聚焦一般观念教学 经历定理生成过程

爱因斯坦说过：“科学结论几乎是以完成的形式出现在读者面前，读者体会不到探索和发现的喜悦，感受不到思想形成的生动过程，也很难达到清楚地解释全部情况．”《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称为“新课标”）明确指出：教学活动应注重启发式，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题；促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，体会和应用数学的思想与方法，获得数学的基本活动经验．但在实际初中数学教学中，教师往往怕耗费时间，不重视定理的形成过程，直接指出结论．殊不知，正是在定理研究的过程中，学生积极思考、探寻定理产生的本源，从而体验了探究的乐趣，激发了学习的积极性，积累了数学基本活动经验．

章建跃强调“数学的一般观念，就是隐藏在具体数学知识背后的数学思想方法．”这启示着，定理教学需要教师基于一般观念，从学生的认知、已有经验出发，模拟科学研究的一般规律和方法进行设计．本文以人教版《义务教育教科书数学》“24.1.4圆周角”教学为例阐释笔者的认识与实践，期待抛砖引玉．

1 教学实践与探索

在数学定理教学活动中，要引导学生了解定理的来龙去脉，不但要知其然，更要知其所以然．经历定理的形成过程，帮助学生构建知识体系，学会思考、探索解决问题的方法，发展学科关键能力，学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界．

环节1 基于空间形式引入圆周角概念

（1）设计思考1．

在本节课之前，学生已经学习了一种与圆有关的角——圆心角．从一般观念出发，角的元素有角的顶点和角的边，而圆心角的特征是顶点在圆心，自然就会提出若角的顶点在圆周上又如何？

（2）教学活动．

问题1 ①如图1，∠AOB是____，它有什么特征？

②从空间形式上，对于“角”和“圆”，我们通常会关注什么？

学生活动思考并回答．

追问1 若从角的顶点出发，你能提出其它与圆有关的角吗？

生1 角的顶点在圆上．

师 很好！这是一种有意义的角，我们有必要探索一下．

问题2 角的顶点在圆上，动手画一画，你能画出多少个？

生2 无数个．

教师引导 若再考虑角的两条边，你能对这无数个角进行分类吗？分类的标准是什么？

学生活动思考并回答．

师生活动 学生通过观察，并发现这些角可按以下标准进行分类．

分类标准角的边是否与圆相交．

三类 （如图2）①两条边都与圆相交；②一条边与圆相交，另一条边不与圆相交；③ANBYedwWoynZhmpBtn8bkg==两条边都不与圆相交．

接着，教师引导学生规范地描述第①类角，引出研究对象——圆周角及它的定义：像这样，顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．

简析 基于空间形式，通过由圆心角顶点的特殊位置考虑产生新的角，并进行分类，明确圆周角与圆心角都是与圆有关的角，且都是与圆有关的位置特殊的角，让学生感悟到研究圆周角的必要性和价值．

环节2 从一般到特殊，经历定理的生成过程

（1）设计思考2．

新课标指出：数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系．因为圆心角和圆周角的两条边都与圆相交，所以用“一条弧”架起了圆心角与圆周角的桥梁，进而研究它们的数量关系，让学生经历定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．”的生成过程．

（2）教学活动．

问题3 圆心角和圆周角都是与圆有关的角，那么它们之间会有关系吗？

学生活动 思考并回答，如果圆心角与圆周角对着同一条弧，那么它们就有关系了．

教师引导 这个发现很有价值．圆心角有无数个，圆周角也有无数个，由于圆心角和圆周角都对着同一条弧，这样就把圆周角和圆心角联系起来了，得到研究对象．对着同一条弧是它们的位置关系，那么圆周角和圆心角在数量上会有关系吗？

追问2 基于已有的学习经验，接下来我们应该如何研究它们之间的数量关系呢？我们研究几何中的数量关系通常采用什么方法？

生2 画图后，观察、测量、猜想、验证．

生 画出图形（如图3），动手进行测量（表1），提出猜想．

猜想 ∠BAC=∠BDC=∠BEC=∠BFC=∠BGC=…=1/2∠BOC．

追问3 这个猜想实际上有几个结论？

问题4 你能用语言来描述你的猜想吗？

师生归纳得出命题①同弧所对的圆周角相等；②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

教师使用几何画板做进一步演示与验证，引导学生在动态环境中直观感受上述问题的答案．

环节3 从特殊到一般，经历定义的论证

（1）设计思考3．

新课标指出：初步掌握推理的基本形式和规则：对一些简单的问题，能通过特殊结果推断一般结论；理解命题的结构与联系，探索并表示论证过程；感悟数学的严谨性，初步形成逻辑表达与交流的习惯．

（2）教学活动．

问题5 你能证明得到的猜想吗？你想如何证明？

学生发现只要证明猜想②就可以推出猜想①，从而确定只需要证明第②个命题．

问题6 如何证明一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半？

师生活动 一条弧所对的圆心角只有一个而圆周角有无数个．基于“特殊到一般”的数学思想，考虑对无数个圆周角进行分类，然后利用“特殊”为切入口，找到了证明方法．

追问4 如何分类呢？

师生活动 圆心是点，圆周角是角，类比点与圆的位置关系，通过观察图形把这无数个圆周角也分成三类：①圆心在圆周角的一条边上（点在角上）；②圆心在圆周角的内部（点在角内）；③圆心在圆周角的外部（点在角外）．且发现第①种情况最特殊．

学生活动以小组为单位讨论交流，写出“已知、求证、证明过程．”

教师活动 巡察并实时点拨，发现学生都能对第①种特殊情况进行证明，并且大部分的学生都能利用转化的思想完成第②③种的证明．利用投影仪展示学生的证明过程并给予评价．

总结结论得到定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

问题7 一个定理往往会带来一些新的结论一一推论．那么由圆周角定理能得出什么推论呢？如何得出？

师生活动 推论往往是用特殊化的方法得出的，教师让学生按照这种思想方法，在课后尝试得到圆周角定理的推论并证明．

简析 新课标指出，数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系．圆周角与圆心角都是与圆有关的角，如果它们有特殊的位置关系“对着同一条弧”，那么它们在数量上是否存在某种关系，从而提出问题引入研究对象，接着寻找解决问题的路径与方法．

2 一般观念引领教学的思考

2.1 实践探究，深化数学育人价值

育人为本是教育的生命和灵魂，是教育的本质要求和价值诉求．数学在形成人的理性思维、科学精神的过程中发挥着至关重要的作用．

本节课的实践探究，调动了学生研究几何图形的已有经验，引导他们关注研究几何图形的套路，重视研究图形性质的方法，让学生体验研究几何图形的性质就是研究组成图形的元素之间的关系，学会用数学的眼光发现并提出问题，培养学生的问题意识；教师通过问题串调动了学生以往的学习经验，使以往学习的几何图形的研究思路和方法与圆周角的研究思路和方法融会贯通，让学生感悟“研究的对象千变万化，但研究的思路方法不变”，掌握整体研究几何图形的方法和途径，学会用数学的思维思考ZpCAxFu8gIviPBfHl8woQg==问题，发展数学学科核心素养．

2.2 经历体验，发展学生思维品质

传统的数学教学主要是知识教学，给孩子一些公式、法则、定理等，再告诉他们怎么样推导和应用，不重视过程，学生没有经历体验，学生的思维品质自然得不到发展．用类比的思想引入圆周角概念，让问题自然而然；关注数学的本质，让学生经历定理的生成过程，积累数学活动经验；在证明圆周角定理的过程中，通过运用“分类讨论”的数学思想，采取观察、猜想、类比、转化、验证等活动，培养了学生几何直观的能力、画图和识图能力、逻辑推理能力，思维的严谨性，尤其是培养学生分析和解决问题的能力．在定理的生成、推理证明的过程中，充分发挥学生的主体地位，学生在独立思考、合作碰撞中形成自我观点和认知，体验学习的乐趣，积累经验，培养思维的深刻性、严谨性、创造性和批判性，发展学生良好的思维品质．

本节课的教学实践表明，基于一般观念的定理教学，可以帮助学生避免碎片化学习，抓住知识之间的内在联系，注重迁移，应用一般观念研究新的问题，形成稳定的数学基本活动经验，实现数学育人价值．

参考文献

[1]中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2022年版）[S]．北京：北京师范大学出版社，2022

[2]宋璐佳．一般观念引领下的“圆周角”教学设计[J]．中国数学教育（初中版），2022（19）：44-49

[3]陈华忠．《义务教育数学课程标准（2022年版）》“新”在何处[J]．课程教材教学研究（小教研究），2022（Z4）：7-10

（本文系莆田市教育科学“十四五”规划2023年度课题“新课标”背景下初中生数学阅读能力培养的实践研究”（编号：PTJYKT23138）的研究成果）