研究教材题目 教会学生思考

彭瑛晶

摘 要：本文通过探讨教材上的例题、习题，引导学生不为做题而做题，而是会深挖题目中丰富的学科知识，学会思考及掌握类比推理的能力，从而达到数学核心素养的培养，以适应未来社会生活的需要.

关键词：教材；回归课本；探究

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）15-0054-04

新课程标准告诉我们教什么内容，教材则告诉我们“如何去教”，而这些却不能直接赋予学生.教学是把教学内容和“如何去教”转化为现实、生动的学生活动的过程.我们要思考如何挖掘、开发教材的精髓、内涵，创造性、个性化地运用教材，生成灵活合理、丰富多彩的“生态化”教学过程，以达到数学核心素养的培养，适应未来社会生活的需要.

1 问题从课本中而来

《普通高中教科书数学选择性必修第一册人教A版（2019）》

P113例题6：动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和M到定直线l：x=254的距离的比是常数45，求动点M的轨迹［1］ .

解 如图1，设d是点M到直线l：x=254的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合P={MMFd=45}

由此得（x-4）2+y225/4-x=45.

将上式两边平方，并化简得：9x2+25y2=225，

即x225+y29=1.

所以点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10，6的椭圆.

反思 本题表示平面内到定点的距离和到定直线（定点不在定直线上）的距离之比为常数的点的轨迹是椭圆，且定点F（c，0），定直线l：x=a2c，比是常数ca.这样的结论有一般性吗？即动点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和点M到定直线x=a2c（点F不在定直线上）的距离的比是常数ca，则动点M的轨迹一定是椭圆吗？

事实上，学生是可以推导出动点M的轨迹方程为：x2a2+y2b2=1 （b2=a2-c2），可以明确动点M的轨迹是椭圆.

注意：我们把定点F（c，0）叫作椭圆的右焦点，定直线l：x=a2c叫作椭圆的右准线.

追问：如果将条件中的定点F（c，0）改为 F（-c，0），要得到同样的结论，请问定直线是否需要改变，如何改变？

学生小组合作共同讨论出定直线l：x=a2c要改为x=-a2c.

由此可以得到椭圆的第二定义：

平面内，到定点F（c，0）的距离和到定直线l：x=a2c（点F不在定直线上）的距离的比是常数e=ca（0

同理：平面内，到定点F（-c，0）的距离和到定直线l：x=-a2c（点F不在定直线上）的距离的比是常数e=ca（0

我们把椭圆上的点P（x0，y0）与左焦点F1与右焦点F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径，请推导出下面两个结论：

①PF1=a+ex0 ，PF2=a-ex0；

②焦半径中以长轴端点的焦半径最大或最小.

事实上：由上述椭圆性质可以得到PF2a2/c-x0=ca，即：PF2=a-cax0=a-ex0，PF1a2/c+x0=ca，

即：PF1=a+cax0=a+ex0.

因为-a≤x0≤a，所以焦半径中以长轴端点的焦半径最大或最小.

（上述推导及性质当焦点位于y轴，中心是坐标原点时椭圆的性质如何？适当留白给学生，进一步培养其类比归纳能力）

2 思维从探究中来

《普通高中教科书数学选择性必修第一册人教A版（2019）》

P115第8题练习1：动点M与定点F（2，0）的距离和它到定直线x=8的距离的比是1∶2，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的图形.

鼓励学生作答：

解法1 设d是点M到直线l：x=8的距离，根据题意，动点M的轨迹就是集合

P={M|MF|d=12}，由此得（x-2）2+y2|8-x|=12.

将上式两边平方，并化简得：3x2+4y2=48，即x216+y212=1.

所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴、短轴长分别为8，43的椭圆.

解法2 定点F（2，0）即c=2，定直线x=8，即：a2c=8，得到a=4，

故e=ca=12，符合题意.

所以点M的轨迹是焦点在x轴上长轴，短轴长分别为8，43的椭圆，

方程为 x216+y212=1.

练习2 平面内焦点在x轴上，中心在原点的椭圆中，过焦点的弦中弦长最小值.鼓励学生小组合作交流探讨.

解 不妨求过右焦点F2的弦AB的长度的最小值作椭圆的右准线l，过点A、B、F2分别做AA1、BB1、F2F垂直于直线l，垂足分别为A1、B1、F，作弦AB中点M并作MM1垂直于直线l于点M1.如图2AB=AF2+BF2=AA1e+BB1e=（AA1+BB1）e=2MM1e

又∵MM1≥FF2（当且仅当点F2与M重合即AB过点F2垂直与x轴时）

∴ABmin=2FF2e=2b2a.

点评 适当的练习不仅能够夯实学生对基本知识的理解、检验学生对知识掌握的情况，更重要的是能够培养学生数学应用的能力.

3 能力从培养意识中来

《普通高中教科书数学选择性必修第一册人教A版（2019）》P125例题5：动点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线l：x=94的距离的比是常数43，求动点M的轨迹.

解 如图3，设d是点M到直线l的距离，

根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P={MMFd=43}，

由此得（x-4）2+y2x-9/4=43，

将上式两边平方，并化简得：7x2-9y2=63，

即x29-y27=1.

所以点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为27的双曲线.

根据上面例题思考《普通高中教科书选择性必修第一册人教A版（2019）》P127第10题：设动点M与定点F（c，0）（c＞0）的距离和M到定直线l：x=a2c 的距离

的比是ca（a＜c），求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状.

通过上面例题，学生是可以很快得出动点M的轨迹方程：x2a2-y2b2=1.

所以点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为2a、虚轴长为2b的双曲线.

提问：通过上题的判断，类比椭圆第二定义的推导，根据例题及习题你能推导出什么结论？

（只要肯培养，学生是有能力类比推导出双曲线的第二定义.）

平面内到定点F（c，0）的距离和到定直线l： x=a2c（点F不在定直线上）的距离的比是常数e=ca（a＜c）的点的轨迹是焦点在x轴上，中心在原点的双曲线.

平面内到定点 F（-c，0）的距离和到定直线l：x=-a2c（点F不在定直线上）的距离的比是常数

e=ca（a＜c）的点的轨迹是焦点在x轴上，中心在原点的双曲线.

提问：同学们能通过对椭圆及双曲线进一步的研究，结合抛物线的定义，给出圆锥曲线的一个统一定义吗？

学生通过小组合作讨论是可以得出圆锥曲线的统一定义：

平面内到定点的距离与到定直线（定点不在定直线上）的距离的比是常数e的点的轨迹叫作圆锥曲线；当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线.

点评 培养学生归纳总结的能力，达到会学会用会思考会合作会总结的目的，这样的学生方能适应未来社会的需求.

4 素养从能力培养中来

《普通高中教科书数学选择性必修第一册人教A版（2019）》P108

例题 如图4，设A、B两点的坐标分别为

（-5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-49，求点M的轨迹方程.

解 设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（-5，0），所以直线AM的斜率kAM=yx+5（x≠-5），

同理，直线BM的斜率kBM=yx-5（x≠5），

由已知，有

yx+5×yx-5=-49（x≠±5），

化简得点M的轨迹方程为

x225+y2100/9=1（x≠±5）

点M的轨迹是除去（-5，0），（5，0）两点的椭圆.

通过这个例题同学们有什么发现？

A、B两点的坐标分别为（-a，0），（a，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是e2-1时（其中e=ca，e2-1<0），

则点M的轨迹方程是

x2a2+y2b2=1（x≠±a，b2=a2-c2）.

P126练习1：已知A、B两点的坐标分别是（-6，0），（6，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是29.求点M的轨迹方程，并判断轨迹的形状.

解 设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（-6，0），所以直线AM的斜率

kAM=yx+6（x≠-6），

同理，直线BM的斜率kBM=yx-6（x≠6），

由已知，有

yx+6×yx-6=29（x≠±5），

化简得点M的轨迹方程为

x236-y28=1（x≠±6）

点M的轨迹是除去（-6，0），（6，0）两点的双曲线.

那么同学们又有什么发现呢？

A、B两点的坐标分别为（-a，0），（a，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是e2-1时，（其中e=ca，e2-1>0）

则点M的轨迹方程是

x2a2-y2b2=1（x≠±a，b2=c2-a2）

结合之前大家的探究，请根据上述的例题和练习，你能得到什么结论？（学生通过独立思考或者合作探讨是可以总结出相应结论的）.

一个动点（两定点除外）到两个定点（a，0）、

（-a，0）连线的斜率的乘积为定值e2-1时，当e2-1<0时这个动点的轨迹是椭圆（不含这两个定点），当e2-1>0时这个动点的轨迹是双曲线（不含这两个定点）.

点评 从提出问题到学以致用，再到提出问题并解决问题，在这一教学过程中，教会学生如何在课本中寻找更多可以进一步思考的内容，挖掘学生的潜能，从而落实数学核心素养的培养，在讨论研究思考的过程中进一步获得学习数学的成就感.

5 结束语

作为一线教师，我们要明白自己的责任不仅仅是教会学生掌握知识本身，还要教会学生懂得自己从课本中发现问题，获取知识的能力，以适应未来生活的需要.正如苏霍姆林斯基所说：“教给学生能借助已有的知识去获取知识，这是最高的教学技巧之所在.”

参考文献：

［1］章建跃，李增沪.普通高中教科书数学选择性必修第一册：A版（2019）[M].北京：人民教育出版社，2020：108-126.

［责任编辑：李 璟］