基于最大Lyapunov指数的行星齿轮振动可靠性灵敏度分析

摘要：混沌运动是行星齿轮传动过程中一种常见的运动状态，这种运动状态对齿轮的可靠性和使用寿命有着消极的影响。因此，将齿轮的混沌运动定义为系统的一种失效形式，为齿轮可靠性分析提供了新思路。首先，以行星齿轮传动系统为研究对象，建立行星齿轮传动系统的动力学模型。然后，将激励频率、刚度波动系数、阻尼系数、温度作为不确定随机因素，以最大李雅普诺夫指数（LLE）作为可靠性指标构建极限状态方程。最后，采用Monte Carlo数值模拟（MCS）的方法求解系统可靠度，并进一步分析了随机变量均值、标准差对可靠性的敏感程度，为齿轮振动可靠性设计和优化提供了指导建议。

关键词：行星齿轮传动系统;动力学;最大李雅普诺夫指数;可靠性;灵敏度

中图分类号：TH132 文献标志码：A 文章编号：1671-0797（2024）19-0028-04

DOI：10.19514/j.cnki.cn32-1628/tm.2024.19.007

0 引言

行星齿轮传动系统因传动效率高、传动比大、传动平稳以及紧凑的结构特性，被广泛应用于直升飞机主减速器。然而，传动时非线性因素不可避免，这使得传动过程中的动态响应变得复杂多变。振动已经成为导致高速齿轮传动发生破坏失效的一种主要形式，因此，基于齿轮动力学的振动可靠性分析也越发重要。

在工程实际中，由于制造、加工、装配等误差、磨损、润滑、工作环境等因素变化，齿轮传动系统中充满诸多不确定性因素，这些因素严重影响了齿轮传动系统的运动特性和可靠性。因此，国内外学者进行了大量研究，孙志礼等人[1]以振动周期内随机振幅超限为失效准则，基于超越法将动力学与可靠性联系起来，定义了随机参数结构系统的振动响应可靠度。Nejad等人[2]基于ISO齿轮设计规范提出了一种长期疲劳损伤评估方法，该方法采用荷载持续时间分布法和两种动态模型确定风电传动系统齿轮的可靠性和失效寿命概率。陈川[3]在研究风电齿轮箱传动系统的可靠性模型时，运用条件概率思想，将激振力频率与系统固有频率关联起来构建可靠性模型，计算了各零部件的振动可靠性，进而建立了串联系统可靠性模型，并进一步求解了风电齿轮箱传动系统的振动可靠性。Wang等人[4]建立了单级直齿轮副区间参数动力学模型，研究了啮合刚度、输入转矩、传动误差和齿隙等随机参数对齿轮传动系统振动速度区间和传动可靠性的影响。

上述齿轮可靠性分析中，系统的运动状态鲜被考虑在内。在行星齿轮传动过程中，由于各种非线性因素的存在，系统的动态响应复杂多变。尤其是复杂的混沌运动，不仅会降低动力传递时的稳定性，还会加剧齿轮的磨损，这将导致系统可靠性和使用寿命的降低，甚至引发工程事故。消除或避免齿轮传动时的混沌运动区间，降低振动噪声，提高传动系统平稳性、可靠性和使用寿命，一直是齿轮动力学分析的主要目的[5]。LLE作为衡量动力学特征的一个重要指标，能有效识别系统的运动状态，这为本文所提出的齿轮振动可靠性模型提供了理论基础。本文综合考虑了热效应、齿侧HtjhQZ3SqwFQ/yyJuniPRQ==间隙、时变啮合刚度、啮合阻尼、综合传动误差等因素，建立行星齿轮传动系统的纯扭转非线性动力学模型。充分考虑齿轮传动系统的运动状态，将系统的混沌运动定义为失效形式，通过LLE构建行星齿轮振动可靠性模型，将激励频率、温度、时变啮合刚度、啮合阻尼视为随机因素，采用MCS法计算行星齿轮传动系统的振动可靠度，并进一步分析随机变量均值和标准差对可靠性的敏感程度，为齿轮振动可靠性设计和优化提供指导建议。

1 行星齿轮非线性动力学模型

1.1 运动微分方程

如图1所示，行星系统由一个太阳轮s、行星轮pn（n=1，2，3，…，N）、内齿圈r、行星架c组成。令i=spn，rpn，spn和rpn分别表示太阳轮和行星轮、内齿圈和行星轮之间的相互关系，θs、θpn、θr、θc分别为相应部件的扭转位移。

时变啮合刚度ki（t）和静态传递误差ei（t）可由一阶谐波Fourier级数表示：

ki（t）=kmi[1+κisin（ωet+φi）]，

ei（t）=Eisin（ωet+ϕi）（1）

式中：kmi为平均啮合刚度;κi为刚度波动系数;ωe为啮合频率;φi为啮合相位差;Ei为啮合误差幅值;ϕi为初始啮合误差相位。

齿轮的啮合阻尼比可表示为：

ci=2ξi（2）

式中：ξi为阻尼系数;令q=p，g表示主动齿轮和从动齿轮，Mq为等效质量。

采用集中质量建立行星齿轮扭转动力学模型，系统动力学微分方程为：

Ic

+mpnrc 2

c-

（Fspncos α′ spn）rc，

-

（Frpncos α′ rpn）rc=-Tout，

Ipn

pn+Fspnrbpn-Frpnrbpn=0，

Ir

r+

Frpnrbr=0，

Is

s+

Fspnrbs=Tin（3）

式中：Tin为输入扭矩;Tout为输出扭矩;Is、Ipn、Ir、Ic分别为太阳轮、第n个行星轮、齿圈以及行星架的转动惯量;rc为行星架半径;rbs、rbpn、rbr分别为太阳轮、第n个行星轮、齿圈的基圆半径;mpn为行星轮的质量;α′ i为热变形后的压力角;Fi为动态啮合力，Fi=ki（t）f（xi，bi）+

Ci f（i，bi）。

f（xi，bi）为齿轮副的相对位移函数，可表示为：

fi（xi，bi）=xi-bi， xi>bi，

0， |xi|≤bi，

xi+bi， xi<-bi（4）

式中：bi为半齿侧间隙。

由于热效应对齿轮的运动特性有着显著影响，因此有必要将温度的影响考虑在内[6]。考虑热效应半齿侧间隙可表示为[7]：

bi=b0-Δbi/2（5）

Δbi=ΔTγ（1+ΔTγ）m[π-（inv α′ i-inv αi）（zp+zg）]+

[mΔTγ（zp+zg）sin αi]/2（6）

式中：b0为固定半齿侧间隙;Δbi为由温度引起的间隙;ΔT为齿轮温升;γ为齿轮的线性膨胀系数;m为齿轮的模数;αi为压力角;α′ i为热变形后的压力角;zq为齿轮的齿数。

xspn和xrpn分别为太阳轮和内齿圈与第i个行星轮作用线上的相对位移：

xspn=rbsθs+rbpnθpn-rcθccos α′ spn+espn（t），

xrpn=rbrθr-rcθccos α′ rpn-rbpnθpn+erpn（t）（7）

式中：espn（t）为太阳轮和行星轮之间的静态传递误差函数;erpn（t）为行星轮和内齿圈之间的静态传递误差函数。

为解决各激励参数之间数量级相差过大的问题，需对行星齿轮动力学微分方程进行无量纲化处理。引入无量纲时间变量τ和位移标尺bc对动力学模型无量纲化，τ=ωnt，t为时间;固有频率ωn=，其中，kmspn为太阳轮与行星轮之间的平均啮合刚度，Ms和Mpn分别为太阳轮和行星轮等效质量。无量纲激励频率Ω=ωe/ωn，无量纲齿侧间隙bi=bi/bc，无量纲相对位移xi=xi/bc，无量纲速度xi=xi/bcωn，无量纲加速度xi=xi/bcω2 n，无量纲综合传递误差ei=ei/bc。无量纲化处理后的动力学方程可参考文献[8]。

1.2 动力学分析

最大李雅普诺夫指数（LLE）是衡量动力学特征的一个重要指标，能有效识别系统的运动状态[9]。LLE识别系统运动状态的方法为：当LLE>0时，系统处于混沌状态;反之，系统则处于周期或拟周期运动状态。以行星齿轮传动系统随ΔT变化的运动特性为例，取系统参数如下：激励频率Ω=1，太阳轮和行星轮齿侧间隙bspn=4 μm，行星轮和内齿圈的齿侧间隙brpn=4 .5μm，阻尼系数ξi=0.1，综合传递误差幅值Ei=3 μm，刚度波动系数κi=0.25。图2为系统随ΔT变化的分岔图和LLE图。当ΔT处于[0 ℃，39.5 ℃）区间时，系统以混沌运动状态为主，并伴随着短暂的周期运动，此区间的LLE曲线整体大于零并出现小部分区间小于零。当ΔT在[39.5 ℃，100 ℃]时，系统在多处发生逆倍化分岔，由7周期运动→4周期运动→2周期运动→1周期运动，在此区间内LLE的值小于零。可见，LLE可以很好地反映出系统在不同参数下的运动状态，这为本文所提出的振动可靠性模型提供了理论依据。

2 行星齿轮振动可靠性灵敏度分析

2.1 可靠度定义与灵敏度分析方法

在以往的研究中，Jan N. Fuhg等人研究了结合弹塑性摩擦力模型Duffing型振子的行为，提出将LLE作为非线性模型的可靠性指标，求解系统可靠性[10]。LLE作为非线性动力学的全局分岔分析方法之一，广泛应用于齿轮动力学分析[11]，可作为行星齿轮振动可靠性分析的评价指标。本文采用刘梦军等人提出的方法求解系统的LLE[12]，根据LLE识别系统是否处于混沌运动的判断方法，系统的极限状态函数可定义为：

Z（x）=-LEE（x）>0， 安全，

-LEE（x）≤0， 失效（8）

式中：LEE（x）表示输入随机变量x时对应的LLE值。

采用Monte Carlo方法近似计算失效概率：

Pf=IF[Z（x）]（9）

式中：NMC为总样本;IF（·）为失效域指数函数，IF（·）=1表示行星齿轮系统振动失效，IF（·）=0表示行星齿轮系统可靠。

通常表示为：

IF[Z（x）]=1， Z（x）≤0，

0， Z（x）>0（10）

对于统计独立的随机变量，可靠性灵敏度表示为失效概率Pf对基本随机变量xi的分布参数θ （k）（包含均值μ和标准差σ）的偏导[13]：

=dx=E

（11）

式中：Xi为第i个随机变量;θ （k）为分布参数，k表示分布参数的个数;fX（x）为随机变量xi的概率密度函数;E（·）为期望算子。

可靠性灵敏度的估计值∂f/∂θ （k）为：

=

（12）

式中：N为总样本数;xj为第j个样本;IF（xj）为极限状态函数。

无量纲处理后的均值μ和标准差σ的灵敏度可表示为：

Sμ=×=IF（xi）×（13）

Sσ=×=×（14）

2.2 可靠性灵敏度分析

本文以某型直升机主减速器的行星齿轮系统为研究对象，行星齿轮个数为3，系统的基本参数如表1所示。

行星齿轮长时间工作将导致温度的升高，当温度升高时，齿侧间隙也会随之减小，也从侧面反映了间隙对系统振动特性的影响，但在对齿轮可靠性分析当中却很少考虑此因素。因此，本文将激励频率Ω、刚度波动系数κi、阻尼系数ξi、温度ΔT视为随机参数，且符合正态分布，采用经验法选取变异系数，均值和标准差如表2所示。给定齿侧间隙bsp=4 μm，brp=4.5 μm，综合传递误差幅值Ei=3 μm。

本文设计变量有4个，总样本NMC=8×104，采用MCS对系统可靠性求解，所求得的失效概率为Pf=7.125×

10-3。由图3可得，这4个随机变量的均值对系统的可靠性有着积极的影响，这说明随着随机变量均值的增加，系统的可靠性也在增加，其中ΔT的影响程度最大，ξ次之，随后是κ和Ω。而随机变量的标准差均对系统的可靠性有着消极的影响，随着随机变量标准差的增大，系统可靠性会降低，且各随机变量标准差的影响程度先后排序与均值相同。综上分析，建议在齿轮振动可靠性设计中重点关注阻尼系数和温度以及与温度相关的齿侧间隙，严格控制其精度。

3 结论

1）本文基于行星齿轮传动系统的动力学模型，将混沌运动视为系统的失效形式，以LLE作为可靠性指标构建极限状态函数，为行星齿轮振动可靠性分析提供了一种新的方法。

2）温度和阻尼系数的均值和标准差对系统的可靠性影响程度较大，在进行行星齿轮系统振动可靠性设计和优化时应重点考虑温度（温度与齿侧间隙的关系）和阻尼系数对系统可靠性的影响，严格控制其精度。

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收稿日期：2024-05-27

作者简介：崔灿（1999—），男，山东济宁人，硕士，研究方向：齿轮动力学及可靠性。