借助类比思维 破解数学解题困境

黄燕玲

摘 要：高中数学是初中数学知识的延伸、推广、升级与完善，不仅理论知识学习起来晦涩难懂、抽象枯燥、乏味无趣，试题难度更是有较大程度的提升，学生在解题过程中往往会遇到不少障碍与困境，假如不及时加以破解，不仅会影响继续参与解题训练的积极性，还不利于学习数学自信心的树立.教师可指导他们借助类比思维展开解题，使其通过各种类比快速找到解题思路、确定解题方案，最终顺利破解解题困境.

关键词：类比思维；数学解题

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）15-0047-04

类比思维指的是根据两个具有相似或者相同特征的事物进行对比，基于某一事物的已知特征来推测另外一个事物相应特征的思维活动，主要包含两个方面：一方面是联想，即根据新信息把已经学习过的旧信息回忆和引发出来；另一方面是比较，在新旧信息之间寻找相同点与不同点.

1 类比思维在高中数学解题中的主要作用

1.1 类比思维能够提升学生解题效率

在学习数学过程中，学生的解题能力是相当重要的，只有掌握常用的解题技巧，熟练运用解题方法，才可以取得优异成绩.高中数学知识虽然体系庞大、网络错综复杂、分布散乱，但是彼此之间又有一定的联系.借助类比思维解答数学试题时，能够结合学过的解题方法或者知识展开分析，迅速找到解题思路.高中数学知识具有显著的抽象性特征，学生应用类比思维解题，能够将抽象的数学问题转变为自己所熟知的内容，提升解题效率.

1.2 类比思维能够提升学生思维能力

在高中数学教学过程中，涉及的知识点较多，借助类比思维进行解题时，学生可以将不同的知识点整合到一起，结合新旧知识之间的联系展开类比推理，从而找到新的解题路径，破解解题困境.同时，学生在类比思维中对所学数学知识展开充分的延伸与扩展，通过举一反三，构建完善的数学知识框架，巩固原有知识的同时不断深化与丰富，激发创新潜能，借此培养创造能力与逻辑思维能力，进一步提升数学解题水平.

1.3 类比思维能够提升学生解题兴趣

在高中数学解题教学中应用类比思维，能够有效提升学生的学习热情与解题兴趣，使其深入探索解题方法与归纳经验，并获得一定的成就感.以此调动他们进一步学习数学的积极性，体验到学习数学与破解数学解题困境的乐趣.同时，学生借助类比思维破解数学解题困境，有利于自身创造性思维的发展，解题中通过对新旧数学知识联想或者对比，可以加深他们对所学数学知识的理解与掌握，方便在后续解题中更好地应用，提升解决数学问题的兴趣[1].

2 类比思维在高中数学解题中的具体问题

2.1 忽视培养学生的类比思维

数学是一门集演绎归纳为一体的科目，但不少教师在平常教学中都忽视对学生类比思维的培养，只是让他们借助类比推理的方式来解题，这样将会导致不少同学缺乏自我认知意识，影响创新思维能力的发展.长此以往，在这一教学理念与模式下，由于对学生类比思维能力培养的忽视，他们就会缺乏一种根本上的研究意识，最终导致在具体的解题教学中，高中生没有真正掌握并运用类比思维解答数学问题的技巧与能力.

2.2 类比思维仅局限于解题中

当前，一些高中数学教师指导学生借助类比思维破解数学解题困境时，仍然采用以往的“题海战术”，以此来应对考试所带来的压力.其实类比思维不能简单局限于解题训练之中寻找类似点，需要用到剖析数学知识点之间的联系之中，助推他们理清知识要点之间的关联性.

2.3 学生的类比思维水平较弱

眼下，大部分高中生在数学学习过程中，并没有形成一种发现、提出与解决问题的成熟心理与创新意识，以至于他们没有掌握系统化的学习方法，只会纯粹模仿教师教授的方法，通过套用固有公式或做题方式进行解题.长期如此，这些学生就无法借助类比思维简便解题与深化知识，他们的类比思维水平显得较弱，无法清晰掌握类比推理的属性.还有的学生在解题中没有完整理解类比思维的概念，以至于他们解决数学问题时只会把题目信息进行对比，无法从根本上类比、加工题目［2］.

3 类比思维在高中数学解题中的实践应用

3.1 注重类比思维解题，训练学生转化能力

在高中数学教学过程中，主要进行的活动是讲授理论知识和解题训练，类比思维不仅可以用来讲解理论知识，还能够广泛适用于解题，借助类比思维解题通常可以起到不错的效果.因此，高中数学教师在平常的解题训练中可指导学生借助类比思维解题，先简化题目，根据相关数学概念和公式找到解题的突破口，再利用类比思维优化解题思路，使其结合逻辑推理的方式找到新的解题方向与方法，促使他们高效地突破解题困境，并训练个人转化能力［3］.

例1 已知一个小球从100米高的楼顶做自由下落运动，每次小球落地后会反弹至原来高度的一半且继续自由下落，当该小球第10次落地后，一共运动的距离是多远？

分析 解决这一题目的关键就在于运用类比思维，其实该小球的运动情况就类似于一个特殊的函数，学生可先基于变量视角分析得出这个小球前两次运动的总距离，再利用类比思维得到小球每次运动的距离，最后相加起来即可获得答案.详解 根据题意可知，当这个小球进行第一次自由下落运动时，起始点之间的距离为100米，小球第一次落地到第二次落地之间的距离是2×1002＝100米，然后借助类比思维研究小球的运动情况，当该小球第10次落地时一共运动的距离为100+100+1002+10022+10023+…+10028=100+100［1-（1/2）9］1-1/2≈300（米），即该小球一共运动的距离大约是300米.

3.2 教师做好解题导向，学生会用类比思维

高中数学教师在解题训练中可精心设计一些需用到类比思维解决的问题，由此开设专项训练活动，引导学生借助类比思维来破解解题困境，使其学会运用类比思维，提升他们的解题能力［4］.

例2 已知a、b、c、d均为不是0的实数，其中（a2+b2）d2-2b（a+c）d+b2+c2＝0，请证明：a、b、c能够组成一个等比数列，且公比是d.

分析 学生通过阅读题目内容，发现解决本题时需要先把原式与方程的根进行类比，使其发现类比思维可以跨越原有理论的框架，把不同类别的数学知识有机结合起来，让他们在开阔的领域中进行类比推理，从而把结论给证明出来.

详解 根据题意可以判断出（a2+b2）d2-2b（a+c）d+b2+c2＝0存在实根，此时可借助类比思维结合一元二次方程根的相关知识获得Δ＝4b2（a+c）2-4（a2+b2）·（b2+c2）≥0，整理化简之后能够得到-（b2-ac）2≥0，所以b2-ac＝0，也就是b2＝ac，由此证明a、b、c组成一个等比数列；随后设该等比数列的公比为q，那么b＝aq，c＝aq2，将它们分别代入到原式中可以得到d＝q，且d≠0，则d是该等比数列的公比.

3.3 采用类比思维解题，开阔学生解题思路

教师可指导学生借助类比思维解题，使其主动寻求知识要点之间的联系，以及之前用过的类似解题方法，从而开阔他们的解题思路，促进其类比思维能力的发展和强化，提高解题效率[5].

例3 已知点A（x0，y0）为椭圆C：x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）外的一个动点，AE和AF是为椭圆C上的两条切线，且AE与AF是垂直关系，请证明动点A的轨迹方程是x2+y2＝a2+b2.

分析 教师可提示学生采用类比思维将椭圆的性质与圆的性质进行类比，并让他们类比处理直线与圆是相切关系这类试题的解题方法，使其通过类比知识与解法迅速找到解题的切入点，顺利破解解题困境.

详解 若直线AE和AF之间存在一条直线与y轴是平行关系，则说明不存在斜率，动点A的坐标就是（a，b），假如直线AE与AF均不与y轴平行，可设过点A的直线方程为y＝kx+m，代入椭圆的方程后可以得到（a2k2+b2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2＝0，让Δ＝0，即为b2+a2k2＝m2，根据题意可知点A位于直线y＝kx+m之上，那么y0＝kx0+m，则（y0-kx0）2＝b2+a2k2，整理、化简后能得到（x20-a2）k2-2x0y0k+y20-b2＝0，依据韦达定理可得k1k2＝y20-b2x20-a2，再加上过点A的两条切线AE与AF垂直，所以说k1k2＝-1，x2+y2＝a2+b2.

3.4 借助类比思维优势，破解方程解题困境

众所周知，方程和函数之间有着较为密切的关系.在高中数学解题教学中，针对一些难度系数较大的方程类试题来说，如果难以直接求出方程的根，则可以利用类比思维，转变成函数图象交点问题，由此找到解题的切入点，降低试题难度.具体而言，教师在平时的解题训练中，可以专门设计一些求解特殊方程的根的试题，引领学生借助类比思维的优势尝试解答，使其体会到类比思维的价值与作用，帮助他们掌握求解方程根的新方法[6].

例4 已知方程log2x+log3x＝0，求该方程的根时，可设函数f（x）＝log2x+log3x，则函数f（x）在（0，+∞）上呈单调递增，且f（1）＝0，所以原方程有唯一根x＝1，请类比上述思路，求方程（x-1）5+x-1＝34的根.

分析 因为方程的根是对应函数同x轴交点的横坐标，解答这一高次方程时应从题干中获得启示，展开合理类比，即先判断出对应函数的单调性，基于整体视角把握方程根的数量，然后根据个人解题经验确定方程的解集.

详解 结合提供的解题思路展开类比，让f（x）＝（x-1）5+（x-1）-34，求导后可以得到f ′（x）＝4（x-1）4+1，可知x∈R上f ′（x）＞0，由此表明函数f（x）在x∈R上呈单调递增，则函数f（x）与x只存在一个交点，说明原方程只有一个实根，故x-1＝2，解之得x＝3.

3.5 借助类比思维优势，破解数列试题困境

教师可以指引学生借助类比思维的优势，通过类比精准找到解题的关键点，把数列题目由复杂化变得简单化，助推他们形成类比推理的数学思维，且加深对数列类问题的理解，最终能够自主破解困境[7].

例5 已知Sn是数列{an}的前n项和其中a2n+1＝2anSn，且an＞0，如果对任意n∈N*，S4n-2S2n≤m×2n恒成立，请求m的取值范围（  ）.

A.m≥14 B.m≥38 C.m≥12 D.m≥1

分析 题干中给出的式子比较繁杂与特殊，解题时不能只使用数列知识，还要同函数知识进行类比，以构造函数的方式找解题突破口.

详解 因为an＝Sn-Sn-1（n≥2），a2n+1＝2anSn，把这两个式子联立起来，整理化简后可以得到S2n-S2n-1＝1（n≥2），由于a1＝S1，将其代入a2n+1＝2anSn中可求得S21＝1，由此说明{S2n}是一个首项是1，公差是1的等差数列，则S2n＝n，由于S4n-2S2n≤m×2n，则n2-2n≤m×2n，整理后可以得到m≥n2-2n2n对于任意n∈N*恒成立.当n＝1时，n2-2n2n＝-12；当n＝2时，n2-2n2n＝0；当n＝3时，n2-2n2n＝38；当n＝4时，n2-2n2n＝12；当n≥4时，通过类比思维能构造函数f（n）＝n2-2n2n，属于减函数，则n2-2n2n的最大值为12，所以m≥12，故C选项是正确答案.

3.6 借助类比思维优势，破解几何解题困境

几何知识主要包含平面几何、立体几何与解析几何三大类，几何知识之间同样存在着一定的相似性，能够通过类比思维加以运用，为解题提供新的思路.在高中数学解题教学中，当处理难度较大的几何试题时，教师可指导学生充分借助类比思维的优势，认真阅读和思考题目内容，以类比思维为依托，推导平面几何中的一些性质在立体几何中是否适用，或者从平面几何结论视角分析立体几何知识，促使他们亲身感受类比过程，破解解题困境[8].

例6 在一个直角三角形中，∠A＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，该直角三角形的内切圆半径是r，根据S△ABC＝12bc可得S△ABC＝12ar+12br+12cr，以及r＝bca+b+c，类比上述方法，在三棱锥P-ABC中∠BAC＝90°，PA平面ABC，△ABC，△PAB，△PAC，△PBC的面积分别是S1，S2，S3，S4，那么该三棱锥的内切球半径是什么？

分析 本题以学生熟悉的平面几何知识为切入点，要求利用类比思维推导出立体几何中的相关结论.由于提供已知条件不够多，学生需透过现象看本质，大胆设出相关参数，运用所学知识展开严谨推理，既能巩固个人所学，又可锻炼类比推理能力.

详解 结合题意可设AB=a，AC=b，PA=c，三棱锥的内切球球心是O，半径是r，那么VP-ABC=13×12abc，类比可得VP-ABC=VO-ABC+VO-PAB+V0-PAC+VO-PBC=13S1r+13S2r+13S3r+13S4r=13r（S1+S2+S3+S4），即为r=abc/2S1+S2+S3+S4，又因为S1=12ab，S2=12ac，S3=12bc，则S1S2S3=18a2b2c2，

12abc=2S1S2S3，那么r=2S1S2S3S1+S2+S3+S4.

4 结束语

在高中数学解题训练活动中，类比思维有着相当广泛的应用.教师需帮助学生牢固掌握类比思维的定义、本质与运用技巧，据此设置专题训练，带领他们在借助类比思维解答数学试题的过程中，回顾、联想试题中涉及的数学知识，学会类比思维的使用技巧，掌握类比思维的精髓，养成良好的解题习惯，最终实现对数学解题困境的高效破解.

参考文献：

［1］张跃骜.基于类比推理的高中数学解题教学思考[J].数理天地（高中版），2022（13）：61-63.

[2] 刘广申.基于类比推理思维的高中数学解题探究[J].数理化解题研究，2022（3）：8-10.

[3] 曹阳，李海瑞.类比推理在高中数学解题中的应用研究[J].理科爱好者（教育教学），2021（1）：80-81.

[4] 施伟琛.类比思维在高中数学解题中的运用[J].数学大世界（上旬），2021（4）：73.

[5] 万扬扬.基于类比推理的高中数学解题探索[J].数理化解题研究，2021（18）：10-11.

[6] 张宇.论类比思维下的高中数学解题方法[J].数理化解题研究，2021（19）：38-39.

[7] 付志兴.类比推理在高中数学解题中的运用研究[J].中学生数理化（自主招生），2020（Z1）：42.

[8] 苟菊桃.探究类比推理在高中数学解题中的应用[J].科技资讯，2020，18（17）：101-102

［责任编辑：李 璟］