二项分布最值问题的结论与应用

2024-07-03王震

数理化解题研究·综合版 2024年5期

王震

摘要：本文利用作商法探究二项分布中的最值问题，给出“最可能成功次数”的定义，并得到最值问题的相关结论，最后结合高考模拟试题谈谈结论的应用.

关键词：二项分布；最值问题；最可能成功次数

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2024）15-0014-03

二项分布的最值问题，实质上就是在求“最可能成功次数”.这是二项分布的一个重要概念，在2019年人教A版教科书《数学选择性必修第三册》中虽然没有直接提到这一概念，但在81页《探究与发现》栏目中，专门讨论了二项分布的性质，其所讨论的问题就是在求最可能成功次数.

1 二项分布

一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则

P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.

此时称随机变量X服从二项分布[1]，记作X～B（n，p），并称p为成功概率.

注注意到Ckn（1-p）n-kpk，k=0，1，2，…，n，是二项式［（1-p）+px］n展开式中xk项的系数，因此称其为二项分布.

2 二项分布的期望与方差

若X～B（n，p），则E（X）=np，D（X）=np（1-p）.

3 二项分布最值问题的一个结论当n，p固定时，P（X=k）=Ckn（1-p）n-kpk先随k增大而增大，达到某一最大值后又逐渐下降.

由于0

P（X=k）P（X=k-1）=（n-k+1）pkp=1+（n+1）p-kkp，

因此

当k<（n+1）p时，P（X=k）>P（X=k-1）；

当k=（n+1）p时，P（X=k）=P（X=k-1）；

当k>（n+1）p时，P（X=k）

令m=［（n+1）p］（即m是（n+1）p的整数部分），由以上分析知，当k从0变到n时，P（X=k）先单调递增，当k=m时达到最大值，然后单调递减.但若（n+1）p=m，则此时P（X=k）=P（X=k-1）同时达到最大值.

使P（X=k）取最大值的项P（X=m）称为P（X=k）的中心项，而m称为最可能成功次数.若（n+1）p是整数，也是最可能成功次数.

4 结论的应用

例1 如果某射手每次击中目标的概率为0.8，每次射击的结果相互独立，那么他在10次射击中，最有可能击中目标几次[2]？

解设他在10次射击中，击中目标的次数为X，由于射击中每次射击的结果是相互独立的，因此X～B（10，0.8）.于是恰好k次击中目标的概率为

P（X=k）=Ck10×0.8k×0.210-k，k=0，1，2，…，10.

从而

P（X=k）P（X=k-1）=（10-k+1）×0.8k×0.2

=1+11×0.8-kk×0.2，k=0，1，2，…，10.

于是，当k<8.8时，P（X=k-1）8.8时，P（X=k-1）

由以上分析可知，他在10次射击中，最有可能击中目标8次.

例2 （2020年东北三省二模）N95型口罩是新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径≥0.3 um的颗粒的过滤效率达到95%以上.某防护用品生产厂生产的N95型口罩对空气动力学直径≥0.3 um的颗粒的过滤效率服从正态分布N（0.97，9.025×10-5）.

（1）当质检员随机抽检10只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径≥0.3 um的颗粒的过滤效率为93.6%，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况.请你根据所学知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据.

（2）该厂将空气动力学直径≥0.3 um的颗粒的过滤效率达到95.1%以上的N95型口罩定义为“优质品”.

①求该企业生产的一只口罩为“优质品”的概率；

②该企业生产了1 000只这种N95型口罩，且每只口罩互相独立，记X为这1 000只口罩中“优质品”的件数，当X为多少时可能性最大（即概率最大）？

解（1）过程略.

（2）①不妨记：“N95口罩的过滤效果”为Y，则一只口罩为“优质品”的概率为

P（Y>0.951）=P（Y>0.97-2σ）

=1-［12-P（0.97-2σ

=0.977 2.

②依题意X～B（1 000，0.977 2），记n=1 000，p=0.977 2，P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k（k=0，1，2，…，1 000）.

问题等价于求当k取何值时P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k取得最大值.

方法1 由

Cknpk（1-p）n-k≥Ck-1npk-1（1-p）n-k+1Cknpk（1-p）n-k≥Ck+1npk+1（1-p）n-k-1，

化简得pk≥1-pn+1-k1-pn-k≥pk+1，即（n+1）p-1≤k≤（n+1）p，

从而1 001p-1≤k≤1 001p，解得k=978.

方法2 由于对0

P（X=k）P（X=k-1）=（n-k+1）pkp=1+（n+1）p-kkp，

因此

当k<（n+1）p时，P（X=k）>P（X=k-1）；

当k=（n+1）p时，P（X=k）=P（X=k-1）；

当k>（n+1）p时，P（X=k）

以上分析知，P（X=k）在（0，（n+1）p）单调递增，在（（n+1）p，n）单调递减.

代入数据得，（n+1）p=1 001×0.977 2=978.177 2，而k是正整数，所以P（X=978）>P（X=977）且P（X=979）

例3 设某种疾病的发病概率是0.01，问在500人的社区中进行普查，最有可能的发病人数是.

解设发病人数为X，易知X～B（500，0.01）.

知n=500，p=0.01，（n+1）p=5.01，［（n+1）p］=5，

所以最有可能发病的人数为5.

例4 （2020年吉林梅河口五中模拟）在庆祝澳门回归祖国20周年之际，澳门特别行政区为了解人们对回归20年的幸福指数，随机选择了100位市民进行了调查，将他们的年龄（单位：岁）分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]，并绘制了如图1所示的频率分布直方图.

（1）现从年龄在[20，30），[30，40），[40，50）范围内的人员中，按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机选取3人进行座谈，用ξ表示年龄在[30，40）范围内的人数，求ξ的分布列和数学期望；

（2）若将样本的频率视作概率，记X表示用随机抽样的方法从该地区抽取20名市民进行调查，其中年龄在[30，50）范围内的人数.当P（X=k）（k=0，1，2，…，20）最大时，求k的值.

图1 例4题图

解（1）E（ξ）=3/4，过程略.

（2）由题意知，X服从二项分布，由频率分布直方图可知，年龄在[30，50）范围内的频率为（0.010+0.025）×10=0.35，则X～B（20，0.35），P（X=k）=Ck20（0.35）k（0.65）20-k（k=0，1，2，…，20）.

设t=P（X=k）P（X=k-1）=Ck20（0.35）k（0.65）20-kCk-120（0.35）k-1（0.65）21-k=7（21-k）13k（k=0，1，2，…，20）.

若t＞1，则k＜7.35，P（X=k）>P（X=k-1）;

若t＜1，则k＞7.35，P（X=k）

所以k=7时，P（X=k）最大.

例5 某款自营生鲜平台以及提供配送服务的生活类App主要提供的产品有蔬菜、豆制品、水果、肉禽蛋、水产海鲜、米面粮油、食品等.某机构为调查顾客对该软件的使用情况，在某地区随机抽取了100人，调查结果整理如下：

年龄段20以下[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）70以上

使用人数510188420未使用人数002123630