关于“电磁学”静电场高斯定理的探讨

摘要：静电场是“电磁学”课程的主要内容板块，静电场的高斯定理是静电场的核心内容。静电场的高斯定理的证明过程有助于学生对该定理的接受、理解和应用，本文提出了一种新的证明该定理的方法，该方法顺承球形高斯面的特例而推导，贴合学生的思维而更易于被他们接受，同时，还对教学中该定理是否必需、是否只适用于电荷对称分布和能否反推库仑定律等理解难点，以及应用该定理求解对称分布电荷的电场强度的流程展开了探讨和总结，所得结果对改进静电场高斯定理的教学有参考意义。

关键词：电磁学；静电场；高斯定理；电通量；物理教学

中图分类号：O441.1；G642文献标识码：A

“电磁学”课程中静电场的高斯定理属于该课程的重点和难点。重点而言，一方面，它是有介质存在时的高斯定理的基础，也在处理导体存在时的静电场问题中起着关键作用；另一方面，它是麦克斯韦方程组中四个方程之一，是处理一般电磁问题的基础。难点而言，从库仑定律到电场强度，相对于中学“电磁学”而言，连贯性还比较好，但从库仑定律到高斯定理，相对于中学“电磁学”则具有一定的进阶性，学生掌握起来常常遇到各种各样的困难，这些困难对于不同的学生可能来自于证明、理解、接受和应用等各个环节。因此，静电场高斯定理的教学引起了较广泛的研究［15］，但该定理的证明、理解和应用等仍有值得探讨之处。

1静电场高斯定理的表述

静电场高斯定理的内容可表述为：静电场的电场强度在任意闭曲面上的通量等于闭曲面内包围的电荷的电量代数和除以ε0。数学表达式为：

SE→·ds→=∑iqiε0（1）

其中qi表示闭曲面S内第i个电荷的电量，面元ds→指向闭曲面的外部，闭曲面S又称为高斯面。

2静电场高斯定理的证明

高斯定理的证明大致有三种方法，第一种是利用电场线起于正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远），在无电荷处不中断的性质［6］，这种方法直观形象，但逻辑上有问题，因为电场线的这个性质一般要通过高斯定理推出，因而可能构成了循环论证。第二种是利用面积投影以及空间立体角，利用面积的投影和立体角［7］，比较简明，但学生在理解投影和立体角时，由于这个面积微元的投影与宏观上面积的投影不太完全对应，并且是曲面微元到曲面微元的投影，加上第一次接触立体角，感觉隔膜。第三种方法，数学上较为严格，但会用到散度和数学上的高斯公式［8］，学生在大学二年级第一学期学习“电磁学”时，这两个内容还没有学到或掌握不好。我们提出下面新的证明方法，比较贴合学生的思维，易于学生接受。

2.1点电荷在球形高斯面球心

设电量为q的点电荷位于球形高斯面的球心，如图1所示，球面半径为r。在（r，θ，φ）处取面积元ds=r2sinθdθdφ，它的法线指向球面外，可知为e→r。球面上（r，θ，φ）处的电场强度为：

E→=q4πε0r2e→r（2）

此时，面积元ds的通量为：

E→·ds→=q4πε0r2e→r·r2sinθdθdφe→r=q4πε0sinθdθdφ（3）

可见该通量与半径r无关。整个高斯面上的通量为：

SE→·ds→=Sq4πε0sinθdθdφ=q4πε0∫2π0dφ∫π0sinθdθ=qε0（4）

即点电荷位于球形高斯面的球心时，高斯定理成立。点电荷不在球形高斯面球心时可归到以下一般闭曲面情况。

2.2点电荷在一般闭曲面的高斯面内

当点电荷q位于一般闭曲面的高斯面S内部时，如图2所示，我们以点电荷q为球心，作一个半径较小的球形高斯面S′，该球形高斯面S′完全处于闭曲面S的内部，并以点电荷q为坐标原点建立球坐标系。此时，球形高斯面S′与原来的一般闭曲面S中间形成一个夹层形的空间区域，这个区域内不包含点电荷q，因而没有电荷。

对于点电荷q在该夹层区域内的电通量，从q位于球形高斯面的球心时的情况可以看出，对半径为r以及半径为r+dr的球形高斯面，点电荷场强的通量都为qε0，即半径为r以及半径为r+dr的球面间的夹层空间的电场通量为零。因而，由球对称性，对于如图3所示半径为r和r+dr间的每个体积元r2sinθdθdφdr，点电荷q的电场在其表面上的通量为0，因为整个r和r+dr间的夹层可看作是由这些体积元组成的。也就是说，在以点电荷q为坐标原点的球坐标系中，点电荷的场强对于任意不包含该点电荷的体积元r2sinθdθdφdr的表面的通量为零。这由（3）式，并考虑到体积元四个侧面与径向平行也可得知。

对于球形高斯面S′与一般闭曲面S中间的夹层区域，从数学上求体积的过程中可知，它的体积可由体积元r2sinθdθdφdr积分而成，也就是说，该夹层空间区域可由体积元r2sinθdθdφdr堆砌而成。这样，点电荷的电场在每个体积元的表面的通量都为零，因而在整个夹层空间区域的表面通量为零，而夹层空间的表面由S和S′构成，若取S′的法线方向朝向夹层，而背离电荷q，S的法线背离夹层和电荷q，则有：

S+S′E→·ds→=E→·ds→+SE→·-ds→=0（5）

由点电荷q位于球形高斯面球心时的情况，且S与S′均为闭曲面，可得：

SE→·ds→=E→·ds→=qε0（6）

即点电荷q位于一般曲面高斯面的内部时，高斯定理也成立。

对于点电荷在一般闭曲面外以及点电荷体系和连续带电体的情况的证明，限于篇幅，可参照文献［7］的方法处理。

3静电场高斯定理的理解

3.1为什么需要高斯定理？

由库仑定律和叠加原理，原则上可以求解已知电荷分布情况下的电场，高斯定理属于求电场的简便方法，从物理上看似乎不必要。但是，由高斯定理可以根据电场分布计算电荷分布，而直接由库仑定律和叠加原理却难以做到，并且对于不少情况，由高斯定理可以得到的结果，直接由库仑定律和叠加原理却难以得到，例如，静电平衡导体的许多性质和场强的边值关系等。此外，“电磁学”研究的重心是“场”，而对于“场”的研究，需要确定“场”的通量和环流，在考察“场”的通量时自然演化到高斯定理。最后，麦克斯韦将静电场的高斯定理推广到时变电场情形，它成了电磁场理论的一块基石，对整个物理学的发展产生了重大影响，并对人类社会的发展产生了划时代的影响。

3.2高斯定理只适用于电荷对称分布的情况吗？

教材上应用高斯定理求电场的例题，均是针对电荷分布具有对称性或可以转化成具有对称性的情况，而电荷分布不对称时求不出场强，因此，同学们得出“高斯定理只适用于电荷对称分布的情况”的结论。这个结论当然不正确，从高斯定理的证明过程可看出，它的成立与电荷分布对称与否无关，因此，高斯定理在电荷分布不对称时也适用。只是当电荷分布不对称时，单独应用高斯定理一般求不出场强，但结合静电场的环路定理再加上适当的边界条件可以求出。并且对于个别电荷分布不对称的情况，单独应用高斯定理也可求出电场，如静电平衡导体外紧靠导体表面处的电场。

3.3高斯定理可以推导出库仑定律吗？

静电场的高斯定理是从库仑定律推导出来的，那么，可不可以从高斯定理推导出库仑定律呢？答案是肯定的。对点电荷应用高斯定理，并考虑到球对称性（点电荷看作微小球或微小球体），以点电荷为球心作一个球形高斯面可以推出点电荷的场强，再由电场强度的定义可以得到库仑定律。甚至有将高斯定理作为公理以建立静电场的理论体系［9］。

4静电场高斯定理的应用

应用高斯定理处理静电场问题有已知电荷分布求场强和已知场强求电荷分布两类，“电磁学”课程主要关注前者。下面通过两个电荷分布对称的例子，总结这种问题的求解思路。

例1：如图4所示，真空中某带电球体的半径为R，所带电量为Q，电荷均匀分布在球体内，求球体内外的电场强度。

解：由于电荷分布具有球对称，对于点P，其电场强度方向因上下两半径球电场矢量叠加将沿径向e→r。由此，作与球体同心的球形高斯面，如图4中的S＇和S。当r＞R时：

SE→·dS→=E·4πr2=qε0（7）

可得E→=q4πε0r2e→r。

当r＜R时：

S′E→·dS→=E·4πr2=Q4πR3/3·4πr3/3（8）

可得E→=qr4πε0R3e→r。

例2：如图5所示，真空中无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ，求平面外各点的电场强度。

解：由对称可知，平面外任意点的场强方向与平板垂直，并且场强在到平板距离相等处的大小均相等。作如图5所示的高斯面：与带电平板垂直且底面积为ΔS和ΔS＇圆柱面S。柱面的侧面与场强处处平行，无电通量，只有底面的电通量，故：

SE→·dS→=EΔS+E′ΔS′=2EΔS=1ε0σΔS（9）

可得E→=σ2ε0e→n。

从上面两例题可知，应用高斯定理求对称分布电荷的场强的思路是：通过选取适当的高斯面，使高斯面全部与场强垂直，或一部分与场强垂直，一部分与场强平行，而与场强垂直部分高斯面上的场强处处大小相等，从而构成如下流程：

SE→·dSE→与S处处垂直SEdSS上场强处处相等ESdS=ES=1ε0∑iqi（10）

将问题转变为求高斯面的面积和高斯面内的电荷，从而得出E→。

结语

本文提出了一种新的证明高斯定理的方法，该方法顺应球形高斯面的特例，贴合学生的思路，更易获得学生的认同和接受。同时，对静电场的高斯定理的理解中的疑难点进行了剖析。此外，通过两个例题，概括了应用高斯定理求对称分布电荷的场强的流程。

参考文献：

［1］冯金明，马会芳，李甜甜.学生理解高斯定理的困难、成因及应对策略［J］.物理与工程，2022，32（05）：2533.

［2］彭婷，吴维宁，蔡亚璇.电磁学高斯定理学习状况的研究［J］.教育教学论坛，2020，6（26）：334335.

［3］高景霞，张洋洋，张金平，等.关于大学物理中“静电场的高斯定理”教学设计［J］.科技视界，2018，8（15）：4648.

［4］何伟岩.用高斯定理计算无限大平板间电场强度［J］.广西物理，2017，38（Z1）：3740.

［5］路俊哲，武盼盼，柏云凤，等.浅谈高斯定理中高斯面的确定方法［J］.喀什大学学报，2016，21（6）：2325.

［6］程守洙，江之永.普通物理学［M］.北京：高等教育出版社，2016.

［7］梁灿彬，秦光戎，梁竹健.电磁学［M］.北京：高等教育出版社，2018.

［8］谢处方，饶克谨，杨显清，等.电磁场与电磁波［M］.北京：高等教育出版社，2019.

［9］DavidKeunCheng.电磁场与电磁波［M］.何业军，桂良启，译.北京：清华大学出版社，2013.

基金项目：湖南省普通高等学校教学改革研究项目（HNJG20210789、HNJG20210790）

作者简介：王友文（1972—），男，汉族，湖南衡阳人，博士，教授，主要从事电磁学方面的教学。