数学模型思想在高中数学立体几何教学中的渗透策略

【摘要】在高中数学的学习中，立体几何一直是重点与难点.而模型思想的渗透，为立体几何的教学与学习开辟了新的途径.将抽象的几何图形转化为具体可感的模型，帮助学生更好地理解空间关系、几何性质，找到解决问题的突破口，培养学生的空间想象力和创造力.随着教育的不断发展与进步，高中数学教师应在教学中引导学生建立和运用模型思想，降低立体几何的学习难度，进而凸显立体几何的本质，让学生能够熟练掌握所学知识，从而提升数学能力，发展数学核心素养.文章分别探讨数学模型思想在高中数学立体几何教学中的渗透意义和渗透策略，希望为数学教师提供有益的参考和借鉴.

【关键词】数学模型思想；高中数学；立体几何

【基金项目】荔湾区教师小课题“基于数学模型思想的高三立体几何教学”（2023Z77）.

引 言

数学模型思想是一种重要的数学思想，其核心在于将现实问题转化为数学模型，并利用数学知识进行求解，从而构建起数学与现实世界联系的桥梁.教师将模型思想运用到高中数学立体几何教学中具有重要意义，能够帮助学生建立直观想象能力，强化学生对立体几何的认知，真正提升学生解决实际问题的能力和逻辑思维能力.

一、数学模型思想在高中数学立体几何教学中的渗透意义

（一）提升学生的理解能力

模型思想对于提升学生的理解能力具有重要作用.例如，教学“正方体”或者“长方体”时，如果仅靠教师口头讲述，学生很难理解透彻.而引入模型思想后，教师将立体图形构建为具体的模型，让学生更好地把握空间中的点、线、面之间的关系.这种直观的呈现方式符合学生的认知特点，使得几何问题变得易于理解，降低了学习负担，为进一步深入学习立体几何奠定了坚实基础.

（二）培养学生的思维能力

在立体几何的学习中，运用模型思想有助于培养学生的逻辑思维能力.学生在尝试建立几何模型时，他们需要在脑海中对空间图形进行构建、变换和分析，然后运用所建立的模型解决实际问题.同时，学生可以与同伴进行互动和分享，选择最佳的模型方案，使每一名学生都能全面掌握模型思想，真正提高解决效率.无论是自主建模，还是合作建模，都要求学生根据模型的形式和性质确定解决问题的方法，这一过程考查了学生的逻辑思维，体现了思维的严密性和灵活性.

（三）增强学生的应用能力

在学习中养成运用模型思想的习惯，能够增强学生的应用能力.许多现实生活中的问题都可以抽象为立体几何模型，如建筑设计、工程测量等.当学生建立了模型后，就可将实际问题进行转化，然后求解验证.此外，数学教师可以通过一个典型问题的解决，拓展延伸出更多的数学模型，让学生从解决一道题发展为解决一类题，培养学生的创新意识，让模型思想在学生的思维中扎根.

二、数学模型思想在高中数学立体几何教学中的渗透策略

（一）直观展示，认识模型

1.实物模型展示

在高中数学立体几何教学中，教师可以引入实物立体模型，诸如棱柱、棱锥、圆柱等，帮助学生认识模型思想，激发学生的学习兴趣，为他们带来直观的学习体验.同时，教师要遵循学生的认知特点，从学生的最近发展区出发，充分发挥出实物模型的优势，强化他们对立体几何知识的理解和记忆.

当讲解棱柱的概念时，教师带来不同类型的棱柱实物模型，这成了学生理解知识的重要媒介.每一名学生都认真地、全方位地观察棱柱的底面是怎样的形状，侧面有着怎样的特征，以及棱的分布情况.通过观察，学生对棱柱的定义有了深入的理解，不再停留在抽象的文字表述上，而是在脑海中形成了具体的形象，为后面学习棱柱的性质做好铺垫.同样地通过实物模型，学生能够细致地看到棱锥的底面、侧面和顶点，了解棱锥的独特结构，提高他们的观察能力和思维能力.而讲解圆柱时，教师展示出圆柱的实物模型，带领学生分析圆柱的两个底面的特点以及侧面的曲面形态，有助于学生建立空间观念，从而更加主动地参与到课堂学习中来.

2.动态模型辅助

动态模型能够使抽象的立体几何知识变得具体可感，吸引学生主动提出问题，主动参与师生互动.所以，在课堂上，数学教师可以利用多媒体技术打造动态的立体几何模型，激发学生的学习兴趣和空间想象力，让学生更好地理解模型思想，使教学更加生动、高效.

例如，在讲解“圆锥的形成”时，教师不能再局限于抽象的文字描述，而是使用多媒体展示圆锥的形成过程，让学生直观地看到圆锥是如何由直角三角形旋转而成的.教师通过动画演示一个直角三角形绕其一条直角边旋转一周形成圆锥的过程，让学生深刻理解圆锥的各个部分的形成原理.通过这样的动态模型，学生可以清晰地看到圆锥的底面是如何由直角三角形的另一条直角边旋转而成，圆锥的侧面又是如何展开和形成的，从而加深对圆锥几何特性的了解.

在讲解“空间直线与平面的位置关系”时，教师可以利用多媒体工具，如PPT、动画等，呈现直线与平面平行、相交、在平面内等情况.然后教师组织学生对这些动态模型进行讨论，帮助学生快速理解和区分直线与平面相交、直线在平面内、直线与平面平行的形式，让学生观察不同形式的模型，从而充分了解各种动态模型的特点.

（二）实践操作，理解模型

1.手工制作模型

教师可以带领学生手工制作模型，让学生在亲身体验中深化对空间概念的理解，提高动手能力和创新思维，为今后的数学学习打下坚实的基础.在制作模型的活动中，教师先向学生展示一些精美的立体几何模型示例，激发学生的创作热情.同时，教师需要详细讲解制作过程中的注意事项和技巧，让学生知道如何裁剪卡纸才能使正方体的各个面大小一致，如何连接吸管才能让长方体的框架更加稳固.在制作模型过程中，如果学生感到有困难，教师可以组织小组合作，将复杂的任务进行分解，提高制作效率，培养学生的团队协作精神.经过教师的分工，有的学生负责准备材料，有的学生负责设计图形，有的学生负责实际制作，整个学习氛围十分融洽.当立体模型制作完成后，教师先让学生将手工制作的模型与实际生活中的物体进行对比，感受数学与生活的紧密联系.再组织学生进行展示和交流，介绍自己制作模型的思路、遇到的问题及解决方法，其他学生可以提出相应的意见和建议，学生们互相启发.

2.实验探究模型

2.实际问题建模

在立体几何教学中，引入实际建模问题，能够提高学生的学习兴趣和积极性，培养学生的应用能力和创新思维.教师可以联系生活实际，提出一些具有启发性的实际问题，如计算建筑物的高度、确定两个物体之间的最短距离等，以引起学生的兴趣，促使学生积极思考如何运用立体几何知识解决问题.接着，教师要引导学生建立数学模型，将学到的数学知识进行整合.例如，对于计算建筑物高度的问题，可以引导学生将其转化为解三角形的问题，通过建立直角三角形模型，利用已知条件和三角函数求解，培养学生将实际问题抽象为数学问题，并用数学语言和方法进行描述和求解的能力.实际生活中问题大都可以通过将问题建模为立体几何模型来求解.如计算一个仓库的容积，把仓库抽象为长方体、圆柱体等立体图形是一种有效的方法.如果仓库形状接近长方体，测量长、宽、高后，根据长方体体积公式V=长×宽×高即可算出容积.此外，教师还可采用小组合作学习的方式，让学生们分组讨论问题，共同建立模型并求解，分享彼此的思路和方法.这样不仅能够培养学生的团队合作精神，还能拓宽学生的思维视野，提高学生解决实际问题的能力.

（四）拓展思维，创新模型

1.构建多元模型

高中立体几何问题往往具有多种解题途径，通过构建多元模型可以拓展学生的思维，降低立体几何知识的学习难度，增强学生的自信心.在教学中，数学教师可以引导学生从不同的角度观察立体图形，变换一种思维.例如，对于一个长方体，教师既可以让学生从正面、侧面、上面等常规角度观察其形状和特征，也可以让学生从斜角或特定的视角去审视.通过这样多角度观察，学生就会更全面地认识立体图形.在此基础上，教师就可以鼓励学生运用多种方法构建几何模型.例如，在求解空间中两条直线的位置关系时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的方法进行判断；也可以借助传统的几何定理，通过分析直线与平面的关系间接确定两条直线的位置关系.对于求几何体的体积问题，学生们不仅可以采用直接法，根据几何体的形状和已知条件直接计算体积，还可以运用割补法，将复杂的几何体分割成几个简单的几何体或者通过补形的方式将其转化为熟悉的几何体求解体积.此外，教师还可以引导学生结合实际生活中的例子构建模型.比如，建筑中的立体结构、包装盒子的形状等，都可以作为立体几何模型的来源.这样不仅能让学生更好地理解立体几何知识，还能提高他们将数学知识应用于实际生活的能力.

2.模型创新应用

在高中立体几何教学中，模型创新应用是拓展学生思维的重要手段.一方面，教师可以引导学生对传统的几何模型进行改造和创新.例如，对于常见的正方体模型，可以通过改变边长比例、切割一部分或者在其表面添加一些特殊的图形等方式，创造出不同的几何模型.通过对这些创新模型的分析和求解，让学生能够更加深入地理解立体几何的概念和定理，同时锻炼学生的创新思维和解决问题的能力.另一方面，教师可以将不同的几何模型进行组合和融合.例如，将圆锥和圆柱组合在一起，或者将球体与棱柱相结合，形成新的复杂几何体，并要求学生分析这些组合模型的特征和性质，运用所学的知识解决相关的问题，以此来加深学生对各种几何体的认识，培养学生的综合分析能力和创新意识.此外，教师还可与现代科技相结合，为高中数学立体几何教学带来新的突破.例如，利用计算机软件进行立体几何模型的构建和演示，让学生更加直观地观察几何体的变化和性质，或是引导学生运用编程的方法解决一些立体几何问题等，培养他们的跨学科思维和创新能力.

（五）总结归纳，巩固模型

1.梳理各类模型

在高中数学立体几何教学中，梳理各类模型能够帮助学生更好地理解和掌握数学模型思想.在课堂教学的过程中，教师可引导学生对所学的立体几何模型进行分类整理.例如，将棱柱、棱锥、棱台等多面体分为一类，圆柱、圆锥、圆台等旋转体分为另一类.对于每一类模型，教师可以详细讲解其定义、性质和特点，让学生对不同类型的立体几何模型有一个清晰的认识.然后，教师可以通过例题和习题的讲解，让学生进一步熟悉各类模型的应用.例如，在讲解例题时，教师可先引导学生分析问题中所涉及的立体几何模型，然后鼓励学生运用相应的模型性质和定理进行求解.同时，教师还可以布置一些有针对性的习题，让学生在练习中巩固所学的知识，提高学生运用数学模型解决问题的能力.此外，教师可以利用多媒体教学手段，如展示立体几何模型的图片、动画等，引导学生从不同角度观察立体几何模型，帮助学生更加直观地理解各类模型，加深对模型的认识.此外，教师还可以在课堂上组织学生进行小组讨论，让学生们互相分享自己对各类模型的理解和认识，共同解决遇到的问题，促进学生间的交流和相互学习，从而提高学习效果.

2.反思巩固错题

在解决立体几何问题的过程中，出错是在所难免的，而这些错误往往是最好的教学资源，甚至会成为学生提高和创新的基石.教师在教学中要将错题资源充分利用起来，通过反思巩固错题的方式，帮助学生更好地掌握数学模型思想.首先，教师可以指导学生建立错题本，将自己在立体几何学习中做错的题目整理到错题本上，要求学生在整理错题时不仅要写出正确的答案，还要分析自己做错的原因，以及题目中涉及的立体几何模型和知识点.其次，教师要定期组织学生复习错题本上的题目，引导学生再次分析错题，找出自己的薄弱环节，然后有针对性地进行复习和巩固.同时，教师可以让学生将错题进行分类整理，如按照模型类型、知识点等进行分类，以便更好地掌握各类模型的应用.最后，教师还可以利用错题进行课堂教学，选取一些典型的错题进行讲解，让学生分析错题中所涉及的立体几何模型和知识点，然后引导学生找出正确的解题方法.通过这种方式，帮助学生更加深刻地理解数学模型思想.此外，教师也要有意识地培养学生反思错题的习惯，鼓励学生在平时的学习中每做完一道题目，都要思考一下自己的解题方法是否正确，是否还有其他更好的解题方法.

结 语

综上所述，在高中数学立体几何教学中渗透数学模型思想是势在必行的，它不仅提升了学生的空间想象能力和逻辑思维能力，还让学生感受到了数学的魅力与价值.在以后的教学中，数学教师应该不断创新教学方法，引导学生积极构建立体几何模型，将抽象的知识具体化，将烦琐的知识简单化，提高解题效率，促进学生数学核心素养的发展.

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