一道高三导数质检试题的探究

2024年1月，福建省部分地市进行了联考，其中第21题的导数解答题引起笔者的关注，本文对其解法及结论进行探究，与同仁交流.

1.试题呈现

已知函数f（x）=alnx－x－1x+1有两个极值点x1，x2.（1）求实数a的取值范围；（2）证明：f（x1）－f（x2）x1－x2>a－2a2a－1.

本题题干简洁，但考查的知识与方法全面.考查导数及其应用、函数的单调性、不等式的证明等基础知识；考查运算求解能力、逻辑思维能力和创新能力等；考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想；导向对发展数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现综合性与创新性.

2.试题探源

本题的试题结构及求解方法与2018年全国Ⅰ卷理科数学第21题（已知函数f（x）=1x－x+alnx.（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f（x1）－f（x2）x1－x2<a－2.）极为类似，可猜测篇首试题的题源是上述高考真题.

3.解法赏析

下面给出问题（2）的两个解法，其中解法一来自参考答案.

解法一：由（1）知0<a<12，且x1+x2=2（1－a）a，x1x2=1，设0<x1<1<x2，化简得

f（x1）－f（x2）x1－x2=alnx1－x1－1x1+1－alnx2+x2－1x2+1x1－x2=a（lnx1－lnx2）－2（x1－x2）（x1+1）（x2+1）x1－x2

=a（lnx1－lnx2）x1－x2－22+2（1－a）a=a（lnx1－lnx2）x1－x2－a，

欲证f（x1）－f（x2）x1－x2>a－2a2a－1，只需证明lnx1－lnx2x1－x2－1>1－2aa－1，只需证lnx1－lnx2x1－x2>a1－a，只需证lnx1－lnx2x1－x2>2x1+x2，只需证12lnx1x2<x1x2－1x1x2+1.令t=x1x2（0<t<1），只需证12lnt<t－1t+1.

由（1）知，当a=12时，ax2+2（a－1）x+a=12（x－1）2≥0，即f′（x）≥0，所以f（x）=12lnx－x－1x+1在（0，+∞）上单调递增，则当t∈（0，1），有f（t）<f（1）=0，即12lnt<t－1t+1，所以f（x1）－f（x2）x1－x2>a－2a2a－1.

评析：本题求解的关键在于验证不等式lnx1－lnx2x1－x2>2x1+x2，即x1－x2lnx1－lnx2<x1+x22（对数平均数不大于算术平均数），此不等式在双变量不等式证明中经常能够见到，由此亦能管窥命题者的命题手法.

解注二：设0<x1<1<x2，由解法一得f（x1）－f（x2）x1－x2>a－2a2a－1lnx1－lnx2x1－x2>2x1+x2，由于x1x2=1，则lnx1－lnx2x1－x2>2x1+x2lnx1－ln1x1x1－1x1>2x1+1x1lnx1x21－1>1x21+1lnx1<x21－1x21+1，

令t=x21（0<t<1），则lnx1<x21－1x21+112lnt<t－1t+1，同于解析一，可证12lnt<t－1t+1，故f（x1）－f（x2）x1－x2>a－2a2a－1.

评析：上述求解过程看似与解析一没有太大区别，但在求解过程中，关注到x1，x2之间的倒数关系（解析一在验证lnx1－lnx2x1－x2>2x1+x2的过程中，并没有利用到x1x2=1），故能够验证难度更大的不等式，沿用此法，笔者验证了如下更强的不等式.

4.拓展延伸

笔者发现如下双边不等式成立.

定理 设函数f（x）=alnx－x－1x+1有两个极值点x1，x2，则a（2a－1）<f（x1）－f（x2）x1－x2<23a（2a－1）.（1）

证明：由解法一有f（x1）－f（x2）x1－x2=a（lnx1－lnx2）x1－x2－a.由（1）知0<a<12，且x1+x2=2（1－a）a，x1x2=1，从而a=2x1+x2+2，x2=1x1，设0<x1<1<x2.

式（1）左端不等式lnx1－lnx2x1－x2>2alnx1－ln1x1x1－1x1>4x1+1x1+2lnx1x21－1>2（x1+1）2，要证f（x1）－f（x2）x1－x2>a（2a－1），只需证lnx1x21－1>2（x1+1）2，只需证12lnx1<x1－1x1+1，此不等式在解法一中已验证.

式（1）右端不等式lnx1－lnx2x1－x2<4a+13lnx1－ln1x1x1－1x1<83（x1+1x1+2）+13，故要证f（x1）－f（x2）x1－x2<23a（2a－1），只需证2x1lnx1x1－1<x21+10x1+13（x1+1），只需证lnx1>（x1－1）（x21+10x1+1）6x1（x1+1）.令g（t）=lnt－（t－1）（t2+10t+1）6t（t+1）（0<t<1），则

g′（t）=1t－t4+2t3+18t2+2t+16t2（t+1）2=－（t－1）46t2（t+1）2<0，

所以g（t）在区间（0，1）内单调递减，得g（t）>g（1）=0，从而lnx1>（x1－1）（x21+10x1+1）6x1（x1+1）成立，得证f（x1）－f（x2）x1－x2<23a（2a－1）.

综上，定理成立.

评析：由0<a<12可得a（2a－1）－a－2a2a－1=a2（2a－1）a－1>0，故式（1）左端不等式不论在形式简洁上，还是在不等式的强度上，均较原题问题（2）中不等式更优.