对2024年高考一道三角解答题的思考

一、试题分析

（2024年高考数学新课标Ⅰ卷第15题）记ΔABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2－c2=2ab.

（1）求角B的大小；

（2）若ΔABC的面积为3+3，求c边长．

2024年高考数学新课标Ⅰ卷是新结构型试卷，解答题中的第一题就是三角题，属于中档题，只要考生三角基本功扎实，一般都能顺利解决.五道解答题就考了一道三角题，这符合高考突出主干知识的命题思想.因为三角题中往往可以考查到三角函数、三角恒等变换、特殊角的三角函数值、正余弦定理、三角形面积公式、由图形解三角形等等，可谓丰富多彩.在本题中，对（1），由余弦定理、平方关系依次求出cosC，sinC，最后结合已知sinC=2cosB

得出cosB的值，即可确定角B的大小. 对（2），首先求出A，B，C，然后由正弦定理可将a，b均用含有c的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程处理. 三角函数、三角恒等变换、特殊角的三角函数值、正余弦定理、三角形面积公式等融为一体，是一道很有效度的好题.

二、解答过程

1.由余弦定理有a2+b2－c2=2abcosC，对比已知a2+b2－c2=2ab，

可得cosC=a2+b2－c22ab=2ab2ab=22，因为C∈0，π，所以sinCgt;0.

从而sinC=1－cos2C=1－222=22.又因为sinC=2cosB，即cosB=12.

而B∈0，π，故B=π3.

2.由（1）可得B=π3，cosC=22，C∈0，π，从而C=π4，A=π－π3－π4=5π12.

所以sinA=sin5π12=sinπ4+π6=22×32+22×12=6+24.

由正弦定理有asin5π12=bsinπ3=csinπ4，从而a=6+24·2c=3+12c，b=32·2c=62c.

由三角形面积公式可知，3+3=SΔABC=12absinC=12·3+12c·62c·22，

即3+3=3+32c2，解得c=22.

或：SΔABC=12absinC=12·2RsinA·2RsinB·sinC=2R2sin5π12·sinπ3·sinπ4，

即3+3=2R2·6+24·32·22， 解得R=2.

故c=2RsinC=4×22=22.

三、提炼概括

由上可见，解三角题有以下几个要素：

1.目标意识，即解题中要做到三看：看目标（所求），看条件（已知），看关系（联系）.

2.消元策略，即解题中要灵活运用消角、消边、消整体等技巧，为实现解题目标奠基.

3.方程思想，即按已知或已有的公式构建方程处理问题，是一种惯用的数学思想.

4.转化思想，即“边化角”或“角化边”或“角边互化”几种途径，根据目标、条件和关系灵活运用.比如，上述高考题中，要求c边的长，这是目标；从公式SΔABC=12absinC中消去a，b，用R或c边来表示，构建关于R或c的方程，这就是方程思想、消元策略和“边化角思想”的应用.

四、联想探究

1.改变条件

▲改变高考题中第（2）问的条件，将已知“ΔABC的面积为3+3”改为“ΔABC的周长为6+23+32”，则得到：

联想1.记ΔABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2－c2=2ab.

（1）求角B的大小；

（2）若ΔABC的周长为6+23+32，求c边长．

解析：（1）与高考题一致，略去.

（2）由高考题第（2）问知，2RsinA+2RsinB+2RsinC=3+3，

所以2R=6+23+326+24+32+22=4.故c=2RsinC=4×22=22.

▲改变高考题中的条件，将已知“sinC=2cosB”改为“3c=2b”，“a2+b2－c2=2ab” 改为“sin2A+sin2B－sin2C=2sinAsinB”，则得到：

联想2. 记ΔABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知3c=2b，sin2A+sin2B－sin2C=2sinAsinB.

（1）求角B的大小；

（2）若ΔABC的面积为3+3，求c边长．

解析： （1） 由高考题第（1）问知，3sinC=2sinB，sinB=32.

而B∈（0，π）， 故B=π3或B=2π3.

（2）当B=π3时，与高考题一致，c=22.

当B=2π3时，SΔABC=12absinC就是12·2Rsinπ12·2Rsin2π3·sinπ4=3+ 3，解得R=6+2. 故c=2RsinC=（26+22）×22=23+2.

注： 改变条件，增加一解，难度增大. 将“sin2A+sin2B－sin2C=2sinAsinB”角化边，求cosC； 将“3c=2b”边化角，求角B的大小.

2.逆向思考

▲对高考题中的第（2）问作逆向思考，题设“ΔABC的面积为3+3”与结论“c=22” 互换，则得到：

联想3. 记ΔABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2cosB，a2+b2－c2=2ab.

（1）求角B的大小；

（2） 若c=22，求ΔABC的面积．

解析： （1）与高考题一致，略去.

（2）因为2R=csinC=2222=4，所以a=2RsinA=4×6+24=6+2，

b=2RsinB=4×32=23.

故SΔABC=12absinC=12×（6+2）×23×22=3+3.

注： 显然，联想3比高考题容易，运算量减小.

3.引申拓展

▲将高考题的条件重新设置，引申拓展为两道动态三角题，则得到

联想4.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其外接圆的半径是1，且向量m→=（2sinA－2sinC，sinB），n→=（sinA+sinC，b－2a）互相垂直.则ΔABC面积的最大值是""""" ".

解析：因为m→，n→互相垂直，所以2（sin2A－sin2C）+（b－2a）sinB=0.

将sinA=a2R=a2，sinB=b2R=b2，sinC=c2R=c2代入上式得到：

2（a24－c24）+（b－2a）·b2=0 即a2－c2=2ab－b2，a2+b2－c2=2ab.

所以cosC=a2+b2－c22ab=2ab2ab=22， C=45°.

a2+b2－c2=2ab就是a2+b2－（2sin45°）2=2ab，

即a2+b2－2=2ab≥2ab－2， 所以ab≤2+2，当且仅当a=b时等号成立.

所以SΔABC=12absin45°SymbolcB@2+12，故ΔABC面积的最大值是2+12.

注： 显然，m→，n→互相垂直就是高考题中的条件“a2+b2－c2=2ab”，增加外接圆的半径条件R=1，运用基本不等式a2+b2≥2ab对a2+b2－c2=2ab放缩变形，确定ab的范围，实现求面积最值的目标. 联想4有高度、有深度、有厚度，是一道很好的引申拓展题，比高考题难度大.

联想5.在锐角ΔABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a2+b2－c2=3ab.

（1）求角C的大小；（2）若4bcosA+4acosB=bc，求边c的取值范围.

解析：（1）由a2+b2－c2=3ab，得cosC=a2+b2－c22ab=32.

而C∈（0，π），所以C=π6.

（2）4bcosA+4acosB=bc就是4b·b2+c2－a22bc+4a·c2+a2－b22ca=bc，

化简整理，得4c=bc，所以b=4.

由csinC=bsinB，得c=bsinCsinB=4sinπ6sinB=2sinB.

由0lt;Blt;π2和0lt;5π6－Blt;π2，得到π3lt;Blt;π2，则sinπ3lt;sinBlt;sinπ2.

因此2lt;2sinBlt;433. 故边c的取值范围是（2，433）.

注：角的限制条件是“ΔABC是锐角三角形”，先确定角C和边b，再建立边c关于角B的目标函数，由锐角三角形条件确定角B的范围是解题的关键. 易错在只考虑角B是锐角，而忽视角A也是锐角，即角B必须同时满足0lt;Blt;π2和0lt;5π6－Blt;π2. 近年来，高考和模考中出现了不少限制角条件的“三角”问题，比如锐角三角形、钝角三角形、三内角成等差数列、某些角之间的特殊关系等等，有效考查了考生思维的缜密性、严谨性、深刻性和灵活性. 联想5是对高考题的深度引申拓展，必须高度重视..

五、强化运用

解三角题中的目标意识、消元策略、方程思想和转化思想极其重要，要牢牢把握.从以下两道高考题中能得到较好的体现.

例1．（2024年全国高考Ⅱ卷第15题）记ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3cosA=2．

（1）求角A的大小；

（2）若a=2，2bsinC=csin2B，求ΔABC的周长．

解析：（1）由sinA+3cosA=2，可得12sinA+32cosA=1，即sin（A+π3）=1.

由于A∈（0，π）A+π3∈（π3，4π3），所以A+π3=π2，故A=π6.

（2）由题设条件和正弦定理，有2bsinC=csin2B2sinBsinC=2sinCsinBcosB.

又B，C∈（0，π），则sinBsinC≠0，进而cosB=22，得到B=π4.

于是C=π－A－B=7π12.

sinC=sin（π－A－B）=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=2+64.

由正弦定理，可得asinA=bsinB=csinC，即2sinπ6=bsinπ4=csin7π12，

解得b=22，c=6+2.故ΔABC的周长为2+6+32.

注： 根据辅助角公式asinx±bcosx=a2+b2sin（x+φ）（agt;0，bgt;0），其中cosφ=aa2+b2，sinφ=ba2+b2对条件sinA+3cosA=2进行化简处理，即可求出角A的大小.利用边化角算出角B，再根据正弦定理算出b，c，即可得出周长.

例2．（2024年高考北京卷第16题）在△ABC中，a=7，A为钝角，sin2B=37bcosB．

（1）求∠A；

（2）从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，求△ABC的面积．

①b=7；②cosB=1314；③csinA=523．

注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分.

解析：（1）由题意得2sinBcosB=37bcosB，因为A为钝角，所以cosB≠0.

因此 2sinB=37b，则bsinB=237=asinA=7sinA，解得sinA=32.

因为A为钝角，故A=2π3.

（2）若选择①b=7，则sinB=314b=314×7=32.因为A=2π3，所以B为锐角，B=π3.

此时A+B=π，不合题意，舍去." △ABC的面积不存在.

若选择②cosB=1314，因为B为三角形内角，则sinB=1－13142=3314.

代入2sinB=37b，得2×3314=37b，解得b=3.

于是sinC=sinA+B=sin2π3+B=sin2π3cosB+cos2π3sinB

=32×1314+－12×3314=5314.

故S△ABC=12absinC=12×7×3×5314=1534.

若选择③csinA=523，则有c×32=523，解得c=5.

由正弦定理asinA=csinC，得732=5sinC，解得sinC=5314.

因为C为三角形内角，所以cosC=1－53142=1114.

于是，sinB=sinA+C=sin2π3+C=sin2π3cosC+cos2π3sinC

=32×1114+－12×5314=3314.

故S△ABC=12acsinB=12×7×5×3314=1534.

注：利用正弦定理即可求出∠A的大小.选择①，利用正弦定理得B=π3，结合（1）问答案即可排除；选择②，首先求出sinB=3314，再代入式子得b=3，再利用两角和的正弦公式即可求出sinC，最后利用三角形面积公式即可；选择③，首先得到c=5，再利用正弦定理得到sinC=5314，再利用两角和的正弦公式即可求出sinB，最后利用三角形面积公式即可.

以上我们从一道最新高考题出发，通过分析、解答、联想和运用，提高了对三角问题的认识与理解.对于一些具有代表性、典型性、示范性和拓展性的好高考题或好模考题，要学会思考、学会发掘、学会研究， 沟通联系、联想探究、深化思维、提炼规律，并在备考复习中恰当运用，不断提高解题能力和数学素养.

【专项训练】

练习1.在锐角ΔABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且sinB+C5=asinBb.则ab的取值范围是（" ）

A.（32，1）""" B. （2，433）

C.（12，33） D.（34，12）

练习2.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且a=2b，C=2π3.则cos（A－B）的值是"""" .

练习3.在ΔABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且c=1，acosB+bcosA=2cosC. 则边AB上的高的最大值是"""" .

练习4.在ΔABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，sinB+cosBtanC=3a3c，（1）求角C的大小；（2）若E是边AB上的点， 且BE=CE=3EA，求tanB的值．

练习5.在ΔABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足cosB=1114和sinA=235sinCsinB. （1）求角C的大小；（2）若ΔABC的外接圆半径R=1，求ΔABC的面积.

练习6.如图，在平面四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠DAB=60°，

（1）若BC=2， ΔBCD的面积是5，求sin∠CBD的值；

（2）设∠CBD=θ，若∠BCD=120°，记四边形ABCD的周长为f（θ）. 求函数f（θ）的表达式，并求其值域.

（答案：1.C；2.1314；3.32；4.（1） C=π6；（2） tanB=36；

5.（1） C=2π3；（2）453196；

6.（1）sin∠CBD=156；（2）f（θ）=4sin（θ+60°）+6，

f（θ）的值域是6+23，10.

【作者简介： 中学正高级教师（3级）， 安徽省数学特级教师，安庆市数学学会副理事长，安庆市城镇卓越理科班导师.曾获得安徽省“教坛新星”、安庆市数学学科带头人、安庆市先进教研个人、安庆市名师、市优秀教师、省市优秀科技辅导教师等荣誉称号.在具有CN刊号的报刊杂志上发表教育教学论文590余篇，在省内外进行名师交流讲座200多场】

责任编辑 徐国坚