当包含遇上排除：陆小豆的数学奇旅

10月1日 星期二

今天我和爸爸妈妈来到了美丽的南京。我们计划游览著名的“金陵十八景”。南京是一个历史悠久的城市，有许多名胜古迹。听说“金陵十八景”每一处都很美丽，我迫不及待地想要开始这次旅行。

妈妈是个旅游达人，她的手机相册里收藏着许多金陵十八景的照片，她自豪地说已经征服了十二景。而爸爸，虽然工作繁忙，但也曾多次因公事造访南京，但具体去过几景，他却记不清了。我们的旅游地图上“金陵十八景”都被打上了勾，说明十八景每一处都去过了，但是有五处画了两个勾，说明两人都去过了。

我问爸爸，他到底去过几景，他却笑着说：“小豆啊，你不是数学高手吗？你自己算算看。”

这下子，我傻眼了，这怎么算？

正当我抓耳挠腮之际，学霸精灵突然出现在我的脑海里，它就像一个智慧的小灯泡，照亮了我的思绪。“小豆，别忘了，这里有个数学问题叫作容斥问题，也叫‘包含与排除’，它能帮你解决这个谜题。”学霸精灵温柔地提醒我。

“包含与排除？”我重复了一遍，脑海中迅速回想起学霸精灵曾经教我的知识。

学霸精灵提醒道：“可以利用图形帮助思考。”

“A是妈妈去过的景点，B是爸爸去过的景点，A∩B为爸爸妈妈都去过的景点。

“‘包含与排除’是一种数学方法，用来计算两个集合的元素总数。比如在这里，你可以把妈妈去过的景点看作一个集合，爸爸去过的景点看作另一个集合。我们要计算爸爸去过的景点数，可以用这个公式：

“爸爸去过的景点数＝总景点数－妈妈去过的景点数＋他们一起去过的景点数。

“具体来说就是：爸爸去过的景点数＝18－12＋5。”

我拿起笔，写下了这个公式，开始计算：

18－12＋5＝11

“原来爸爸去过11处景点！”我兴奋地叫了起来。

我兴奋地把这个结果告诉了爸爸，他惊喜地笑了：“看来我的小豆不仅是数学高手，也是个侦探高手啊！”全家人都被逗笑了，而我，则在心里默默感谢学霸精灵，因为它不仅帮我解决了问题，更让我在游玩中体验到了数学的乐趣。

今天的南京之行，不仅是一次文化之旅，更是一次数学与智慧的探险。我学会了用数学的眼光去看世界，也更加珍惜与家人共度的时光。明天，我们将继续我们的金陵十八景之旅，而我，将会带着满满的自信和好奇心，迎接新的挑战。

陆小豆

在解包含与排除问题时，要善于使用形象的图示帮助理解题意，搞清数量之间的逻辑关系。

难度：

在一群小朋友中，有12人看过动画片《汪汪队立大功》，有21人看过动画片《哪吒之魔童降世》，并且有8人两部动画片都看过。请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？

25人。

方法一：画文氏图：

圆A表示看过《汪汪队立大功》的人，圆B表示看过《哪吒之魔童降世》的人，这样②是两个都看过的人，有8人。

有12人看过《汪汪队立大功》，①②共12人；有21人看过《哪吒之魔童降世》，②③共21人；

只看过《哪吒之魔童降世》的人是③，它有21－8＝13人。

因此，①②③加起来共有12＋13＝25人。

方法二：根据容斥原理，得12＋21－8＝25人。

难度：

在一个由30人组成的合唱队中，每个人都爱喝红茶、绿茶、花茶中的一种或者几种。其中有10个人爱喝红茶，12个人不爱喝红茶却爱喝绿茶。请问：只爱喝花茶的有多少人？

8人。

画文氏图：

要求只爱喝花茶的有多少人，也就是求⑦有多少人。

不爱喝红茶的人由⑤⑥⑦组成，因为有10个人爱喝红茶，所以⑤⑥⑦共20人。

不爱喝红茶但爱喝绿茶的人是⑤⑥，一共12人，这样便可直接求出⑦有8人，因此只爱喝花茶的有8人。

难度：

唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难，请问：师徒四人共同渡过的有多少难？

59难。

至少有一个徒弟参与的难有81－3＝78个，根据容斥原理有：

78＝77＋65＋62－64－61－60＋四人共同渡过的难。

因此师徒四人共同渡过的有78－19＝59难。

难度：

五年级一班有22人参加语文竞赛，32人参加数学竞赛，27人参加英语竞赛，其中同时参加语文竞赛和数学竞赛的有12人，同时参加语文竞赛和英语竞赛的有14人，同时参加数学竞赛和英语竞赛的有15人。请问：五年级一班参加竞赛的总人数最少是多少？

44人。

根据容斥原理：

参加竞赛的人数＝22＋32＋27－12－14－15＋三科都参加的人数＝40＋三科都参加的人数。

所以问题转化为求至少有多少人三科都参加。画文氏图：

对参加语文竞赛的人来说，还参加其他竞赛的人数是12＋14－④，它显然不能多于22人，所以④至少要有4人。

如果参加三科竞赛的人数是4的话，有：

此时参加竞赛的人数最少，为44人。

难度：

一根1.8米长的木棍，从左端开始每隔2厘米划一个刻度，每隔3厘米划一个刻度，每隔5厘米划一个刻度，每隔7厘米划一个刻度，如果按刻度把木棍截断，一共可以截成多少段小木棍？

139段。

此题可转化成求在1～180中，有多少个数是2，3，5或7的倍数。

其中2的倍数有90个，3的倍数有60个，5的倍数有36个，7的倍数有25个。

同时是2，3倍数的有30个，同时是2，5倍数的有18个，同时是2，7倍数的有12个，同时是3，5倍数的有12个，同时是3，7倍数的有8个，同时是5，7倍数的有5个。

同时是2，3，5倍数的有6个，同时是2，3，7倍数的有4个，同时是2，5，7倍数的有2个，同时是3，5，7倍数的有1个。

同时是2，3，5，7倍数的有0个。

根据容斥原理，一共可截成（90+60+36+25）－（30+18+12+12+8+5）+（6+4+2+1）－0＝139段。

“包含与排除”的应用

“包含与排除”是一种基本的数学原理，它们真的很重要，不信你看！

拍照识物：神奇的视觉魔法

当你用手机拍照识物的时候，手机就像一个扫描仪，可以将照片中的图像转化成数字信息。然后，人工智能技术就会利用这些数字信息，与数据库中的大量图像进行匹配。在这个过程中，人工智能会先将所有可能出现的物品“包含”在匹配范围内，然后根据图像特征逐一进行“排除”，最终找到与照片中物品最相似的图像，从而识别出物品的种类。

自动驾驶：无人车背后的聪明大脑

自动驾驶汽车的传感器会实时采集周围环境的信息，包括道路、车辆、行人等。然后，自动驾驶系统的智能决策系统会利用这些信息进行分析，做出行驶规划。在这个过程中，智能决策系统会先将所有可能的行驶路径“包含”在规划范围内，然后根据交通规则、安全因素等进行“排除”，最终找到最安全、合理的行驶路径。

语音识别：声音中的密码

当你用语音助手控制智能设备时，语音助手会先将你的语音转化成数字信号，然后利用语音识别技术进行分析。在这个过程中，语音识别技术会先将所有可能出现的词语“包含”在匹配范围内，然后根据语音特征逐一进行“排除”，最终找到与你的语音最相似的词语，从而理解你的语音指令。