走近中考创新题，培养学生应变力

王兴林

【摘要】做任何工作都不能墨守成规，需要不断创新，只有创新，才能发展和进步，解决数学问题也是如此，所以在中考数学试题中不断出现创新类试题，以此考查考生的类比、迁移和随机应变等能力.

【关键词】初中数学；创新题；解题技巧

中考试题除了考查基础知识和基本技能，还会考查灵活应用性问题，比如创新题型.创新型数学问题的命制是以代数式、方程、不等式、函数、三角形、四边形及圆等常规知识为基础，赋予新的定义、新的情境等进行“包装”，使平淡的题目焕发新的活力，让人们感受到数学的魅力．培养学生在新情境下分析和解决问题的能力，考查学生发散性思维和创新、探索和创造精神，是各类试题的一道亮丽风景线．下面以2023年各地中考试题为例予以说明.

创新1

新定义

新定义试题是给出一个全新的、从来没有见过的新概念或者新规定，要求考生现学现用，其目的是为了考查考生对图文的阅读和理解、分析、创新及应变能力，培养学生逻辑推理、自主探究的素养．

例1 （2023·重庆中考）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，因为7－1=6，3－1=2，所以7311是“天真数”；四位数8421，因为8－1≠6，所以8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为______；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记PM=3a+b+c+d，QM=a－5，若PMQM能被10整除，则满足条件的M的最大值为______．

答案为：6200，9313．

点睛

本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，准确理解“新定义”的含义是解决此类问题的前提，灵活运用是关键．

创新2

数学文化

数学文化考题是把数学史、数学模型、数学语言、数学美学、数学方法相结合，考查考生对数学知识的理解、对数学文化的鉴赏、对数学方法的迁移，备受命题者青睐.

例2 （2023·江苏徐州统考中考真题）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到：玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆形器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．

（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为   ；

（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．

①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？

②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．

分析

（1）根据圆环面积可进行求解；（2）①先确定该圆环的圆心，然后利用圆规确定其比例关系即可；②先确定好圆的圆心，然后根据平行线所截线段成比例进行作图．

详解

（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为π×32－12=8π，

环的“肉”的面积为π×32－1.52=6.75π，

所以它们的面积之比为8π∶6.75π=32∶27;

（2）①在该圆环内任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB，AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可.

由作图可知满足比例关系为1∶2∶1的关系.

②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作BE的平行线，交AB于点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解，如图5所示.

点睛

本题考查平行线所截线段成比例和圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质及平行线所截线段成比例是解题的关键．弘扬传统文化在数学中体现为两点：一是挖掘古代典籍与数学知识的结合点，二是将数学落实在“弘扬正能量”的传统美德上．

创新3

定义“新运算”

“新运算”是指在已经学习过的运算法则和运算律的基础上，定义一种新的运算方法，常常使用一些特殊字符，如“”“*”“※”等.“新运算”类问题的情境一般比较陌生，需要先准确理解“新运算”法则，才能灵活运用．新定义的算法在转化前，不适合已经学过的运算法则的，需要化生为熟.

例3 （2023·重庆中考）在多项式x－y－z－m－n（其中x>y>z>m>n）中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x－y－|z－m|－n=x－y－z+m－n，x－y－z－m－n=x－y－z－m+n，…．下列说法：

①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．

其中正确的个数是（  ）

（A）0.   （B）1.   （C）2.   （D）3.

分析

根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．

答案选（C）．

点睛

本题考查新定义题型，根据给定的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有可能的结果比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．

当然，数学试题的创新还有很多，如，跨学科交汇、探索性问题、实践操作类问题等等.限于篇幅，在此不再一一赘述.