一道解析几何模考题的推广研究

1.问题的提出

典例 已知椭圆C：x26+y2b=1（b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，C是椭圆的中心，点M为椭圆C上的一点，且满足MF1·MF2=5，MC=2.

⑴求椭圆C的方程；

⑵设定点Tt，0，过点T的直线l交椭圆C于P，Q两点，若在椭圆C上存在一点A，使得直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为定值，求实数t的取值范围.

上述题目来自于长郡中学2024届高三年级第二次月考试卷压轴题，笔者将其作为所带高三年级培优班的练习题让学生课下思考，反馈结果不容乐观，很多学生虽然理清题目的思路，但是由于解答过程中所含变量过多，无法进行必要的化简整理. 教学过程中发现，很多优秀的学生并不是计算环节不熟练，而是运算目标不明确，导致其毫无章法地盲目进行机械运算. 鉴于此，本文在将上述典例进行推广的过程中通过引入更多的参数，从更一般的角度探讨关于数学运算的问题，旨在数学运算的培养与实施层面与读者进行交流探讨.

2.推广与论证

推广1 已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0），设定点Tt，0，过点T的直线l交椭圆E于P，Q两点，若在椭圆E上存在一点A，使得直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为定值λ，则t的取值范围是－∞，－a∪a，+∞，点A的坐标为a2t，±b1－a2t2，定值λ=2y0x0－t，其中x0=a2t，y0=±b1－a2t2.

证明：设Ax0，y0，Px1，y1，Qx2，y2，直线l的方程为x=my+t.由x2a2+y2b2=1，

x=my+t， 可得a2+b2m2y2+2mtb2y+b2t2－a2=0，故y1+y2=－2mtb2a2+b2m2，y1y2=b2t2－a2a2+b2m2，x1+x2=2ta2a2+b2m2，x1x2=a2t2－b2m2a2+b2m2，则kAP+kAQ=y1－y0x1－x0+y2－y0x2－x0=2y0－y1+y2〗x0－x1+x2y0－y1+y2t－2my1y2〗x20－x1+x2x0+x1x2=2x0y0b2m2+2x0t－a2b2m+2y0a2x0－tx20－a2b2m2+a2x0－t2.

若直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为定值，则满足下式：2x0t－a2b2=0，

2x0y0b2x20－a2b2=2y0a2x0－ta2x0－t2=2y0x0－t， 据题意，由x0∈－a，a，可得t∈－∞，－a∪a，+∞，点A的坐标为a2t，±b1－a2t2，定值λ=2y0x0－t，其中x0=a2t，y0=±b1－a2t2.

评注：结合典例可以看到，条件中只有a，b是已知量，而论证过程中除已有变量外，又引入了Ax0，y0，Px1，y1，Qx2，y2，以及直线l方程中的参数m等变量，那么在计算的过程中该如何处理这些变量？期望得到什么样的化简结果？又该如何化简？注意到，假设定点T确定了，那么直线会随着m的变化而变化，进而会影响P，Q两点的变化，因此，在计算的过程中，我们可以仅把参数m当做变元，其余的量均看作常数进行变形整理，也就是转化为以参数m为主元的表达式，这样化简整理的方向就明确了，虽然计算环节略微复杂，但是目标明确，变形整理也就更有针对性. 实际教学过程中，笔者也做了测试，借助共同探究使学生明晰运算的方向后，他们能进行合理运算也就是水到渠成的事了.

推广2 已知双曲线E：x2a2－y2b2=1（a>0，b>0），设定点Tt，0，过点T的直线l交双曲线E于P，Q两点，若在双曲线E上存在一点A，使得直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为定值λ，则t的取值范围是t∈－a，0∪0，a，点A的坐标为a2t，±ba2t2－1，定值λ=2y0x0－t，其中x0=a2t，y0=±ba2t2－1.

推广3 已知抛物线E：y2=2px（p>0），设定点Tt，0，过点T的直线l交抛物线E于P，Q两点，若在抛物线E上存在一点A，使得直线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为定值λ，则t的取值范围是－∞，0，点A的坐标为－t，±－2pt，定值λ=2y0x0－t，其中x0=－t，y0=±－2pt.

上述推广证明类同推广1，此略.

推广4 过圆锥曲线Ax2+By2=1上一点Px0，y0作直线PM，PN分别交曲线于M，N两点，若直线PM的斜率与直线PN的斜率之积为定值λ，则直线MN过定点QA+BλBλ－Ax0，－A+BλBλ－Ay0. 特别地，若λ=－AB，定点Q为坐标原点，此时M，N两点关于原点对称.

证明：令Mx1，y1，Nx2，y2，则直线PM的斜率kPM=y1－y0x1－x0，直线PN的斜率kPN=y2－y0x2－x0. 令x′=x－x0，

y′=y－y0， 则kPM = y1 x1 ，kPN = y2 x2 ，圆锥曲线的方程即为Ax′+x02+By′+y02=1，整理可得Ax′2+By′2+2Ax0x′+By0y′=0，设直线MN的方程为mx′+ny′=1，则Ax′2+By′2+2Ax0x′+By0y′·mx′+ny′=0，整理可得B+2By0n·y′x′2+2Ax0n+By0m·y′x′+A+2Ax0m=0. 由kPM·kPN=λ，可知A+2Ax0mB+2By0n=λ，整理可得2Ax0m－2By0nλ=Bλ－A，据题意Bλ－A≠0，由此可知2Ax0Bλ－Am－2By0λBλ－An=1.由x = x' + x0 = 2Ax0 Bλ-A + x0 = A + BλBλ-Ax0 ，y = y' + y0 = -2By0 λBλ-A + y0 = -A + BλBλ-Ay0 ，可得直线MN过定点A+BλBλ－Ax0，－A+BλBλ－Ay0.特别地，当λ=－AB时，等式2Ax0m－2By0nλ=Bλ－A即为mx0+ny0=－1，则直线MN过定点0，0.

评注：上面给出的论证方法不同于传统的解答，通过构造经过M，N两点的曲线系，结合齐次化整理，得到以两直线斜率为根的二次方程，进而得到定点坐标. 这种计算方法的优点是能简化运算，缺点是思维量较大，需要较多知识模块的融合. 教学过程中引入多角度解决问题的目的是能够帮助学生开拓思路，熟悉各种运算的优缺点及适用条件，为运算能力的提升打下坚实的基础.

类似地，我们也可以将上述结论推广至抛物线.

推广5 过抛物线y2=2px（p>0）上一点Ax0，y0作直线AM，AN分别交抛物线于M，N两点，若直线AM的斜率与直线AN的斜率之积为定值λ，则直线MN过定点x0－2pλ，－y0.

3.教学思考

解析几何问题求解需更高的数学运算能力，在培养学生的数学运算能力的过程中，要兼顾算理和算法，知其然也要知其所以然，同时，在做算法层面的教学时，尽可能挖掘多样化的算法，以培养学生的数学运算与数学思维的发散性与灵活性，在学生得到多样化算法的基础上，需引导他们进一步分析算法之间的区别与联系，并进行适当的优化. 运算能力的提升也是一个缓慢的过程，需要教师在日常教学过程中慢慢引导与培育.