一道三市质检导数题的解法探究及试题溯源

《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）第83页中强调：教师要加强学习方法指导，帮助学生养成良好的数学学习习惯，敢于质疑、善于思考、理解概念、把握本质，数形结合、明晰算理，厘清知识的来龙去脉，建立知识之间的关联.在一题多解中可以培养学生运算思辨的观念，优化运算的策略，从而提升学生的逻辑推理、数学运算等数学核心素养.

1.试题呈现

（2024年榆林、安康、商洛三市质检题）设函数f（x）=lnx+ax+b，曲线y=f（x）在点1，f1处的切线方程为y=6x－3.

（1）求a，b;

（2）证明：f（x）>－35x.

2.解法探究

2.1 第一问解法

解析：函数f（x）的定义域为（0，+∞）.f′（x）=1x+a.由题意可得f1=6×1－3=3，f′1=6.故a+b=3，1+a=6，解得a=5，b=－2.

评注：第一问考察导数的几何意义，面向大部分考生，符合低起点的命题要求，突出基础性要求.

2.2 第二问解法

方法一：（凹凸反转）由（1）知f（x）=lnx+5x－2，要证f（x）>－35x，只需证xlnx>－5x2+2x－35，x>0.设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，令g′（x）=0，解得x=1e，当x∈0，1e时，g′（x）<0;当x∈1e，+∞时，g′（x）>0.故g（x）在0，1e上单调递减，在1e，+∞上单调递增，从而g（x）在0，+∞上的最小值为g1e=－1e，g（x）≥－1e.设函数h（x）=－5x2+2x－35=－5x－152－25，从而h（x）在0，+∞上的最大值为h15=－25，h（x）≤－25，因为－25<－1e，所以g（x）>h（x），即f（x）>－35x.

评注：将原不等式变形为g（x）>h（x），并且g（x）min>h（x）max，进而证明了原不等式，其中g（x）为凸函数，h（x）为凹函数.

方法二：（切线放缩+基本不等式）易证lnx≤x－1，x>0，（当且仅当x=1时取等号），因此ln1ex≤1ex－1，即lnx≥－1ex，当x=1e时取等号，要证明f（x）>－35x，只需证g（x）=lnx+5x－2+35x>0，（ ）因为g（x）≥－1ex+25x+5x+15x－2≥2e－55ex+25x·15x－2=2e－55ex>0，所以（ ）式成立，故原命题成立.

评注：利用切线不等式对原不等式进行放缩，结合基本不等式证明了原不等式，这里构造出的式子5x+15x－2至关重要，利用基本不等式可知该式最小值为0，要求学生熟记常见切线不等式.

方法三：（基本不等式）要证明f（x）>－35x，只需证g（x）=lnx+5x－2+35x>0，（ ）g（x）=lnx+25x+（5x+15x－2）≥lnx+25x+25x·15x－2=lnx+25x，令h（x）=lnx+25x，x>0，h′（x）=1x－25x2=5x－25x2，当x∈0，25时，h′（x）<0;当x∈25，+∞时，h′（x）>0，故函数h（x）在0，25上单调递减，在25，+∞上单调递增，h（x）min=g（25）=ln25+1=lne－ln2.5>0，因此h（x）≥h（x）min>0，g（x）>0，（ ）式成立，故原命题成立.

评注：受方法二启示，利用基本不等式将原不等式进行放缩，再利用导数证明了g（x）>0，进而证明了原不等式.

解法四：（最值法）设g（x）=lnx+5x－2+35x，x>0，g′（x）=1x+5－35x2=25x2+5x－35x2，令g′（x）=0，得x1=13－110>3.5－110=14，当0<x<x1时，g'（x）<0;当x>x1时，g'（x）>0，因此g（x）在（0，x1）上单调递减，在（x1，+∞）上单调递减，因此g（x）min=g（x1）=lnx1+5x1+35x1－2=lnx1+13－2>ln14+3.5－2=32－ln4=lne3－ln162>0，g（x）≥g（x）min>0，故f（x）>－35x.

评注：构造差函数，直接转化为证明g（x）的最小值大于零，证明过程中用到了数值放缩，对13进行估算，进而证明了原不等式.

解法五：（异构①）要证明f（x）>－35x，只需证g（x）=lnx+5x－2+35x>0，（ ）由方法二知lnx≥－1ex，当x=1e时取等号，g（x）=（lnx+1ex）+（－1ex+25x）+（5x+15x－2）=（lnx+1ex）+2e－55ex+（5x+15x－2），因为lnx+1ex≥0，当且仅当x=1e时取等号，2e－55ex>0，5x+15x－2≥25x·15x－2=0，当且仅当x=15时取等号，因此g（x）>0恒成立，（ ）式成立，故原命题成立.

评注：利用切线不等式将原不等式变形为3个非负函数的和，进而证明了原不等式，这样的方法称为异构法，文①中详解给出了出异构法在不等式证明、不等式恒成立求参数范围、函数零点问题中的应用.

3.试题溯源

这道题源于2014年全国Ⅰ卷第21题，设函数f（x）=aexlnx+bex－1x，曲线y=f（x）在点1，f（1）处的切线方程为y=ex－1+2.（1）求a，b;（2）证明f（x）>1.这道题的第二问，可以利用凸凹反转、同构、放缩、隐零点法解答.

4.结语

利用多种视角探究问题，培养了学生的发散思维能力和创新精神，提高了学生的解题能力，老师们应重视学生知识结构的建构，加强学生“一题多解、多题一解”的训练，夯实学生基本技能和基本方法，提升学生的数学学科素养，希望本文对读者的学习有一定的启发作用.

参考文献

［1］郭蒙，薛小强.秉通法 悟通性 提升学科素养——以异构法在高考导数压轴题中的应用为例［J］.中学数学教学，2023（06）44-48.