巧改题深思考，结构化建模型

“鸡兔同笼”不仅是我国古代的数学名题，还是我国古代人民智慧的体现。这个问题最早出现在距今1500年前的《孙子算经》，这一内容被选入人民教育出版社小学数学教材四年级下册第九章“数学广角”。它描述了这样一个情境：一个笼子里有若干只鸡和兔，通过头和脚的总数量来求鸡和兔子各有多少只？这个问题的解法很多，笔者基于深度学习和结构化的思考，让学生通过“改题”进行深度思考，通过结构化的方式进行数学建模，深切地感受到学生积极动脑进行深度思考的魅力，以及应用结构化进行建模的优势。希望我的尝试能够引发一线教师对深度学习和结构化教学的思考。

一、巧改题，促深思

教科书先呈现《孙子算经》中的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”接着提示我们用“化繁为简”的方法：把头变成了8个，脚变成了26只，问鸡兔各有几只？当这道题把数量变小后，学生们还是不知道如何解决这个问题。此时，教师通过以下几个问题引导学生们发现这个问题的特殊之处：①读了“鸡兔同笼”的问题，你有什么感到疑惑的地方吗？学生们没有反应。②你们养过猫或者狗吗？刚才还莫名其妙的学生们一下活跃起来了，他们纷纷讲述自己养的宠物。③你们有同时养两种动物的吗？它们会有几个窝？为什么不能住一个窝？此时学生们就津津有味地分享：猫和狗是两种不同的动物，住在一起会打架。此时引导学生发现“鸡兔同笼”的特殊之处在于：把两个品种的动物放在了一起，而在实际生活中这种现象一般不存在，这样就自然而然地发出感叹：要是只有一个品种就好了！接着教师再引导学生们：“鸡兔同笼”到底要研究什么样的问题？又应该如何解决呢？在这样真实的教学情境中，教师一步步把学生引向深度学习。

此时教师继续引导：如果允许改变题目，你觉得怎么改变就能很容易地解决问题？同学们愣住了，于是教师指着刚才的感叹——要是只有一种品种就好了！于是学生们想到：如果笼子里只有一种动物——鸡或者兔，就能根据8个头求出脚一共有几只？即：如果都是鸡，一共有16只脚；如果都是兔，一共有32只脚。此时，同学们再次体会到“如果只有一个品种就好算了”，这个认识非常重要！

以上的教学过程直面真实的问题情境，调动学生的生活经验，激发学生的学习兴趣；通过不断的质疑，教师引导学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心地参与体验，这就是开展深度学习的良好开端。

二、结构化，建模型

为了继续引导学生进行深度思考，采用结构化来进行学习，即尝试寻找方法、对比沟通联系、深思建立模型、综合发展素养。

（一）尝试寻找方法

学生们带着质疑研读题目：“鸡兔同笼共有8个头，26只脚，问鸡、兔各有几只？”教师引导学生尝试用数形结合，思考怎么画？怎么添脚？学生们先各自尝试再讨论方法：画出8个圆代表8个动物，可以把2个品种的动物都看成一种品种——鸡，把每个动物都添上两只脚（如右图），再重点思考：每只鸡添了2只脚，共有多少只？剩余多少只？为什么会剩？此时学生发现：把8只动物都看成了鸡，脚只有16只，少了10只脚；需要把每只假设成鸡的动物添上2只脚，就变成兔子，一共要变5次！所以兔子有5只，鸡有3只。接着让学生试着在画图的基础上用数学语言来表达，就是假设法的解题过程，如下：

假设全是鸡：脚的总数为：8×2=16（只），与实际相差：26-16=10（只），

每只兔子少算了几只脚？4-2=2（只），兔子的数量：10÷2=5（只），

鸡的数量：8-5=3（只）。

当弄清楚假设全是“鸡”的方法后，再假设全是兔求解！接着还原《孙子算经》中的“35头，94足”，学生们迎刃而解！此时，他们经历了尝试画图、探索方法、总结算法的过程，这样就进行了知识体系的建构，是深度学习的环节之一。同时这个过程的思考方法和第一个环节“巧改题促思考”的基础是相同的：都是把所有的动物看成一个品种，找出相差量再调换找出正确的结果。这样学生们在解决“鸡兔同笼”时就形成了一个完整的思维结构。

（二）对比沟通联系

仅仅研究假设法还不足以丰富“鸡兔同笼”的解题方法，于是引导学生们边填表边思考讨论：列表法是什么方法？通过讨论同学们发现：表格中是分别假设鸡有几只？兔有几只？再依次计算脚一共有多少只，从而找出正确答案。而且表格的第一列和最后一列就是刚才假设全是鸡或全是兔的两种方法。此时，学生们豁然开朗：原来列表法依然是建立在假设的基础之上！

在这一过程中，学生们通过计算、对比，沟通了教科书上看似不同的两种方法，其实都是建立在“假设”的基础之上的。这样知识的机构化就进一步得到了深化，而且学生们的学习投入程度很高，思维层次也得到了提升，这便使深度学习加强了。

（三）深思建立模型

当呈现了以上两种方法后，教师便带着学生们回到开课时提出的问题：“鸡兔同笼”到底是研究什么问题呢？学生们展开讨论，教师适时提示：如果只有一个品种，那头数就是“份数”，每只鸡的腿数或兔的腿数都是“每份数”，“每份数”和“份数”都只有一个，总共有几条腿就是腿的“总数”。而“鸡兔同笼”是有两个份数、两个每份数，合并成一个总数的问题。我们需要借助假设法，把两个不同的品种分开，分别计算出它们的数量。这两种看似不同的方法，其实都是基于假设的基础之上的，只不过列式计算的方法是假设全是一个品种，寻找相差量再求解；列表是分别假设两个品种各有几个，依次计算寻找符合题意的一组。相比之下，假设全是一个品种的方法更简明。

在这一过程中，学生们在教师的引导下深挖到数量关系这一层，体会到了“鸡兔同笼”问题背后的数量关系，对“鸡兔同笼”的结构化就更深了一层。而且在整个学习过程中，学生们的学习投入程度很高，在分析、理解的基础上进一步深入了，深度学习的程度加强了，思维层次再一次得到了提升。

（四）综合发展素养

当学生们经历了尝试寻找方法、对比沟通联系、深思建立模型这三个阶段后，教科书上紧接着出现了各种各样的练习题，有“自行车和三轮车”“大、小两种钢珠”“租大船和小船”……为了发展学生的核心素养，还需要进行再一次的深度思考：①这些题目中既没有鸡，也没有兔，那还属于“鸡兔同笼”问题吗？②应该如何解决这些问题呢？

此时让学生们展开全班讨论并总结：①看似没有鸡和兔，但是都包含了两个品种，分别有两个每份数和份数，所以属于“鸡兔同笼”问题。②采用假设法求解。通过上面的沟通，同学们对“鸡兔同笼”的本质已经能透彻的理解，知识的结构化逐渐形成，“鸡兔同笼”假设法的解题模型也形成了。

在这次结构化的学习过程中，学生们积极参与、主动思索、质疑，面对一个个真实的问题，开展一次次激烈的思考讨论，不仅培养了学生的逻辑推理能力，还进行了深度学习。通过结构化的方式建立了数学模型，学生的建模意识也得到了培养。这样的学习不仅调动了学生的学习积极性，还培养了他们的数学核心素养，可谓是一箭双雕！