建模思想在高中数学教学中的应用探究

【摘要】在教育改革不断深入的背景下，高中数学教学模式也应随之而变，传统教学过于注重公式和理论知识传授，忽视学生技能和综合素质的培养.对此，教师可将建模思想引入课堂，引导学生以数学语言描述现实问题，由此降低解题难度，促进思维发展.基于此，文章分析了建模思想在数学课堂中的应用意义，剖析了当前高中数学建模教学中存在的问题，进一步探究了建模思想的实际应用策略，以期通过优化教学方案、创设教学情境、开展过程性评价等方式，不断强化学生的建模思想，促进学生数学学习水平提升.

【关键词】高中数学；课堂教学；建模思想；实践应用

引 言

在实施素质教育过程中，高中数学教师应意识到“授人以鱼，不如授人以渔”，只有学生真正掌握学习思路和方法，才能够做到举一反三，提高解题速度和准确率.数学建模思想作为一种思维方式，主张立足实际问题，经过深层次题目和信息解读，将实际问题转化为数学语言，寻找问题的本质规律，为解题提供理论支持.对此，数学教师应对数学建模加强重视，将其融入课堂教学中，主动优化教学方案，使学生树立建模思维，灵活地运用所学知识，提高问题解决能力，取得更加理想的学习成果.

一、建模思想在高中数学教学中的应用意义

（一）有助于学生灵活运用知识

高中阶段是学生学习的黄金时期，也是数学建模素养形成的关键时间点，学习并非让学生变得刻板，而是通过数学建模的形式，促进理论和实践的关联，培养学生的实践能力，促进学生发散思维的发展，使其变得更加灵动.在以往的教学中，大部分学生对应用题不知从何下手，或者根本看不懂.究其原因，受应试教育影响，学生长期处于被动学习状态，很少有独立思考和探索的机会，当题型更换说法后，便感到无从下手.新课标背景下强调培养学生的建模思想，教师应引导学生根据建模目的、对象特征，联系已有知识经验，简化问题，并使用数学公式、图形、表格等，对问题进行合理恰当的模型假设.在此期间，学生需要综合运用所学知识，融入建模思想，深层次理解知识本质，并在自主学习、探索中得以延伸，活跃思维，做到举一反三，实现知识点的灵活运用.

（二）有助于提升学生数学学习兴趣

在教学中，教师围绕课本知识，将与建模相关的欧几里得几何、万有引力定律等故事渗透进来，使学生了解知识的背景来源，激发学生的学习兴趣.同时，教师还可引导学生自主探究，借助计算机技术、小组合作等方式，培养其独立思考能力和创新思维.面对复杂数学问题时，教师可引导学生从问题背景着手，以模型假设、创建、求解等方式，将复杂问题简单化，由此激发学生的学习兴趣，深入理解建模原理和应用方法，拓展思想和想象空间，并在师生交流、生生交流中，提高协作能力、表达能力、思考能力，实现自身的全面发展.

二、当前高中数学建模教学存在的问题

（一）教学理念滞后

当前高中数学教学中，在建模能力培养方面存在以下问题.部分教师受应试教育理念影响，对建模能力培养的重视度不足，认为建模能力属于高阶教学内容，需要在大学阶段培养，与高中生关系不大.部分教师的教案老旧，已经严重滞后于现代化教学步伐，没有渗透建模能力培养的相关内容，仍以知识灌输为主，教学内容十分乏味枯燥，很难激发学生的学习热情.部分教师在课后考评阶段，以结果性评价为主，忽视学生建模能力的考查，导致学生归纳能力、举一反三、逻辑思维能力的提升较慢，抑制了知识迁移，不利于数学综合能力提升.

（二）建模活动指导不足

以往建模教学中，教师自身居于主体地位，未对学生进行科学引导，导致建模活动开展机械生硬，学生收获甚微.在建模教学初期，教师没有立足于教材，制订与建模思想和能力培养相契合的教学目标，且学生缺乏相关建模经验，对信息、数据的提取方式单一，尚未树立问题意识，加上教师引导的缺失，无法充分感受建模活动的积极意义.在假设阶段，学生容易以形象思维为主，过度关注实际问题解决的确切性，未能充分发挥归纳、抽象、迁移等思维将现实问题简单化处理，从而影响建模活动的高效开展.出现上述问题主要因为教师指导不足，导致学生在建模期间效能感缺失，无法充分地在数学世界、现实之间互动联系，自然难以取得理想的教学效果.

（三）教学评价方式单一

科学的教学评价不仅能够检测学生的学习成果，还能够考核教师的教学成效，对学生建模能力提升具有促进作用.在以往的高考试题中，数学建模考查多以知识的直接运用、演绎证明、推理等为主，题目条件和所求答案之间相对封闭，但在教育改革后，试卷考查更偏向于学生思维和应变能力，这就需要教师将数学模型的相关思维均纳入评价体系中.但是，当前数学课堂以结果性评价为主，过于重视分数，而数学建模需要多角度分析问题，没有统一标准答案，甚至没有相似经验可供借鉴，这就需要学生具备较强的知识迁移能力、审题能力、发散思维.但在现行的教学评价中，偏向于考查应试能力，侧重单一思维，不利于强化学生数学建模思维，还会影响学生数学学习能力的提升.

三、建模思想在高中数学教学中的应用策略

（一）优化教学方案，培养建模意识

高考题目中体现数学建模思想的综合题占比较大，大体可分为不等式模型、概率统计模型、三角模型和几何模型等，为何高效开展建模教学成为数学教师所要思考的重要课题.受应试教育影响，学生已经习惯于传统的教师讲授、自己倾听的模式，思维习惯较为固化，面对实际问题时常常无法做到学以致用，影响学习效率提升.在教育改革背景下，要求教师转变教学思维，注重建模思想的传授，引导学生通过自主探究，逐步养成自主分析和思考的习惯，顺利解答数学问题.对此，教师应深刻意识到建模思想的内涵和应用价值，加强数学建模问题的相关理论研究，掌握最新研究成果，不断更新自身知识体系，提高思想认知，能够在教学理念层面做到与时俱进.教师还应树立终身学习意识，利用课余时间加强教育学、心理学、认知心理学等相关知识学习，做好建模教学的理论准备，提前了解学生在建模期间可能面临哪些困难、所学的解决方法等，便于课上有针对性地引导，高效培养学生建模思想和能力，学会灵活运用技巧顺利解题.

此外，教师还要对教学方案优化设计，将其与建模能力培养相结合，以例题讲解的形式，使学生掌握数学建模思路、过程，引导其根据实际问题，用所学数学模型解答应用型问题.待学生掌握一定建模思想后，教师可引导学生对已经建立的模型进行问题分析、假设检验，分析模型的不足之处，互相交流与分享，实现共同进步.高中生具有好奇、好动、好问的心理特点，思维逐渐从经验型走向理论型，在教学期间，教师应结合学生的身心发展特点，督促学生认真审题，准确寻找题目中的数量关系，从中洞察题目的要点、用意，运用联想、类比、猜想和逻辑推理等方式，将实际问题转化为数学表达式，并借助几何图形、坐标仪、数学关系式等辅助解题.例如，在解答最优化问题时，学生可构建函数模型解决问题；在解答生产规划问题时，可将问题转化成不等式、方程问题进行解决；针对运行轨道问题，可通过创建几何模型解决.

（二）立足教材内容，巧妙创建数学模型

高中数学以课堂教学的形式开展，但当前部分教师片面注重知识点传授，忽视建模思想、建模方法的讲解，不利于学生知识点扎实记忆.对此，教师应立足教材内容，分析教材内容和基本学情，明确教学目标与重难点，以情境教学的形式将建模思想融入课堂之中，引导学生探索思考、创建模型、解决问题，从而加深学生对知识点的理解和记忆，做到学以致用.

1.教材内容分析

以人教A版高中数学必修第一册“指数函数的概念”为例，该章节是在函数基本性质、幂函数之后，对数函数之前的课程内容，具有承上启下的作用.学生经过初中阶段的学习，已经对n次方等概念有所了解，再加上前几章函数基本性质、幂函数的学习，能够把握一定的函数学习规律.教师立足教材内容，从三维角度设立教学目标，在知识与技能层面，要求领悟并掌握指数函数概念和定义；在过程方法层面，要求了解指数函数的应用场景，知晓数学源于生活，能够在探索中掌握指数知识的应用方法；在情感价值观方面，通过亲身参与数学模型创建，学会站在数学角度看待问题，逐步树立建模意识，提高逻辑思维.

2.创设情境，探索新知

为吸引学生眼球，使其快速进入学习状态，教师采用情境教学法，立足于教材内容创设相应的教学情境，引领学生一同探索新知.例如，我国人民生活品质不断提升，旅游业逐渐发展.随着每年出行人数不断增加，A，B两个景区2011～2020年，两景区游客的数量变化情况如下表所示.

出示表格后，教师让学生认真观察表中数据，探究两处客流量波动有何规律，并分别谈一谈.甲同学思考后表示：“A景区每年游客的增长量在10万左右，可将其近似成一个常数，B景区每年游客增长量十分显著，规律不显著.”教师点头表示认可，然后追问：“为使B景区游客量变化规律更显著，可以寻找其他量来表示增长情况吗？”学生思考后并未给出答案，这时教师借机引出本节课的关键词“指数增长”，也就是用增长率进行表示.上述情境中，经过计算发现B景区2012年和2011年游客数量比值近似1.1，2013年和2012年的游客比值接近1.1，每一年和前一年相比，游客增长数量均约1.1，因此B景区的增长率接近1.1，可看成一个常数，这样的增长变化规律便是“指数增长”.上述教学情境的设计从学生熟悉的生活场景入手，引导学生自行思考、发现数学规律，明确B景区游客数量与时间增长的关联，动手尝试建立函数模型.

3.建立模型，解决问题

根据上述数据分析可知，B景区从2011年开始，1年后，游客量为2011年的1.1倍，2年后，数量是2011年的1.12倍，3年后为1.13倍，由此推测，x年后，游客数量为2011年的1.1x倍，假设用y表示，则可列出函数式y=1.1x（x取值为[0，+∞））.上述问题解答中，x的单位是年，计算结果与实际值相接近，且x不能取小数，否则涉及淡旺季问题，影响计算结果，因此只能为正整数.上述设计可引导学生通过数据分析，动手尝试构建数学模型，促进问题解答.针对上述实例进行深入研究，设A景区的门票价格为150元，B景区的门票价格为200元，对比两个景区近10年旅游收入的变化情况.该问题的设置促使学生利用模型思维进行求解，锻炼利用模型解决实际问题的能力.可见，在教师启发下，学生学会多角度分析数据，发现规律，创建函数模型，并求解应用.在此期间，学生能够充分体验建模过程，感受建模思想在实际场景中的应用，并树立数学建模意识，自身的阅读思考能力、运算能力也得到显著提升.

（三）强化建模思想，提高数学学习能力

数学建模问题与生活实际息息相关，常常一个问题有多种解题思路，十分灵活多变.这就要求教师注重建模思想的强化，通过开展变式训练、强化阅读理解能力等方式，使学生的数学学习能力和素质得到全面提升.

1.开展变式训练，培养知识迁移能力

数学建模问题并非一成不变，而是多样且复杂的问题，如若教师在教学时，单纯展示固定格式的题型，缺乏结构和形式上的改变，学生只能获得固定的知识与经验，不利于高阶思维培养.对此，在建模教学中，教师应注重变式训练，促进学生能力迁移，强化建模思维.经过初中阶段和高中部分阶段知识学习，学生已经接触到多种数学模型，如函数模型、概率模型、几何模型等，教师可引导学生归类整理，使其掌握不同类型模型的用法和思路，能够根据不同的应用题型，灵活运用相应模型求解各类建模问题.教师还可针对已知题目，改变题目中的部分条件，开展变式训练，引导学生改变以往思路，使其学会数学知识迁移，从不同角度切入思考求解，提高举一反三、类比、联想等能力，创造性总结这一类问题的解决思路，实现从特殊到一般经验转化，促进能力迁移.

2.强化数学阅读理解能力

建模问题源于生活，常常以较长文字叙述形式呈现，其中掺杂一些图形、符号语言等，部分学生在阅读题目时感到云里雾里，未能理清题意，此时如若盲目下手解题，很容易失误丢分.可见，阅读理解能力是能否顺利解决建模问题的基本能力.对此，教师应引导学生逐句剖析题目，不遗漏任何条件，找到每句话、每个图形内的关键信息，还要分析隐藏信息以及文字叙述中的数量关系，用自己的话解读出来，分别列出条件和结论后再进行求解.在课堂教学中，教师还要从具体事物着手，由具体到抽象，由特殊到一般，逐层深吸，强化学生的理解，在建模中对使用方法、策略加以解释，引导学生理清其中关联，掌握更多的解题方法和技巧，明白知识、技巧和策略间并非相互独立，而是相互联系的关系，由此构建完整的结构体系，达到融会贯通的效果.

3.加强过程性评价，提高反思能力

在日常教学中，评价属于重要内容之一，可以动态跟踪和检查学生的学习结果，为后续教学方案改进提供参考依据.从整体上看，教学评价可分为过程性和结果性两种，以往教师多采用结果性评价，忽视学生学习过程中的变化.对此，为及时全面了解学生在建模期间遇到的困难和疑惑，教师应加强过程中评价，让学生充分展示自己的建模思路、过程，谈一谈自己为何这样做、灵感来源等，教师充分了解学生真实想法后，再给予科学客观地评价引导，包含建模方法、思维过程、抽象概括能力、运算能力等多方面着手，依靠全方位、多维度的评价结果，促进学生自我反思能力的提升.

结 语

综上所述，在高中数学教学中，教师应积极响应素质教育的号召，注重思维和能力培养，将建模思想融入课堂教学，通过合理创建与教材内容相关的情境、提出驱动性问题、开展自主探究等方式，使学生深层次地理解和掌握知识，提高知识应用能力.同时，教师要注重教学方案优化设计、过程性评价，真正做到以学生为本，树立建模意识，帮助其不断积累建模经验和技巧，逐步提高解题水平，并对学生的学习能力、课堂表现、能力和思维等进行综合评价，促进学生知识迁移、阅读理解和反思等能力的全面提升.

【参考文献】

[1]万立英.数学建模思想融入高中函数教学的实践研究[D].长沙：湖南师范大学，2020.

[2]仲易.数学建模素养在高中数学教育中的落实研究与实践[D].武汉：华中师范大学，2022.

[3]彭介顾.新课程标准下的高中数学建模教学实践研究[J].数学学习与研究，2022（17）：125-127.

[4]曲婧.基于数学建模方法的最小二乘法的教法研究[J].数学建模及其应用，2023，12（3）：85-93.

[5]何晨良，刘峰.数学建模在高中数学课堂教学中的实践：“数据拟合”的课例及反思[J].中学数学研究（华南师范大学），2021（2）：28-30.

[6]贾静.高中数学建模在常规课堂教学中的实践初探：以“中奖瓶盖”的教学实施为例[J].中小学数学（高中版），2019（12）：54-55.