基于矩阵补全的图像处理应用研究

［摘 要］近年来，矩阵补全在图像处理中的应用备受关注，其对推动图像处理技术的发展和应用具有重要的意义。文章分析了矩阵补全及其算法原理，概述了当前矩阵补全的应用及影响。详细阐述了图像处理中矩阵补全的应用，以图像高斯去噪为例，对建立数学模型、采用奇异值分解的矩阵补全去噪进行了设计，并通过试验进行了验证。最后对矩阵补全技术的改进与优化及案例进行了分析，以及对基于矩阵补全的图像处理应用进行了展望。

［关键词］矩阵补全；奇异值分解；图像去噪

［中图分类号］TP391.41 ［文献标志码］A ［文章编号］2095–6487（2024）05–0154–03

1 矩阵补全技术概述

1.1 矩阵补全及其算法原理

矩阵补全指从部分观测到的数据中，通过填补缺失数值回复完整的矩阵。矩阵补全算法包括基于奇异值分解、主成分分析等低秩模型的方法与基于L1 范数最小化、字典学习等稀疏标识模型的方法。其中奇异值分解是矩阵补全的最常用算法，其主要原理为假如给定1 个矩阵M，首先对其进行奇异值分解，将其分解为3 个矩阵的乘积，即M= U＼sigma V^T，其中U和V 是正交矩阵，Σ是对角矩阵。U 的列向量称为左奇异向量，V 的列向量被称为右奇异向量，Σ的对角元素被称为奇异值。在奇异值分解过程中，奇异值按大小进行排列，一般选择保留较大的奇异值，而将较小的奇异值设置为0，实现矩阵的低秩近似。然后根据保留的奇异值和相应的左右奇异向量相乘，重构原始矩阵M 的近似矩阵M1。在重构M1 过程中，对于未知的缺失值，采用最小二乘法技术进行缺失值评估。并将其填充到原始矩阵的相应位置上，这样便能恢复完整的矩阵。最小二乘法是一种参数评估方法，其通过最小化观测数据与模型预测值之间的误差，有效地评估缺失值大小。

1.2 矩阵补全的应用及影响

矩阵补全有着十分广泛的应用，其应用主要体现在3个方面：①图像处理。矩阵补全可应用于图像去噪、恢复、压缩和重建的工作，提高图像质量。并且还可以应用在图像分析、特征提取和图像编辑等方面，拓展图像处理技术的应用范围。②推荐系统。矩阵补全主要用于填充用户—物品评分矩阵中的缺失值，提高推算算法准确性和个性化程度。③社交网络分析。矩阵补充技术可填充用户—用户关系和用户—物品关系矩阵中的缺失值。通过该方法，可更准确地描述和分析社交网络的结构和动态。

2 矩阵补全在图像处理中应用

2.1 矩阵补全在图像处理中的常规应用

矩阵补全在图像处理领域的中的作用十分巨大，其可在图像数据存在残缺或损坏的情况下，对图像进行有效的分析和处理，通过已知的部分图像信息来预测和恢复缺失或损坏的部分，实现对图像的修复和重建。其应用主要包括：①图像去噪和降噪。对于受到高斯、椒盐等噪声干扰的图像，可通过矩阵补全技术对图像进行去噪处理，提高图像的质量和清晰度。②图像恢复和修复。对于存在缺失、失真及受损的图像，可采用矩阵补全技术对图像进行恢复和修复，填补丢失的像素值，使图片恢复到原始状态。③图像压缩和重建。其通过矩阵补全技术对现有的图像数据进行有效的填充和重建，实现对图像数据的高效压缩和重建，减少存储空间和传输成本。④图像处理算法改进。通过引入矩阵补全技术对图像处理算法进行改进和优化，提高算法的鲁棒性和准确性。文章接下来将对矩阵补全在图像去噪中的应用进行详细阐述及分析。