非经典阻尼体系的求解方法综述

摘要：在结构动力学方程中，阻尼被视为核心参数。经典阻尼假定适用于阻尼较小、质量和刚度分布比较均匀的建筑物。然而，实际工程结构的动力特性分布不均匀，如复合材料、混合结构、减隔振结构等。在分析该类结构，经典阻尼结构假定给结构反应分析带来显著的误差。为解决这一问题，学者们采用了非经典阻尼假定。为获得非经典阻尼假定下的结构动力响应，对结构动力分析方法进行论述，总结其特点和适用范围。

关键词：非经典阻尼 复模态法 直接积分法 实模态法

中图分类号：O322

A Review of Methods for Solving the Non-Classical Damping System

BAI Yibin

School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology， Harbin，Heilongjiang Province ，150006 China

Abstract：Damping is considered as a core parameter in structural dynamic equations. The classical damping assumption is acceptable for buildings with small damping and therelatively uniform distribution of mass and stiffness. However，the distribution of the dynamic characteristics of actual engineering structures is uneven， such as composite materials， hybrid structures and vibrationreduction and isolation structures.In the analysis of such structures， the assumption of classical dampingstructures brings significant errors to structural response analysis. In order to solve this issue， scholars have adopted thenon-classical damping assumption. In order to obtain the structural dynamic response under the non-classical damping assumption， this paper discusses the structural dynamic analysis method， and summarizes its characteristics and scope of applicable.

KeyWords： Non-classical damping; Complex modal method; Immediate integration; Real modal method

结构的动力响应是阻尼的函数。在结构动力分析过程中，需用合理的方法来表达阻尼。经典阻尼假定阻尼力和变形速度成线性关系。经典阻尼假定对振动是解耦的，能够表达频率、共振等物理现象，而且能够通过结构体系质量和刚度构造出具体的阻尼系数。实际表明，经典阻尼假定适用于阻尼较小、质量和刚度分布比较均匀的建筑物。然而，当上述动力系统的特性分布不均Jn/ztl/PSZoD6XBEhaAzHu/97NnyGfZoQFHZg12IH2E=匀时，如土-结构、流体-结构、主从结构、设置耗能装置的减震控制体系及由性质不同的材料组成的组合结构，经典阻尼假定会导致系统动力反应分析误差。随着现代抗震理论的发展和研究问题的深入，就必然会面对非经典阻尼问题，从而寻求其准确的表达方法成为抗震领域的重要问题。

1 阻尼理论

阻尼是指由于外界作用和（或）系统本身固有的原因引起的振幅随时间逐渐减小的特性[1-2]。阻尼是结构动力方程的基本变量，表征了振动过程中能量耗散。导致结构振动衰减的多种因素包括结构材料的内部摩擦、连接部位的干摩擦、气动阻尼以及地基与土壤之间的摩擦等。根据阻尼产生的物理机制，这些因素可以被分类为材料内部阻尼、结构阻尼和流体阻尼。在实际工程应用中，通常采用动力分析软件对不同类型的阻尼比进行计算，以得到最优方案，从而为工程设计提供理论依据。在动力系统方程里，阻尼模型通常涵盖了黏性阻尼、迟滞阻尼、结构阻尼、结构库伦阻尼以及流体阻尼这几种类型。

2 经典阻尼和非经典阻尼的区别

非经典阻尼与经典阻尼的区别在于质量、刚度和阻尼矩阵是否满足矩MTC与MTK 可交换[3]。若满足，则 φTCφ为对角阵，则运动方程为一组独立的微分方程组，代表经典阻尼体系；若不满足， φTCφ为非对角矩阵，运动方程是关于φTCφ耦合的方程组，代表非经典阻尼体系。

经典阻尼的假定可使运动方程解耦，其动力响应可以采用模态叠加法，适用于阻尼较小、质量和刚度分布较均匀结构。常见的经典阻尼模型有瑞利阻尼、柯西阻尼、修正的瑞利阻尼等。在非传统阻尼系统里，该系统的无阻尼真实模态矩阵并不是正交的，模态之间存在相互的耦合作用，其振动行为表现为复杂的模态，具体为：（1）各点位间存在相位差；（2）随着时间的推移，各个点位之间的移动比率会发生变化。对于土-结构、流体-结构、主从结构、设置耗能装置的减震控制体系及由性质不同的材料组成的结构，经典阻尼假定导致系统动力反应分析误差，需要采用非经典阻尼体系。

3 非经典阻尼体系的解法综述

非经典阻尼体系动力分析方法的主要方法包括复模态方法、直接积分法和实模态近似法，其中实模态近似法又可细分为近似解耦方法、矩阵摄动法、拟力实模态叠加法Laplace变换法、实振型分解算法等。

3.1 复模态法

复模态分析法[4-6]利用状态空间理论，将非经典阻尼体系动力方程写成以下1阶2N个联立微分方程式，将其转化为状态空间中的运动方程，根据求解得到的N对复共轭特征值，得到解耦的运动方程，进而得到稳态解，从而解决了这类体系不能解耦的问题。

复模态分解法具有明确的概念和实数形态，与目前普遍采用的基于无阻尼振型展开的方法有相似之处，适用于任何具有阻尼线的弹性系统。本文在介绍其基本思想和算法后，重点讨论了如何确定复模态参数与求解复模态系数矩阵等有关问题，并通过算例对该方法进行验证。相较于实模态方法，复模态特征问题：（1）具有2N×2N的阶数，这导致其计算量相对于实模态方法增加了一倍；（2） 复模态振型的物理含义尚不清晰，主要用于理论探讨，而在实际的分析和计算中应用较少。

3.2 直接积分法

当结构进入非线性范围或具有非典型阻尼特征时，实模态分析与复模态分析将不再适用，国内外学者提出了直接积分法。直接积分法也称动力时程分析。在时程分析中，时间被分成一系列小的步长 ，第 时间间隔的反应已经确定，第 时间间隔的体系反应将满足运动方程。其数值积分的精度依赖于插值函数和积分方法，其中无条件稳定积分格均采用瑞利阻尼的假定。对于非经典阻尼体系是否成立，并未得到证明。另外对于大型结构，直接积分法内存较多，计算时间长。针对上述缺陷，国内学者汪梦甫等人[7]、王书霞等人[8]研究给出了解析与高精度积分方法等解决方案。

实际结构的动力反应，如地震作用下的结构反应，一般以初始速度和位移为0。采用直接积分法求解得到结构时程反应，能用于校验规范反应谱的计算结果，可以真实地反映建筑物的地震响应，从而能更精确找到结构的薄弱部位。

3.3 实模态近似法

3.3.1 近似解耦方法

经典阻尼体系普遍采用的模态分解法具有计算简单、容易实现、物理意义明确等优点，故科研人员研究提出了一种基于实模态对非经典阻尼体系进行地震分析的方法。近似解耦方法通过对耦合的模态阻尼矩阵进行近似，例如：忽略阻尼矩阵中的非对角元素，从而使耦合方程近似解耦求解。近似处理不可避免地会带来误差。使用能量法来确定等效阻尼比实际上是一种将非经典阻尼简化为经典阻尼的另一种近似手段，该方法是基于总能量相等的原则，将非经典阻尼转换为经典阻尼。本文给出了用此法计算结构地震响应和动力可靠度分析结果的算例。《建筑抗震设计规范》（GB/T50011—2010）已经将这种方法纳入其内部规范，并明确指出，在消能部件布局相对均匀且阻尼比不超过0.20的情况下，强行解耦与精确解之间的误差大多数情况下可以控制在5%以内。

3.3.2 矩阵摄动法

为了解决复模态法在计算内存方面存在的过大问题，郭永刚等人[9]推荐使用矩阵摄动法来解决非经典阻尼结构体系的问题。本文对该方法进行了改进，提出一种基于特征值灵敏度分析的快速计算方法。基于摄动理论，对动力方程中的非传统阻尼矩阵进行了研究C以经典阻尼矩阵CC和另一矩阵△C表示为C=CC+ε△C，ε=0时转化为经典阻尼体系。当体系非经典阻尼较小时，摄动分析结果接近于精确解且计算速度比复模态法快，但随着△C提 高，摄动分析迭代次数相应增加，可能会得到不收敛的分析结果。

3.3.3 拟力实模态叠加法

动力方程中的阻尼会耗散能量。参照该思想，拟力实模态叠加法[10]把耦合的模态阻尼矩阵分成经典和非经典。经典阻尼耗散能量，非经典阻尼转换能量，将后者移到方程右端，再迭代求解方程。由于右侧存在未确定的项，因此有必要进行迭代式的计算。在每一个时间步骤中，都需要对阻尼满阵和速度矢量的乘积进行计算，这种方法具有出色的解决准确性，具有一定的实用性。

3.3.4 Laplace变换法

非传统的阻尼结构是一个复杂的耦合运动方程，其方程的解耦过程相当复杂。本文提出一种基于实数编码遗传算法求解耦联系统动力学参数和位移响应的数值算法。通过采用Laplace变换来简化耦合的动态方程，并与实振型分解技术结合使用，我们可以对隔震结构进行动态响应的分析。

3.3.5 实振型分解算法

隔震结构中，非经典阻尼体系由隔震系统的集中阻尼和上部结构的分布阻尼组成。杜永峰等人[11]证明隔震结构的阻尼耦合度要远远小于非隔震结构，即隔震系统对结构体系动力响应有解耦效应，通过对动力方程实施Laplace变换后进行简化，可先求得低阶广义坐标解答，再求得高阶广义坐标解答，进而得到动力响应的时域解答。实振型分解法与Laplace变换方法联合应用比复振型算法占用计算资源少且计算精度更高。该方法缺点是仅适用于隔震结构。

3.3.6 矩阵变换转换法

针对非经典阻尼体系，为消除非经典阻尼项给求解带来的困难，徐涛等人[12]通过引入矩阵函数变换消除了原系统的阻尼条件项，将非经典阻尼振动微分方程转化为拟时不变经典阻尼方程。矩阵变化转换法，通过利用具有完全特征向量系的矩阵在约化Jordan标准形过程中可正交相似对角矩阵的特性，将变换矩阵取为Jordan标准形过程中的分解矩阵，从而求出所求系统的特征问题的全部特征值和相应的特征向量。同时，根据矩阵正交相似的性质分析得知不仅变换前后两个矩阵的特征值完全相同并与时间变量无关，而且时间变化对此系统的影响可以只由变换后系统的特征向量来描述。

相比其他方法只给出特征向量的近似求解方法，矩阵变换转换法给出的准确的时间解方法，而且能反映了原始系统明确的振动状态的物理解释。

4 结语

随着结构减隔震技术在实际工程中的应用，非经典阻尼问题愈加突出，研究非经典阻尼体系动力分析方法具有重要的现实意义。直接积分法最精确，但该方法需首先构造阻尼矩阵，然后需要选用较多条时程曲线来表达某地区的地震作用。基于等效振型阻尼比方法的强迫解耦方法，分析程序上方便实现，对阻尼分布比较均匀的结构可将误差控制在一定范围内。复模态方法能够把握非经典阻尼体系动力分析的本质，分析精确，但也复杂，难以在实际工程中推广。实数域内的近似分析方法虽然相对简单，在求解精度和有效性上仍需要进一步研究。

本文所介绍的非经典阻尼体系的分析方法，在阻尼的解耦方式上存在不同，可供实际工程中非经典阻尼体系的动力分析研究参考。

参考文献

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