高考物理数列类压轴题命题规律探析

在数学中，数列是以正整数为定义域的函数，是一列有序数．而在某些物理问题中，有的物理量在多次重复出现的情境中按一定的规律变化，这种规律变化往往可以通过数列的知识来描述，如利用数列的通项公式和求和方法进行计算．这类问题通常要求学生具备较强的分析与综合能力，需要学生灵活地将数学和物理知识进行融合应用．数列知识在高考物理试题的考查中，多以压轴题的形式出现，以考查学生分析与综合能力、数学与物理知识融合应用能力．本文对各省市历年高考物理试题中应用数列知识的压轴题命题规律进行分析，整理解决此类问题的思路，期望为学生解决这类问题提供指导．

１ 高考物理应用数列知识命题分析

１.１ 近五年高考物理试题应用数列知识考查情况

１.２ 高考物理应用数列知识的压轴题命题特点

此类试题综合性强，难度大，分值高，主要以物体碰撞和带电粒子在电磁场中的运动为物理模型，往往是同一物理规律的重复应用，通常会设计数个问题，引导考生从第一次物理情境分析开始，逐步找到第n次的通项公式．此类试题考查的数列知识主要有等比、等差数列的通项公式，等比、等差数列的求和，一般规律的通项公式求解．

２ 力学中的数列压轴题赏析

例１ （２０２４年湖南卷）如图１所示，半径为R的圆环水平放置并固定，圆环内有质量为mA 和mB的小球A 和B （mA ＞mB ）．初始时小球A 以初速度v０ 沿圆环切线方向运动，与静止的小球B 发生碰撞．不计小球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动．

（１）若小球A 与B 碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所需向心力的大小;

（２）若小球A 与B 之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，求小球的质量比mA／mB ;

（３）若小球A 与B 之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度大小的e 倍（０＜e＜１），求第１次碰撞到第２n＋１次碰撞之间小球B 通过的路程．

分析 本题以小球的碰撞为载体，融合了弹性碰撞和牛顿运动定律相关知识．通过前两问的分析，对两小球的运动情况及何时何处发生碰撞有了清晰的推理．第（３）问通过引入恢复系数，加大了分析和运算的难度．

解析

（３）第一次碰前相对速度大小为v０，第一次碰后的相对速度大小为

v１相＝ev０． ①

第一次碰后与第二次相碰前B 球比A 球多运动一圈，即B 球相对A 球运动一圈，有

t１ ＝２πR／v１相． ②

第一次碰撞由动量守恒定律得

mAv０ ＝mAvA１ ＋mBvB１， ③