基于CPFS结构的数学概念教学研究

摘要：数学概念是数学学科知识体系中最基本的要素，是学生进行数学思维、交流的基础。针对数学概念教学中的问题，借鉴CPFS结构理论，剖析了CPFS认知结构与数学理解的关系，指出概念教学的核心是帮助学生建立良好的认知结构，构建学生自己的概念体系。以“椭圆的定义及其标准方程”教学为例，基于CPFS理念开展概念教学设计，提升学生对椭圆定义的概念理解。最后，提出了几点概念教学策略。

关键词：数学概念；CPFS结构；数学理解；椭圆；教学策略

数学概念是整个数学学科知识体系中最基本的要素，它们彼此之间通过特殊的方式相互联系进而构成规则，而概念和规则又组成了数学学科的若干知识体系［1］。对数学概念的理解是高中数学教学的重要要求，《高中数学课标标准（2017版2020年修订）》（下文简称《课标》）中指出，数学教学应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿整个高中教学始终，帮助学生逐渐理解。［2］可见，数学概念教学在数学教学中具有关键的地位，数学概念的理解和掌握程度直接关系到学生解决数学问题的能力。然而，当前数学概念教学存在一些普遍的问题，如教学方式单一、重解题、重知识应用、轻视概念等，导致数学概念难以内化为学生大脑中的认知结构，学生不能从多角度、多侧面地理解数学概念，影响了对概念的理解水平。因此，重视数学概念的教学是数学教学的永恒主题，如何促进数学概念的深度理解是关键。

1CPFS结构与数学理解

根据建构主义观点，数学学习过程就是一个不断重复的认知结构搭建过程，学习者在教师指引下将原本属于教材资料的知识结构逐步转化为自己大脑中的结构。在学习过程中，数学概念的理解不是一次性完成的，而是逐步深化的，通常经历初步理解、确切理解和深刻理解三个阶段。从有意义学习角度来讲，数学认知结构就是当学生学习到新知识后，将新的知识内容与大脑中已有的知识相结合，在新旧知识之间搭建起一个非人为的实质性联系，通过同化或顺应的方式将新知识融入已有的知识结构之中，形成更加完备的知识系统。只要能建立完备的知识系统，就能避免无意义的机械学习，并能迅速在大脑中提取有用的信息来解决问题。因此，引导学生建立自己的认知结构是概念教学的核心目标。

2002年，喻平教授提出了一个数学学习者特有的认知结构——CPFS结构，它是由概念域、概念系、命题域、命题系构成的一种认知心理结构［3］。CPFS结构为理解“数学理解”提供了更精确的方法，基于概念域、命题域中的等价关系和概念系、命题系中的数学抽象关系，可以较清楚地认识到“数学理解”中的各种联系［4］。在教学中，以数学概念为中心，从不同角度认识概念的内涵以及概念间的联系，构建概念体系，从而完善学生的认知结构以提高理解水平。闫晓芳等［5］指出，教师应该从三个方面帮助学生完善CPFS结构：（1）多角度揭示概念的意义；（2）梳理知识体系，概括概念体系；（3）加强概念的应用。因此，教师尽可能地引导学生从不同角度去认识概念，厘清概念间存在的抽象关系，帮助学生深刻理解概念内涵和外延，从而建立自己的CPFS认知结构。综上，CPFS结构理论可为数学概念教学提供有益的教学思路，帮助学生完善其CPFS结构，有助于学生提升数学概念理解水平以及知识迁移运用的能力。

2基于CPFS结构椭圆概念教学案例设计

2.1创设情境，引入主题，获得初步印象

情境1：大约在公元前4世纪，古希腊学者梅内克缪斯发现了圆锥曲线，而后著名的数学家阿波罗尼奥斯更加系统地研究了圆锥曲线，如图1，它用一个与圆锥母线成不同角度的平面去截圆锥，截面与所有母线不同角度的交线形成了不同的圆锥曲线。

情境2：历史上还有很多数学家们研究了如何画椭圆。6世纪时期，拜占庭数学家安提缪斯提出“园艺师作图法”，也称“两钉一线”椭圆法，能够简单便捷地画出一个椭圆。

问题1：在我们的日常生活中随处可见椭圆的身影，同学们能找到相关例子吗？

【设计意图】借助数学史料介绍圆锥曲线的产生由来，了解椭圆产生的历史背景，激发学生的学习动机和研究兴趣，帮助学生获得椭圆的原始定义。

2.2动手操作，增强体验，提升直观认识

小组活动：借鉴“两钉一线”画椭圆的方法，如图2，用两个图钉、定长的绳子、笔尖在纸上绘制椭圆，完成后投影展示成果。

问题1：在画图的过程中，有哪些量没有发生变化？

问题2：任意改变两个图钉的位置都能画出椭圆吗？满足怎样的条件笔尖画出的轨迹才是椭圆？

生：椭圆上的动点到两个定点之间的距离和为定值。

师：事实上为了验证椭圆的几何性质，19世纪，比利时数学家Dandelin巧妙地构造出双球模型，椭圆的几何性质才得以严谨证明，双球模型如图3所示。

问题3：满足“到两个定点的距离之和为定值的点的轨迹”一定是椭圆吗？

问题4：我们知道从圆外一点引圆的两条切线，切线长度是相等的，类似地，若从球外一点作球的切线，这些切线长有什么关系呢？

学生分小组交流讨论，设满足以上关系的点P和两个定点F1、F2，根据三角形的边长关系，存在以下三种情况：若PF1+PF2＜F1F2，P点的轨迹不存在；若PF1+PF2=F1F2，P点的轨迹为线段F1F2；若PF1+PF2＞F1F2，P点的轨迹为椭圆。

【设计意图】通过动手操作和设置启发性问题逐步引导学生理解Dandelin双球模型，借助双球模型实现由原始定义向第一定义的自然过渡，获得椭圆的第一定义，理解椭圆概念的本质内涵。

2.3数形结合，推导方程，促进结构理解

活动探究：类比圆的方程，如何推导椭圆方程？学生分小组进行讨论，教师引导，小组代表上台展示推导过程。

由于椭圆与圆一样具有对称性，不妨以两焦点所在的直线为x轴，两焦点所在线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系。椭圆的两个焦点坐标分别为F1（-c，0），F2（c，0），长轴长2a，设椭圆上任意一点P（x，y），由椭圆的定义可知PF1+PF2=2a，则得到如下方程：

（x-c）2+y2+（x+c）2+y2=2a（1）

通过化简可得：

x2a2+y2a2-c2=1（2）

令b2=a2-c2（其中a＞b＞0），即可将上述方程简化，得到椭圆的标准方程形式：

x2a2+y2b2=1（3）

师：是否还有其他建系的方法呢？椭圆的方程有没有变化？

学生发现把刚才的椭圆逆时针旋转90°就得到了焦点在y轴的椭圆，因此，只要将方程（3）中的x和y位置互换即可。

【设计意图】首先让学生熟悉曲线方程的获得步骤，培养学生由一般到特殊的转化思维，然后在教师的引导之下，通过小组合作讨论和活动探究，学生能够借助坐标运算逐步获得椭圆的标准方程，将几何问题代数化，提升学生的数学运算素养，进一步丰富椭圆的方程定义和焦点准线定义。

2.4拓展变式，积累经验，培养迁移能力

例1：如图4，在圆上x2+y2=9任意取一点P，过P点作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？

变式1：将上述已知圆的方程改为x2+y2=r2，PD=μMD，其他条件不变，M点的轨迹是什么？

分析：不妨设M点的坐标为（x，y），P点为（x0，y0）由于P点是圆周上一点，根据P点与M点之间的坐标关系，x0=x，y0=μy，将其代入圆的方程中，消去x0、y0，可以得到M点的轨迹方程为椭圆。

变式2：如图5，假如A、B点坐标分别为（-a，0）、（a，0），斜率之积为λ（λ为正数），其他条件不变，求M点的坐标。可以让学生自行推导，同样可以得到M点的轨迹为椭圆。

【设计意图】由特殊的中点关系入手，引导学生猜想圆与椭圆之间的关系，体会利用中间变量求动点轨迹的方法，设计变式激发学生由特殊到一般的进阶思维。从形的角度定义并理解椭圆的本质属性，进一步获得椭圆的压缩定义和蕴含的斜率关系，拓展了椭圆的定义，最终完善椭圆的概念域。

3概念教学策略

3.1创新概念引入形式，更新CPFS结构

针对学生在概念学习阶段重视不够、兴趣不高的问题，教师应该创新概念的引入形式，多一些情境化、生活化和活动化的手段，根据不同数学概念的特点，寻找最合适的概念引入形式。新概念没有完全形成以前，教师应让学生作为学习的主体，让学生在教师的引导下主动对新概念进行探索，引导学生从已有概念中生长出新的概念［6］。利用学生数学史料或数学名人的故事激发大家的学习兴趣和学习热情，通过熟悉新概念的由来经过，减少对新概念的陌生感。通过新颖的概念引入方式，可以有效引入新概念，在原有的CPFS结构中生长出新概念，建立起新、旧概念之间的联系。

3.2拓展概念教学方法，改进CPFS结构

概念教学应在学生大脑中形成一个有逻辑连接的整体，而不是零散地存在于学生头脑之中。为此，教师应该采用多样性教学方法，包括正反例教学或概念变式教学、问题链教学等，对新概念的表征形式进行揭示。例如，通过构造和分层操作变式，为学生CPFS结构生长提供有层次的台阶；利用活动变式，可帮助学生明晰概念间的联系；利用题组变式，初步构建概念网络；利用结构变化，深化概念网络层次［7］。另外，考虑学生群体之间的认知差异，进行分层教学，依据学习水平对学生分层，制定不同的教学方法让不同层次的学生都能完善自己的认知结构。此外，针对传统教学方式中重结果应用、轻过程理解、强知识灌输、弱能力培养的问题，可以通过问题链教学，通过不断的课堂提问，激发师生课堂互动，增强学生课堂学习的参与度，促进学生概念体系的构建。

3.3强化概念总结应用，巩固CPFS结构

学生学习新概念后，建立的只是对新概念本身的理解，对于新概念与已有概念之间的联系了解还较少，如果不注意及时总结和应用，那么初步建立的认知结构将得不到巩固。对此，教师应强化概念的解题应用，通过多种解题方法，探索新概念与脑海中现有CPFS结构知识网络的联系，有意识地引导学生从多角度、全方位地去分析思考问题。一题多解既联系了知识网络中的各个概念，也联系了CPFS结构中相关的概念域、概念系。同时，教师应引导学生及时进行阶段性总结，每学习一些新的概念，把它们及时纳入自己的CPFS结构。应培养学生反思的习惯，经常性地对概念不牢固的地方查漏补缺，包括学习中遇到的障碍、数学思想方法等。通过自我反思和总结应用，将所有相关的知识概念串联起来，使CPFS结构更加紧密。

3.4注重概念体系构建，完善CPFS结构

在概念学习与解题练习后的初始阶段，大部分学生构建的CPFS结构还缺乏有序性、整体性。对此，教师要重视引导学生对概念进行有意识的整理，将所学的概念知识不断固化到已有的CPFS结构中，让学生不断扩充自身已有的CPFS结构，使其处于稳固的状态。忽视了这一环节，容易造成学生所习得的新知识无法与旧知识建立比较完善合理的知识体系，从而使新旧知识无法形成一个整体［8］。另外，教师应该帮助学生对所学内容进行系统性的总结归纳，通过思维导图、流程图等手段，对相近章节概念梳理，理清概念系、命题系内部的抽象关系，引导学生自己绘制出CPFS结构图或知识网络图并改进完善，最终对概念体系有整体认识。

参考文献：

［1］鲍建生，黄荣金，易凌峰，等.变式教学研究［J］.数学教学，2003，1：1112.

［2］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］喻平，单墫.数学学习心理的CPFS结构理论［J］.数学教育学报，2003，12（1）：1216.

［4］李渺.试论个体CPFS结构与数学理解的关系［J］.数学教育学报，2006，15（4）：2932.

［5］闫晓芳，陈颂.如何在数学概念教学中完善学生的CPFS结构［J］.新校园：上旬，2016，8：112.

［6］鲍红梅，喻平.完善中学生CPFS结构的生长教学策略研究［J］.数学教育学报，2006，1：4549.

［7］金莹.CPFS结构与变式教学融合下数学概念教学研究：以人教版B版第三章函数为例［J］.大连：辽宁师范大学，2023.

［8］张莉.CPFS结构在圆锥曲线教学中的应用研究［D］.福州：福建师范大学，2022.

作者简介：罗柳（1995—），女，汉族，江西吉安人，硕士研究生，研究方向：数学学科教育。