从课本习题到一组优美结论

1.提出问题

普通高中教科书数学必修第二册习题8.3 综合应用第8题是：

分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积之间有什么关系？

该题也是普通高中课程标准实验教科书数学必修2习题1.3B组第3题.对于该题，体积的计算不是难点，但是在探究几何体的体积之间有什么关系时不知如何推进，这里的关系是指大小关系还是等量关系，带着这个疑问，笔者进行了探究.

本文中，设△ABC的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，边a，b，c上的高分别为ha，hb，hc，△ABC的面积为S，该三角形绕着三条边a，b，c旋转一周所得几何体的体积分别为Va，Vb，Vc.

2.一种代换

定理 在△ABC中，aVa=bVb=cVc.即三角形中成立的任何一个边角关系中，将a，b，c作代换1Va，1Vb，1Vc（即（a，b，c）→（1Va，1Vb，1Vc）），结论成立.

证明：①当△ABC为直角三角形时，如图1所示，不妨设∠C=90°，

则Va=13πb2a=4πS23a，Vb=13πa2b=4πS23b，

Vc=13πh2cAD+13πh2cBD=13πh2cc=4πS23c.

②当△ABC为锐角三角形时，如图2所示，

则Va=13πh2aBD+13πh2aCD=13πh2ca=4πS23a，

同理可得Vb=4πS23b，Vc=4πS23c.

当△ABC为钝角三角形时，类似可得结论成立

综上，对任意△ABC，均有Va=4πS23a，Vb=4πS23b，Vc=4πS23c，于是aVa=bVb=cVc.

注：Va，Vb，Vc与三边成反比，即在任意△ABC中，边越大，以它为轴旋转形成的几何体的体积越小.

3.一组优美结论

定理2 （余弦定理）在△ABC中，有1V2a=1V2b+1V2c－21Vb·1VccosA，1V2b=1V2c+1V2a－21Vc·1VacosB，1V2c=1V2a+1V2b－21Va·1VbcosC.

证明：设aVa=bVb=cVc=t，则a=tVa，b=tVb，c=tVc，

代入余弦定理a2=b2+c2－2bccosA，得（tVa）2=（tVb）2+（tVc）2－2·tVb·tVccosA，

所以1V2a=1V2b+1V2c－21Vb·1VccosA，类似可得另外两式.

推论 （勾股定理）在△ABC中，若∠A=90°，则1V2a=1V2b+1V2c.

定理3 （正弦定理）在△ABC中，有1VasinA=1VbsinB=1VcsinC.

证明：设aVa=bVb=cVc=t，则a=tVa，b=tVb，c=tVc，

代入正弦定理asinA=bsinB=csinC，得tVasinA=tVbsinB=tVcsinC，故1VasinA=1VbsinB=1VcsinC.

定理4 （射影定理）在△ABC中，有1Va=1VbcosC+1VccosB，1Vb=1VccosA+1VacosC，

1Vc=1VacosB+1VbcosA.

证明：设aVa=bVb=cVc=t，则a=tVa，b=tVb，c=tVc，

代入射影定理a=bcosC+ccosB，得tVa=tVbcosC+tVccosB，所以1Va=1VbcosC+1VccosB，

类似可得另外两式.

评注：以上定理和推论可以看作是余弦定理、勾股定理、正弦定理、射影定理在立体几何中的推广，形式优美.

根据定理1，结合三角形中的其他的一些已有不等式亦可以获得一些有趣的结论.本文不再赘述.除了探讨旋转几何体的体积关系，也可以探究旋转体的表面积关系，留给有兴趣的读者探究.