具有VCT意识及媒体报道影响的HIV/AIDS感染动力学模型

摘 要：构建一类具有VCT（voluntary counseling and testing）意识及媒体报道影响的HIV/AIDS感染动力学模型.首先得到模型解的适定性，并给出模型的基本再生数.其次，借助Hurwitz判别法及Lyapunov函数分析模型的阈值动力学，当R0＜1时无病平衡点局部渐近稳定且当R01时全局渐近稳定;当R0＞1时，地方病平衡点局部渐近稳定.进一步，结合持续生存理论给出疾病的一致持续性.最后，数值模拟表明随着VCT意识比例的提高，艾滋病患者人数的峰值逐渐降低，而随着信息失效率的增大，艾滋病患者人数的峰值将有所提高.

关键词：HIV动力学模型;VCT意识;媒体报道;稳定性

中图分类号：O175.1""""" 文献标志码：A""" 文章编号：1000-2367（2025）01-0043-07

艾滋病是全球前十的致死疾病之一，具有不可治愈性和极强的传染性，严重威胁了社会发展和公共卫生安全.关于我国艾滋病的传播与治疗现状可以参见文献［1］.

VCT即自愿咨询与检测，是目前国际上针对艾滋病公认的预防和保护策略［2］.它能够使感染人群有意识地进行活动，从而达到控制艾滋病传播的目的.此外，当前各类互联网APP也成为人们获取信息的重要工具，它能够迅速传播关于艾滋病的信息并覆盖大部分公民，深刻改变了人们对艾滋病的认识.借助互联网开展防艾教育，将进一步提醒人们增强防艾意识，从而控制艾滋病传播［3］.

利用数学模型研究HIV/AIDS的传播动力学、预测疾病传播趋势是一种常用的重要手段［4-7］.例如，张婷等［5］考虑了一类具有VCT意识的HIV/AIDS传染病模型，给出了VCT意识与疾病基本再生数之间存在强相关性.纳仁花等［6］研究了一类具有意识分类的HIV/AIDS动力学模型，结果表明艾滋病传播的主要来源是“无意识”感染者，即开展HIV感染人员的筛选和意识分类可有效控制艾滋病的传播.刘岩柏等［7］讨论了一类具有媒体报道的HIV感染模型，研究表明强化媒体宣传可以降低HIV的感染人数.有关研究还可以参考文献［8-9］.

然而，现有研究中同时考虑VCT意识以及媒体报道对艾滋病传播影响的工作比较少.基于此，本文将建立一类具有VCT意识及媒体报道影响的HIV/AIDS感染动力学模型，其中感染者分为无VCT意识感染者和有VCT意识感染者，进而分析艾滋病传播的长期动力学行为，探讨VCT意识以及媒体报道对艾滋病传播的影响.

1 模型建立

在本节中，将总人群（N）划分为4类：HIV易感人群（S），无VCT意识感染者（I1），有VCT意识感染者（I2），艾滋病患者（A），同时，M表示媒体报道信息变量.基于艾滋病在人群中的传播机制以及媒体报道对于控制艾滋病传播的作用，建立如下模型：

其中，Λ表示易感人群的补充率，β表示HIV的传播率，q表示信息覆盖率，μ表示自然死亡率，p表示易感者成为无VCT意识感染者的比例，1-p表示易感者成为有VCT意识感染者的比例，ρ表示无VCT意识成为有VCT意识感染者的比例，τ1表示无VCT意识感染者成为HIV患者的比例，τ2表示有VCT意识感染者成为HIV患者的比例，α表示因病死亡率，a表示度量有VCT意识感染者数量变化对媒体信息影响的系数，τ表示信息失效率.

根据HUO等［10］的讨论，下面给出系统（1）解的正性与有界性.

引理1 对任意给定的初值（S（0），I1（0），I2（0），A（0），M（0））＞0，系统（1）的任意解（S（t），I1（t），I2（t），A（t），M（t））＞0，t∈［0，∞）.

2 无病平衡点的稳定性

定理1 当R0＜1时，系统（1）的无病平衡点E0是局部渐近稳定的.

定理2 当R01时，系统（1）的无病平衡点E0是全局渐近稳定的.

3 地方病平衡点的存在性与局部稳定性

记系统（1）存在地方病平衡点E*=（S*，I*1，I*2，A*，M*），经过简单计算有

即当R0＞1时，I*2＞0存在且唯一，则地方病平衡点表达式：

故当R0＞1时，系统（1）地方病平衡点E*=（S*，I*1，I*2，A*，M*）∈R5+存在且唯一.

定理3 若R0＞1，则系统（1）的地方病平衡点E*是局部渐近稳定的.

证明 由系统（1）知，在E*=（S*，I*1，I*2，A*，M*）处的雅可比矩阵

4 一致持久性

定理4 若R0＞1，则疾病是一致持久的，即对系统（1）的任意初始值S（0）0，I1（0）＞0，I2（0）＞0，A（0）＞0，M（0）＞0，存在正常数ε，使得系统（1）的任意解（S（t），I1（t），I2（t），A（t），M（t））满足

证明 定义f∶X→X是关于系统（1）的连续映射，记

考虑辅助系统u′=M（ξ）u，这里u=（u1，u2，u3）T，且

令s（M）∶＝max｛λ|λ是M的特征值｝.若R0＞1，则μ（ρ+τ1+μ）＞pβΛ，于是s（M（0））＞0.因为s（M（ξ））关于ξ连续，则存在足够小的ξ使得s（M（ξ））＞0.因此，M（ξ）存在一个正的特征值和对应的正特征向量.令u（t）=（u1（t），u2（t），u3（t））是系统u′=M（ξ）u的解，则当t→∞，有ui（t）→∞，i=1，2，3.由比较原理［14］知

这与0＜I1（t）＜ξ，0＜I2（t）＜ξ，0＜A（t）＜ξ矛盾，故E0是X中的单点集，且WS（E0）∩X0=.由文献［15］中的定理1.3.1知，f关于（X0，X0）是一致持久的，从而系统（1）是一致持久的.

5 数值模拟

在本节中，给出两个不同的数值算例，分别验证本文的理论结果以及VCT意识及媒体报道对艾滋病传播的影响.

5.1 数值算例1

在这一小节，选取参数Λ=2，q=0.8，p=0.35，α=0.371 2，β=0.15，a=0.6，μ=0.12，ρ=0.3，τ=0.02，τ1=0.52，τ2=0.5.此时系统（1）的R0≈0.95，可得系统解轨线如图1可以看出随着时间的推移疾病趋于灭绝，这说明系统（1）的无病平衡点是全局渐近稳定的

然后，调整参数β=0.6，ρ=0.1，τ1=0.25，其他参数同上，此时R0＞1.由图1可以看出随着时间的推移疾病持续存在，这验证了疾病的一致持久性.

5.2 数值算例2

VCT意识指对VCT服务的认知和接受程度，这里ρ分别取0.3，0.5，0.7，模拟结果见图2.由此可知，随着感染者中具有VCT意识比例的提高，艾滋病患者人数峰值逐渐降低.可见，提高VCT意识的覆盖率有助于控制艾滋病的传播.

媒体信息可以改变人的行为，这里τ分别取0.02，0.20，0.40，则由图2知，随着信息失效率的增大，HIV感染人数的峰值将提高.可见，加强有效的媒体报道，对于HIV感染人数的控制是有帮助的.

6 结 论

根据艾滋病传播机制，建立了一类具有VCT意识及媒体报道影响的HIV/AIDS感染动力学模型.首先计算了模型的基本再生数，研究系统（1）无病平衡点与地方病平衡点的稳定性，然后讨论了疾病的一致持续性.结果表明，当R01时，系统（1）的无病平衡点是全局渐近稳定的;当R0＞1时，系统（1）的地方病平衡点是局部渐近稳定的，并且疾病是一致持久的.最后，通过数值算例验证了本文的理论结果并讨论VCT意识和媒体报道对艾滋病传播的影响.结果表明，随着人群中具有VCT意识的比例提高，艾滋病患者人数的峰值逐渐降低，而随着信息失效率的增大，艾滋病患者人数的峰值将有所提高.

参 考 文 献

［1］杨柏林.中国五类HIV感染高危人群艾滋病知行分离现状及影响因素分析［D］.济南：山东大学，2022.

［2］刘晨希，李洁芳，刘淑君，等.中国艾滋病VCT服务现状研究进展［J］.中国艾滋病性病，2014，20（8）：624-627.

LIU C X，LI J F，LIU S J，et al.Current research situation of HIV voluntary counseling and testing in China［J］.Chinese Journal of AIDS amp; STD，2014，20（8）：624-627.

［3］王文倩.网络媒体对大学生艾滋病知信行影响研究：以南京高校本科生为例［D］.南京：南京邮电大学，2020.

［4］崔景安，冯振洲，郭松柏.丙型肝炎病毒感染流行病学模型的全局动态［J］.河南师范大学学报（自然科学版），2022，50（2）：1-6.

CUI J A，FENG Z Z，GUO S B.Global dynamics of the epidemiological model of hepatitis C virus infection［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2022，50（2）：1-6.

［5］张婷，张太雷.一类具有VCT意识的HIV/AIDS传染病模型［J］.重庆理工大学学报（自然科学），2022，36（4）：254-261.

ZHANG T，ZHANG T L.A class of HIV/AIDS epidemic model with VCT awareness［J］.Journal of Chongqing University of Technology（Natural Science），2022，36（4）：254-261.

［6］纳仁花，梁泽忠.一类具有意识分类的HIV/AIDS传染病模型的动力学研究［J］.贵州师范大学学报（自然科学版），2021，39（5）：74-81.

NA R H，LIANG Z Z.Dynamics of an HIV/AIDS model with awareness［J］.Journal of Guizhou Normal University（Natural Sciences），2021，39（5）：74-81.

［7］刘岩柏，朱惠延，刘芳.具媒体影响的时滞HIV传染动力学模型及其解的正性和有界性［J］.南华大学学报（自然科学版），2019，33（6）：37-40.

LIU Y B，ZHU H Y，LIU F.Positive and boundedness of the solution to HIV infection model with delay effects of media［J］.Journal of University of South China（Science and Technology），2019，33（6）：37-40.

［8］柳合龙，张娅莉，程传敏.一类受媒体影响的随机HIV模型［J］.信阳师范学院学报（自然科学版），2016，29（2）：157-160.

LIU H L，ZHANG Y L，CHENG C M.A class of stochastic model of HIV affected by the media［J］.Journal of Xinyang Normal University（Natural Science Edition），2016，29（2）：157-160.

［9］崔景安，范圣洁，陈方媛.媒体干预下的MSM群体艾滋病传播模型研究［J］.河南师范大学学报（自然科学版），2017，45（3）：34-41.

CUI J A，FAN S J，CHEN F Y.An AIDS transmission model among MSM under media coverage［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2017，45（3）：34-41.

［10］HUO H F，GU L N，XIANG H.Modelling and analysis of an hiv/aids model with different window period and treatment［J］.Journal of Applied Analysis amp; Computation，2021，11（4）：1927-1950.

［11］VAN DEN DRIESSCHE P，WATMOUGH J.Reproduction numbers and sub-threshold endemic equilibria for compartmental models of disease transmission［J］.Mathematical Biosciences，2002，180（1/2）：29-48.

［12］滕志东，张龙.常微分方程稳定性基本理论及应用［M］.北京：科学出版社，2022.

［13］XUE L，ZHANG K，WANG H.Long-term forecast of HIV/AIDS epidemic in China with fear effect and 90-90-90 strategies［J］.Bulletin of Mathematical Biology，2022，84（11）：132.

［14］LAKSHMIKANTHAM V，LEELA S，MARTYNIYUK A A.Stability analysis of nonlinear systems［M］.New York：［s.n.］，1989.

［15］Zhao X Q.Dynamical systems in population biology［M］.New York：Springer，2017.

A dynamic model of HIV/AIDS infection with VCT awareness and media coverage

Abstract： This paper constructs a dynamic model of HIV/AIDS infection with VCT awareness and media coverage. Firstly， we obtain the well-posedness and the basic regeneration number of the model. Secondly， according to the Hurwitz discrimination and Lyapunov function， the threshold dynamics of the model were analyzed. When R0＜1， the disease-free equilibrium is locally asymptotically stable， and when R01， it is globally asymptotically stable. When R0＞1， the endemic equilibrium is locally asymptotically stable. Furthermore， the uniformly persistence of the disease is given according to continuous survival theory. Finally， the numerical simulation shows that with the increase of VCT awareness ratio， the peak number of AIDS patients will gradually decrease， and with the increase of information failure rate， the peak number of AIDS patients will be increased.

Keywords： HIV dynamic model; VCT awareness; media coverage; stability