教科书“情境”多情形图形表征的教学初探

锁建军 李凯

基金项目  西北师范大学2023年度研究生科研资助项目“学习机会视角下中小学数学教材传统文化的融入与教学研究”（2023KYZZ-B017）;2023年重庆市教育委员会人文社会科学研究青年项目“新时代高师本科院校师范生学科教学能力评价指标体系构建研究”（23SKGH369）.

【摘  要】

以北师大版初中数学教科书中“探索直线平行的条件”内容为例，通过对其“情境”的图形表征进行实证分析，结合其内容在教学中存在的问题剖析，尝试通过教科书“情境”蕴含的意境，以及半数化图形表征的基础和多元可能性，构建和设计多情形数学图形表征教学.多情形数学图形表征，从直线与直线关系、角角关系的图形表征中生成数学知识，深度认知同位角，消除负迁移.据此启示：教科书“情境”的多元可能性，为解决教学问题、进行多情形图形表征、直观的刻画和反映事物的特征、深度认知数学知识提供了有力的支撑.

【关键词】  教科书;情境;图形表征;教学初探

1  引言

“情境”是情境性教学开展的关键要素，教科书提供的“情境”一般是基于现实生活的问题情境，宏观上具有多元可能性，解决方式也同样不受局限.是产生数学概念，提出数学问题的背景、前提、基础和条件［1］.情境编制于数学知识的学习系统，为知识的呈现提供了多种可直观表征的可能，可依据数学知识发生的需要，对情境的意境进行设计与表征.情境蕴含的意境，通过数学化、抽象化形成各类数学符号或图形语言，直接作用于数学知识的发生.数学教科书中一般为了抽象概括出数学概念、公式、思想方法等，设置的文本内容也基本包含了情境创设、数学符号及图形的表征、衍生数学知识这几方面的呈现.

初中数学教科书节内容中设置的情境，包含直观的外显引导线索和隐蔽的内隐线索［2］.直观的外显引导线索，按照逻辑发展的过程，可以直接辅助归纳和表达蕴含的数学知识.但知识的特征和本质需要借助情境的多元可能性，经过由表及里、去伪存真的表征过程，才能建构完整的概念［3］.如果不深入挖掘情境的内隐线索，得到的数学知识可能只是浅层次的表达，甚至若只由外显线索作引导，会造成情境与一些知识的生成并无直接关联，致使情境与部分知识的生成相互脱节，从而丢失情境存在的本意.

为此，文章基于教科书提供的情境，结合以下两个方面来体现情境的内隐功能：第一，结合外显引导线索及已呈现的抽象化表征情形，探究与归纳节内容中的数学知识;第二，尝试结合情境的多元可能性，以及节内容数学知识发生的需求，对情境进行多情形图形表征，使知识的发生置于多种情形，从中辩证知识的本质，辨清知识的概念［4］.

2  研究对象与方法

2.1  研究内容

数学教科书一般由各章组成，各章包含多个节内容.节内容由正文、例题、习题等栏目组成.本文选取北京师范大学出版社2012年审定的七年级下册数学教科书（简称：北师大版），以教科书第二章“相交线与平行线”中的“探索直线平行的条件”内容为例，围绕节内容“正文”部分的“情境”展开研究，初探情境多情形图形表征的教学问题.图1  情境

教科书为归纳和生成“探索直线平行的条件”节内容的数学知识，在“正文”的起始编制了如上图1的情境，其中包含一个情境图和3个情境问题.情境图和情境问题直观地表达了要解决的现实问题，明确了多情形探究讨论的话题.

2.2  研究方法

基于教科书提供的情境，从以下两个方面来体现情境的内隐功能：第一，结合情境图和已呈现的情境问题、纯数学问题、数学图形，探究与归纳数学知识;第二，尝试结合情境的多元可能性和数学知识发生的需求，再次对情境进行多情形图形表征与创新，形成助于知识生成的图形表征，丰富情形类别，从创设的不同情形中再次辩证相关知识的本质，辨清知识的概念.具体研究思路呈现如下图2.

3  教科书“情境”图形表征的实证分析

3.1  教科书情境半数学化图形表征分析

为使情境中的问题过渡至抽象化的数学问题及数学语言、数学图形，将上述情境初步表征和转化，使情境问题数学化，融入数学语言∠1和∠2，通过讨论数学问题“角及角之间的关系”，辩证木条之间的位置关系.情境表征为半数学化图形（半数学化图形表征：数学语言和生活实物相融合，未完全脱离实物的图形表征）呈现为如下图3.

图3呈现的表征图形，要求木条b与木条c的位置关系确定不变，转化为数学语言，即∠1的大小不变.要求木条a与木条c的位置关系不断发生变化，转化为数学语言，即∠2的大小不断发生变化.观察∠1和∠2的大小关系，判断木条a与木条b的位置关系.

反之，固定木条a，c，转动木条b，其情境表征为半数学化图形呈现为如图4.

图4呈现的表征图形，要求木条a与木条c的位置关系确定不变，转化为数学语言，即∠2的大小不变.要求木条b与木条c的位置关系不断发生变化，转化为数学语言，即∠1的大小不断发生变化.观察∠1和∠2的大小关系，判断木条a与木条b的位置关系.

3.2  教科书数学知识生成的表征分析

教科书提供纯数学情境的图形介入，如图5，从中引入同位角的概念.

在图5表征的基础上，归纳和生成数学知识：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行.

两直线平行，用符号“∥”表示.例如，直线a与直线b平行，记作a∥b.4  数学知识生成中存在的教学问题剖析

4.1  严格意义上表征两直线平行的关系并未形成

上述图3半数学化图形（情形一）、图4半数学化图形（情形二）的表征，以显性的半数学化图形表征的方式，使学生直观感受两直线平行的关系，但实际意义上，因数学的严谨性及建立数学概念的原则，两直线平行的关系并未完全生成.因为半数学化的图形表征中，并不存在两条绝对平行的木条.判定两条直线平行的数学表达应该更加完整一点，在半数学化图形的表征基础上，呈现出完全数学化的表征情形，易于学生理解两条直线平行是数学的专业概念，是现实情境抽象化的数学表征，本质是由数学知识“线、线与线关系、角、角与角关系等”进行两线关系的一种数学表征.

4.2  弱化同位角的概念

上述图5对同位角概念的表征情形中，图形表征实质反映的是同位角的概念，并未限定在平行的两条直线中存在.但紧接着后续“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称为：同位角相等，两直线平行”的知识表征，无形中弱化了同位角的概念，形成了逆向负迁移现象.逆向迁移现象一般包含正迁移和负迁移，负迁移现象往往会阻碍知识的学习［5-6］.具体如下图6.

图6  逆向负迁移现象

上述北师大版教科书呈现的文本内容设计流程，同位角设计在“平行线判定方法1”的内容中，在判定方法表征之前，会对同位角的概念进行表征.一般教学中为凸显“平行线判定方法1”，本身对于同位角概念的表征会呈现相对弱化的表现，再因“平行线判定方法1”的表征情形，同位角的概念无意识地被认为是存在于两平行直线被第三条直线所截的情形中.

5  教科书“情境”多情形图形表征的教学初探

教科书情境半数学化的图形表征，直观地让学生感受到了两条直线平行的本质及生成过程，学生已经初步建立起了两条直线平行的必然因果关系.但半数学化的图形表征并未完全严格建立数学专业意义上的概念.因此，为消除上述同位角概念认知中出现的逆迁移现象，以及建立严格意义上的数学知识表征，借助教科书“情境”及半数学化的表征图形，初步尝试进行纯数学的多情形图形表征，以建立完全数学意义上的知识和消除负迁移现象.

5.1  在直线与直线关系的图形表征中生成数学知识

在教科书中上述图3半数学化图形（情形一）、图4半数学化图形（情形二）的表征基础上，呈现如下图7的直观数学图形进行知识表征.让学生在前期半数学化图形表征形成的感知基础上，通过图7的数学图形表征，认识“平行线判定方法1”在数学中的表述内涵及应有的情形.进而引导学生建立严格意义上的数学知识，完善学生数学的学习.实质上也体现了数学源于生活，但数学也有其独特的语言魅力和其严谨的逻辑体系.

图7  “平行线判定方法1”的数学图形表征

5.2  在直线与直线关系的图形表征中深度认知同位角

在图5同位角概念呈现的基础上，结合上述“情境”及半数学化图形表征情形的多种可能性，扩展图5中的图形表征，呈现下图8的数学图形表征，进而深度认知同位角.

如图8，直线EF，LM与OP相交（也可以说两条直线EF，LM被第三条直线OP所截），构成八个角.我们看那些没有公共顶点的两个角的关系.图中的∠1和∠2，这两个角分别在直线EF，LM的同一方（上方），并且都在直线OP的同侧（右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同位角.

小结  在教材中借助图5认知同位角的基础上，将线线关系更抽象化的处理为图8，辅助理清同位角在线线关系中形成的本质.说明在同一平面内，不管是图5直线AB，CD的线线关系，还是图8直线EF，LM的线线关系，只要都是在线线关系的基础上被第三条直线所截，两线关系的情况不是同位角形成的必要条件.

5.3  在角角关系的图形表征中深度认知同位角5.3.1  角与角的大小关系

从前文呈现的图7可以看出，∠2和∠1是直线AB，CD被直线l截得的同位角，此时∠2=∠1，同位角相等.

从前文呈现的图8可以看出，∠2和∠1是直线EF，LM被直线OP截得的同位角，此时∠2是钝角，∠1直角，同位角大小不相等.

小结  从角与角的大小关系中认知同位角，不管是图7中∠2=∠1的关系，还是图8中∠2是钝角，∠1是直角，大小不相等的关系，角的大小关系不是同位角形成的必要条件.5.3.2  角与角的位置关系

在图5同位角概念呈现的基础上，结合上述“情境”及半数学化图形表征情形的多种可能性，扩展图5中的图形表征，呈现图9的数学图形表征，进而深度认知同位角.

如图9，直线OM，LP与EF相交（也可以说两条直线OM，LP被第三条直线EF所截），图中的∠1和∠2，这两个角分别在直线OM，LP的同一方（上方），并且都在直线EF的同侧（右侧），但∠1和∠2不是同位角.

小结  从角与角的位置关系中认知同位角，不能只停留在同上、同左（右）或同下、同左（右）的位置关系层面，还需确认角与角之间有完整的对应关系.完整的对应关系指角与角在同上、同左（右）或同下、同左（右）的位置关系基础上，还要明确两条直线被第三条直线所截，这两条直线分别与所截直线形成的角才是完整的对应角.如图9中，∠1和∠2是同上同右的位置关系，但∠1与∠2未建立完整的对应关系，不是对应角，所以∠1和∠2不是同位角.

5.4  消除负迁移

“平行线判定方法1”的学习，按逻辑会设置在同位角的学习之后，但上述“情境”多情形的表征设计，在认识“平行线判定方法1”的认知基础上，进而理解同位角，可明确同位角的形成是“两条直线被一条直线所截，两条直线是什么位置关系，不是必要条件”.为此，可以消除现实教学中的负迁移现象“同位角被认为是存在于两平行直线AB，CD被第三条直线EF所截的情形中”.

6  启示

教科书“情境”的多元可能性，为解决教学问题，深度认知数学知识提供了两个方面的功效.第一，从半数学化图形的表征中，感受知识的发生，从直观生动的活动中联系生活实际，便于学生形成和理解知识的本质;第二，从数学专业视角进行纯数学的图形表征，从严格意义上帮助学生在感受的基础上，形成严谨的数学知识，用数学的专业语言抽象化地表述现实现象，建立抽象化的数学逻辑语言体系与知识，进而便于更好地阐释和研究现实现象.

图形表征相对于其它语言表征形式，可以更直观地刻画和反映事物的特征.在数学的学习中，往往借助现实实物和数学语言进行数学知识的表征，上文举例讨论的半数学化图形、纯数学图形表征形式，都是刻画和反映数学知识的有效手段.但现实教学中，借助“情境”的多元可能性，从构建的半数学化图形表征形式过渡至纯数学图形的表征形式被忽视，且纯数学图形的表征单一，并未完全刻画和反映相关数学知识的本质特征.而多情形图形表征对于教学中生成数学知识，深度反映知识本质有着重要的作用.为此，如上文同位角深度学习发生的初探，表明学习过程的发生不是简单地停留在单一内容表述层面，需更深入地设计探究过程，更能使知识的学习深度发生.

参考文献

［1］吕传汉，汪秉彝.再论中小学“数学情境与提出问题”的数学学习［J］.数学教育学报，2002（04）：72-76.

［2］牛瑞雪.教学评价研究40年回顾、反思与展望［J］.课程·教材·教法，2018，38（11）：60-66.

［3］李健，李海东.情境在现实问题解决中的作用：基于5套人教版初中数学教科书的纵向比较［J］.数学教育学报，2021，30（04）：30-34，40.

［4］李鑫，李健，张楠.澳大利亚初中数学教材中的项目式学习活动：情境设置、活动特征与开发建议［J］.中学数学杂志，2023（08）：46-49.

［5］涂荣豹.数学学习与数学迁移［J］.数学教育学报，2006（04）：1-5.

［6］曾峥.略论数学教学中的迁移［J］.数学通报，1986（10）：7-9.

作者简介

锁建军（1991—），男，甘肃天水人，博士研究生;主要从事数学教育研究;主持省级课题1项，发表论文8篇，其中2篇被中国人民大学复印报刊资料《初中数学教与学》全文转载.

李凯（1991—），男，甘肃天水人，讲师;主要从事数学教育研究;发表论文数10篇.