凸显概念教学 落实核心素养

顾文银

1 问题的提出

数学概念是数学的逻辑起点，是激发与升华数学思维的保障，也是培养多种核心素养的重要载体.数学教育教学领域十分关注数学概念教学策略问题的探讨和研究.可见，以核心素养为指导进行数学概念教学是值得深思的.本文给出了“曲线和方程”这一节课新教学设计下的具体实践，并提出了核心素养指导下概念教学的一些思考.

2 教学过程

2.1 问题前置，创境引思

师：我们已经学习了解析几何的一些知识，如“直线与圆的方程”.那么，大家知道哪位数学家被称为解析几何之父吗？

生（齐）：笛卡儿.

师：很好，让我们一起来一场与他的“亲密接触”！（课件展示：数学的两大分支“代数”与“几何”完美结合成为解析几何，通过二者的相互结合、相互促进，它们一改往日的缓慢进展，变得愈发迅猛，最终向着完美的方向前进，这样伟大的贡献源于——笛卡儿.由于他对数学事业的杰出贡献，产生了以他名字命名的“笛卡儿坐标系”.）

师：笛卡儿坐标系有哪些？

生1：平面直角坐标系.

师（追问）：在平面直角坐标系中，点与坐标的对应关系如何？

生（齐）：一一对应.

师：若点运动成了曲线，是否还有方程与曲线对应？又该如何去求这样的方程的呢？（学生若有所思.）

师（拾级而上）：今天就让我们一起来研究这些问题.（板书课题.）

设计意图：课堂引入的形式多样，从数学史角度引出新课题是其中的一种，形象生动.学生似懂非懂，此时最能激起思维的浪潮，激发探索的热情，感悟理解新知的实际意义.

2.2 初步探索，形成感知

问题1  如图1，方程x-y=0，|x|-|y|=0，x-y=0中表示第一、三象限的角平分线的有哪些？为什么？

生2：方程x-y=0可以，其余均不可以.

师：理由呢？

生2：方程|x|-|y|=0，即方程y=±x，它对应的图形即为两条直线（见图2），对照图1，多出了一部分，所以不可以；方程x-y=0，即方程y=x（x≥0），它对应的图象即为一条射线（见图3），对照图1，又缺失了一部分，所以也不可以；而方程x-y=0所对应图象恰好就是表示第一、三象限的角平分线.

生3：点集.

师：很好！那图3中，射线上的点与方程x-y=0的解又是什么样的关系呢？

生4：一一对应.

师：我们将A视为直线上点的集合；B视为以方程的解为坐标的点的集合，那么问题1中各个方程的集合B与集合A的关系如何？

生5：“x-y=0”是“A=B”；“|x|-|y|=0”是“AB”；“x-y=0”是“BA”.

师：还能再精确些吗？

生6：“x-y=0”是“A=B”；“|x|-|y|=0”是“AB”；“x-y=0”是“BA”.

师：真棒！那么，从直线上点与方程解的对应关系的视角该如何阐释呢？

生6：以方程x-y=0的解为坐标的点均在直线上……

师：可以如此精确而全面地阐述，真是太棒了！现在思考“方程表示直线的条件”，谁能试着归纳？

生7：方程表示直线的条件——以方程的解为坐标的点均在直线上；直线上所有点的坐标均为方程的解.简记为“方程→直线，直线→方程”.（其余学生被生7的一番阐述所震惊，有赞同，有钦佩，有惊叹.）

师：生7在归纳条件的基础上还能进行提炼，太妙了，充分展示了他的探索力和创造力！来，掌声送给他！（此时，如雷鸣般的掌声响起……）

问题2  试着画出方程x=1-y2（y≥0）所对应的曲线.

师：谁来试一试？（有学生自告奋勇板演出图4.）

师：是个半圆，为什么呢？

生8：由x=1-y2（y≥0），得出x2+y2=1（y≥0），所以它对应的图形是个半圆.

师：似乎有点道理.真的是半圆吗？（学生开始小声讨论，有的陷入沉思.）

生8：我想到了，不对！方程x=1-y2（y≥0）中实则还包含了隐含条件x≥0，所以可得x2+y2=1（x≥0，y≥0），它对应的图形应该是四分之一圆，如图5所示.

师（追问）：你能基于“方程的解与圆弧上的点的对应关系”的视角，具体说一说图4不可以而图5可以的原因吗？

生8：图4满足“方程→圆弧”，但不满足“圆弧→方程”；而图5两个方向均满足.（学生都点头赞同生8的观点.）

师：那我们再来思考“圆弧表示方程所对应的曲线的条件”，谁来归纳？

生9：圆弧表示方程所对应的曲线的条件是“方程→圆弧、圆弧→方程”均满足.

设计意图：“曲线与方程”是学生比较陌生的概念，不易与生活经验对接.像这样的概念教学，我们只有通过已有知识经验来搭桥引路，采用问题驱动的方式，通过解析几何中最为核心的两个问题来达成曲线与方程的双向研究，让学生在深度学习中获得初步感知，为之后的生成提供有效助力.

2.3 深入探究，有效生成

问题3  在问题1和2的基础之上，进一步思考：

（1）若用方程f（x，y）=0表示给定的曲线C，则该方程需满足哪些条件？

（2）若用一条曲线C表示给定的方程f（x，y）=0，则该曲线需满足哪些条件？

师：根据你们刚才探索获得的理解，解决问题3.先独立思考，再小组交流你是怎么想的，5分钟后展示你的想法.（学生自然进行思考和讨论.）

师：谁来说一说呢？

生10：在第（1）问中，方程需要满足2个条件，即“以方程的解为坐标的点均在曲线上”“曲线上的点的坐标均为方程的解”.

生11：在第（2）问中，曲线需要满足2个条件，即“以方程的解为坐标的点均在曲线上”和“曲线上的点的坐标均为方程的解”.

师：非常好！（课件呈现具体概念.）

师（追问）：这个概念中两个条件可以去掉一个吗？概念中的“能”可以去掉吗？

生12：不可以，两个条件缺一不可.“能”字也不能去掉，它代表无一例外.

师：我们将A视为曲线上的点所构成的集合；B视为以方程的解为坐标的点所构成的集合，请阐述这两个条件所对应的集合A，B的关系.

生（齐）：条件1表示AB；条件2表示BA.

师：概念中条件1、条件2同时成立，表示什么？

生13：A=B.

师：方程f（x，y）=0的解与曲线C上的点一一对应.曲线C的方程即为f（x，y）=0，我们也可以说曲线f（x，y）=0.

设计意图：数学的严谨性是毋庸置疑的，因而概念的叙述也需准确精炼，所以概念的论述需要步步有依据且简洁明了.在以上设计中，学生通过从具体到抽象的学习，能够获得概念的内化，水到渠成地生成概念，同时可以很好地孕育抽象概括能力与创造性思维能力.

2.4 小试牛刀，巩固提升（略）

2.5 课堂小结，总结提升（略）

3 教学评析与思考

3.1 基于“生本理念”，设计适切问题

基于“生本理念”，就是很好地关注学生已有的知识、经验和当前学习内容的有机联系，设计适切的问题，激荡学生的探究之情.本课的导入中通过一位数学家的故事将以前学过的“点与坐标的关系”和即将要学的“曲线与方程的关系”联系在一起，从一个较高的角度让学生体验和感知“数形结合”的魅力，自然而然地从已有知识区域向着四周发散开去，就这样，新的发展区域水到渠成地出现了.显然，这样的问题导入不仅有趣，也是高效的.

3.2 基于“三个理解”，准确实施教学

数学教师不仅需要传授数学知识，还需要将数学意识与数学思想传授给学生，需要从学生的认知心理、智能水平和学习需求出发，基于“三个理解”准确定位和实施教学，让学生沉浸于教师营造的探索环境之中，通过自己的想象、思考、实践、表达去主动发现规律、生成知识、体验成功，最终培养和发展数学核心素养.