特殊四边形专题原创题

1. 如图1，已知矩形ABCD，AD = [3]，点E是射线AB上一动点，点F，G在直线CD上，点E运动过程中始终满足EF = EG，∠FEG = 120°，射线FE与直线CB交于点P，延长EG到Q使GQ = FP，连接PQ交直线CD于点M，当GM = 1时，CG = .

2. 如图2，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（4，3），C（4，0）. 动点Q从点O出发，以每秒5个单位长度的速度沿射线OC方向运动；动点P从点A同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB方向运动. 设运动的时间为t秒，点O关于直线PQ的对称点为M，当点M落到直线BC上时，t = .

3. 如图3，已知矩形ABCD中，AB = 6，BC = 5，点E是边CD上一动点，连接EA，将线段EA绕点E沿逆时针方向旋转90°至EF，点A的对应点是点F，当△FBC是直角三角形时，S△ADF = .

答案：1. 2或4. 分两种情况.

（1）当点E在线段AB上时，如图4，过点P作PH [⫽] EG，交直线CD于点H，易证FP = PH，△PHM ≌ △QGM，GM = HM = 1，由题易求FG = 6，FH = 8，∴CH = 4，∴CG = 4 - 2 = 2. （2）当点E在线段AB的延长线上时，如图5，过点P作PH [⫽] EG，交直线CD于点H，易证FP = PH，△PHM ≌ △QGM，GM = HM = 1，由题易求FG = 6，FH = 4，∴CH = 2，∴CG = 2 + 2 = 4.

2. 0.5或2.

延长QP交y轴于点D，作矩形DOCN，则△DAP∽△DOQ，所以[DADO] = [APOQ] = [25]，所以D（0，5），N（4，5），所以DN = 4. （1）当点Q在线段OC上时，如图6，DM = 5. 在Rt△DMN中，由勾股定理得MN = 3，CM = 2. 在Rt△QCM中，由勾股定理得QM = 2.5，则OQ = 2.5，所以t = [2.55] = 0.5. （2）当点Q在线段OC的延长线上时，如图7，DM = 5. 在Rt△DMN中，由勾股定理得MN = 3，CM = 8. 在Rt△QCM中，由勾股定理得QM = 10，则OQ = 10，所以t = [105] = 2.

3. [252]或25或[1358-5418]或[1358+5418].

（1）当∠FCB = 90°时，此时点F落在CD上，点E与点D重合，图略. 由旋转性质可知AE = EF = AD = 5，所以S△ADF = [252].

（2）当∠FBC = 90°时，此时点F落在直线AB上，如图8，过点E作EG [⊥] [AF]于点G. 由旋转性质可知，AE = EF，∠AEF = 90°，AG = FG，则AF = 2EG = 10，所以S△ADF = 25.

（3）当∠BFC = 90°时，过点 F 作 FP [⊥] DC，交DC延长线于点P，交AB延长线于点 Q，如图9，则FQ [⊥] AB. 设CP = x，根据题意可知△ADE ≌△EPF，则AD = EP = 5，所以CE = 5 - x，DE = PF = x + 1，BQ = CP = x，FQ = 4 - x，根据题意可知△CPF∽△FQB，则[x4-x] = [x+1x]，解得[x1=34-414]，[x2=34+414]，所以S△ADF = [1358] - [5418]或[1358] + [5418].

（作者单位：沈阳市南昌初级中学）