离不开函数单调性的定义：一般地，设函数fx的定义域为I，区间DI：如果x1，x2∈D，当x1lt;x2时，都有f（x1）lt;f（x2），那么就称函数fx在区间D上单调递增.（x1，x2∈D，当x1lt;x2时，都有f（x1）gt;f（x2）即为单调递减）.

2.对于分段函数的单调性问题，一定要注意分界点处两边的大小也要满足单调性的定义.

3.函数单调性的常见规律：两个递增函数的和是递增函数，两个递减函数的和是递减函数..

4.导函数的值与函数的单调性密切相关：导数大于零的区间，函数单调递增.导数小于零的区间，函数单调递减.

5.要熟悉指数函数和对数函数的单调性性质：对于agt;1，y=ax在R上递增，y=logxa在（0，+∞）递增.对于0lt;alt;1，y=ax在R上递减，y=logxa在（0，+∞）递减.

6.利用单调性比较大小时常用中间值1和0辅助比较.

7.考查含参数的函数单调性，一般通过分类讨论的办法解决.

8.恒成立问题往往转化为求最值问题.

【专项训练】

1．已知函数f（x）=ax，xlt;0（a－2）x+3a，x≥0若f（x）为R上的减函数，则a的取值范围是（" ）

A．（0，13］""""" B．［13，1）

C．0，1 D．－∞，2

2．已知函数y=f（x）是偶函数，且y=f（x－2）在＼[0，2＼]上是单调减函数，则f（0），f（-1），f（2）由小到大排列为（" ）

A．f（0）lt;f（－1）lt;f（2）""" B．f（－1）lt;f（0）lt;f（2）

C．f（－1）lt;f（2）lt;f（0）"""" D．f（2）lt;f（－1）lt;f（0）

3．设x=402，y=12－12，z=lg5，则（" ）

A．zlt;xlt;y ""B．zlt;ylt;x

C．ylt;zlt;x" D．xlt;zlt;y

4．已知函数f（x）=alnx－1x，a∈R．

（1）求函数fx的单调区间；

（2）当a=1，且x≥2时，证明：fx－1≤2x－5．

【答案】

1.由函数f（x）=ax，xlt;0（a－2）x+3a，x≥0为R上的减函数，得0lt;alt;1，a－2lt;0，1≥3a，解得0＜a≤13，

故选：A.

2.由题意，得函数y=f（x－2）向左平移2个单位得y=f（x），又y=f（x－2）在＼[0，2＼]上是单调减函数，所以函数y=f（x）在＼[-2，0＼]是减函数，又函数y=f（x）是偶函数，所以f（2）=f（-2），所以f（0）＜f（－1）＜ f（-2），即f（0）lt;f（－1）＜ f（2），故选A．

3.由题意，z=lg5lt;lg10=1，x=40.2=20.4，y=12－12=205，

因为y=2x在R上是增函数，所以20.5gt;20.4gt;1，所以zlt;xlt;y.故选：A.

4.（1）由于f′（x）=ax+1x2．当a≥0时，对于x∈（0，+∞），有f′（x）gt;0在定义域上恒成立，

即f（x）在（0，+∞）上是增函数．

当alt;0时，由f′（x）=0，得x=－1a∈（0，+∞）．

当x∈0，－1a时，f′（x）gt;0，f（x）单调递增；

当x∈－1a，+∞时，f′（x）lt;0，f（x）单调递减．

（2）当a=1时，f（x－1）=ln（x－1）－1x－1，x∈［2，+∞）．

令g（x）=ln（x－1）－1x－1－2x+5． 求导得：g′（x）=1x－1+1（x－1）2－2=－（2x－1）（x－2）（x－1）2．

当xgt;2时，g′（x）lt;0，g（x）在（2，+∞）单调递减．

又g2=0，所以g（x）在（2，+∞）恒为负．

所以当x∈［2，+∞）时，g（x）≤0即ln（x－1）－1x－1－2x+5≤0．

故当a=1，且x≥2时，f（x－1）≤2x－5成立．

【作者简介：高中数学高级教师，被聘为华南师范大学本科生实践导师，佛山市顺德区数学兼职教研员】

责任编辑 "徐国坚