联想旧知巧转化探究变式促提高

刘芳

摘要：积累是解题的前提，平时积累的知识、方法、经验都是用来解决“新问题”的有力武器.解题教学应注重引导学生产生丰富的联想，在挖掘题目的已知条件、深刻分析图形结构特征的基础上，利用旧知，构造辅助线，利用已有结论、方法拟定解题思路与方法.同时，要对题目进行变式探究，不断提高对原问题的认识水平，进一步提高解题经验，提升数学素养.

关键词：正方形；转化；变式

1 试题呈现

例题如图1，正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，F是BE的中点，点H在CD上，∠EFH＝45°，则FH的长度是.

本题以正方形和45°角及中点等几何元素为知识背景设置问题，图文简洁，条件清晰，背景熟悉，立足“四基”，较好地考查学生的知识储备及灵活运用知识、技能解决问题的能力，体现“价值引领，素养导向，能力为重，知识为基”的评价理念.

2 试题溯源

著名数学教育家G·波利亚在《怎样解题》“拟定方案”中指出：“你以前见过它吗？或者你见过同样的题目以一种稍有不同的形式出现吗？”“你知道一道与它有关的题目吗？你知道一条可能有用的定理吗？”“观察未知量，并尽量想出一道你所熟悉的具有相同或相似未知量的题目”.

打开我们记忆的宝库，有一个以前解决过的问题：如图2，正方形ABCD中，点E，H分别在AD，CD上运动，且∠EBH＝45°.

求证：AE＋CH＝EH.

简解：如图3，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBG，再证△EBH≌△GBH，则EH＝GH＝CG＋CH＝AE＋CH.此即为经典的“半角模型”结论.

3 解法探究

有了“以前问题”的方法指引，可以将45°角转移到正方形的顶点B处.解答如下：

解：如图4，把△ABE绕点B逆时针旋转90°得到△CBG，并作∠EBG的平分线BM交CD于点M，连接EM.

易知△ABE≌△CBG.

于是CG＝AE＝2，BE＝BG，∠EBG＝90°.

由角平分线知，∠EBM＝∠GBM＝45°，

所以△EBM≌△GBM（SAS）.

设CM＝x，则EM＝MG＝x＋2，DM＝6-x.

在Rt△DEM中，42＋（6-x）2＝（x＋2）2.

解方程，得x＝3.

所以M是CD的中点.

连接MF并延长交AB于点N，延长HF交AB于点Q.

由NQ∥HM，得

FHQH＝FMNM.①

而∠EFH＝∠FBM＝45°，则QH∥BM.又BQ∥HM，所以

四边形QBMH是平行四边形，则

QH＝BM＝CM2+BC2＝35.

②

又M是CD的中点，F是BE的中点，所以FM是梯形BCDE的中位线，则

FM＝5，FN＝1.

③

结合①②③，得FH35＝56，所以FH＝552.

点评：由题目中的正方形和45°角联想到“半角模型”，作出辅助线，利用以前的解答方式易求得M是CD的中点.这也是结合题目条件及“旧知”产生的结果，方法经典，是常见而有效的解题途径.进一步观察、分析，发现有3个特殊的结论，即FM是梯形BCDE的中位线，四边形QBMH是平行四边形，8字形模型.试题指向抽象能力、几何直观、数学运算、模型观念、创新能力、应用意识的考查，对学生的几何推理及分析问题、解决问题的能力的要求较高.

4 问题变式

变式1探求面积.

问题1原条件不变，求四边形EFHD、四边形BFHC的面积.

解析：结合前面的解答，易求四边形EFHD的面积等于梯形EDMF的面积减去△FHM的面积，所以四边形EFHD的面积为294；用梯形DEBC的面积减去四边形EFHD的面积，易求得四边形BFHC的面积为914.

变式2设置成动态问题.

问题2如图5，正方形ABCD中，DE＝2AE＝4，点F在线段BE上运动，点H在边CD上运动，且∠EFH＝45°，求线段FH长度的变化范围.

解析：结合前面的解答，如图6，易知点F与点B重合时，FH的最大值为35；当点H运动到点D时，FH的最小值为1255.所以FH长度的变化范围是1255≤FH≤35.

变式3将正方形演化成矩形，求有关线段长.

问题3如图7，矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且∠EAF＝45°＝∠CEF，若BE＝3，DF＝1，则EF的长为.

解析：如图8，作出△AEF的外接圆，设圆心为O，连接OA，OF，OE，易知OA＝OE＝OF，∠EOF＝2∠EAF＝90°.

因此四边形OECF是正方形，延长EO交AD于点G，则AG⊥GE.

在Rt△AOG中，

OA2＝OG2＋AG2＝DF2＋BE2＝10.

所以OA＝10，故EF＝2OE＝25.

5 教学启示

不少学生害怕平面几何，面对平面几何题目时常常无所适从，无法在短时间内拿出解题方案.通过这道看似平凡的几何填空题的解答，可得到如下启示：

（1）关注知识关联，合理构造辅助线

可以发现，核心知识是每次考试的必考点，如本文题目中的中点、45°角、特殊四边形等知识，都是初中平面几何内容的核心知识，牢固掌握知识体系，进行理性思考是核心素养的根本.一般来说，核心知识是载体，核心思想是途径，核心素养是目标.在几何图形中，构造基本图形并运用基本图形的性质，是学好几何的关键.如本题要善于识别图中基本图形，并勾画出适当的基本图形，并运用它的性质，如“半角模型”、“8字形”相似、中位线模型、“方程”模型等这些基本图形.数学问题中有特定特征的几何基本图形里往往蕴含着简单的结论，而辅助线通常是关联不同基本图形的纽带，这些辅助线往往“横跨”两个或多个基本图形，可以将内隐在问题中几何图形的特征和性质外显出来，将条件与结论之间架起逻辑关系.从某种意义上来说，构造辅助线是考查学生解题能力的命根，是突破解题的关键.

（2）注重解题研究，提升数学素养

在平时教学中，不少老师习惯选择最优解法，用最少的时间去讲解作业或试卷中的试题，很少肯花时间让学生去思考，导致学生一听就懂，但遇到陌生的“生僻”问题时又找不到行之有效的解题方法，这样循环往复，老师就觉得学生“笨”，“怎么讲过的题还是不会做？”因此，在平时解题活动中，要引导学生对典型题包括选择题、填空题进行深度探究，要舍得花时间让学生去思考、分析：这些条件是如何与所求结论联系起来的，是通过哪条线、哪个角进行转化的，为什么可以这样连辅助线？解题后要进行反思、总结：当时是如何想的？为什么老师这样解答？这样的解题方式对以后的解题有什么帮助？要进行一题多解、一题多变、多解归一等变式训练，注重积累解题经验.

（3）关注问题本质，实行变式训练

现行中考试题中不少试题改编自我们课堂训练过的题目，不少题目似曾相识，但又有所创新，这体现了中考试题源于教学课堂，注重数学问题本质内涵的考查.因此，我们在平时的解题教学中善于分析数学问题，挖掘隐含在其中的本质内涵，并且要对蕴含于题目的数学思想、方法进行变式训练.变式训练是将知识转化为技能的重要途径，通过一个问题连续不断的多个变式，促使学生感受图形、题目之间的内在联系，完善认知结构，领悟思想方法，感悟数学本质，积累解题经验，从而更好地掌握技能，提高数学素养.

总之，在平时的解题教学中，我们要精挑细选一些好的考题，从多角度探究解法、总结思路，并给出同种习题的变式，助力学生举一反三，达到更高的解题境界.