求解逆变分不等式的二阶动力系统方法

郭洋俊骁 李军

DOI：10.16246/j.issn.1673-5072.2024.04.005

收稿日期：2023-05-31  基金项目：国家自然科学基金项目（11871059）

作者简介：郭洋俊骁（2000—），男，硕士研究生，主要从事优化理论及其应用研究。

通信作者：李军（1974—），男，教授，硕士生导师，主要从事优化理论及其应用研究。 E-mail：junli@cwnu.edu.cn

引文格式：郭洋俊骁，李军.求解逆变分不等式的二阶动力系统方法［J］.西华师范大学学报（自然科学版），2024，45（4）：375-380.［GUO Y J X，LI J.Second-order dynamical system method for solving inverse variational inequalities［J］.Journal of China West Normal University （Natural Sciences），2024，45（4）：375-380.］

摘  要：在强单调和Lipschitz连续性的条件下，在Euclidean空间中提出了一种新的求解逆变分不等式的二阶动力系统方法。首先，给出了逆变分不等式解的存在性和唯一性。进一步地，改进了Vuong等构建的二阶动力系统，并以此来求解逆变分不等式，而且在Lipschitz连续性的条件下，该动力系统具有唯一强全局解。最后，利用在强单调和Lipschitz连续性的假设下逆变分不等式唯一解的误差界，来证明此条件下该动力系统的唯一强全局解是指数收敛的。

关键词：强单调；Lipschitz连续性；逆变分不等式；二阶动力系统；强全局解；指数收敛

中图分类号：O221    文献标志码：A    文章编号：1673-5072（2024）04-0375-06

逆变分不等式在各个学科中都有着广泛的应用。Scrimali［1］将逆变分不等式应用于经济学中的市场均衡问题。此外，在交通运输、电信网络和政策设计问题中出现的一些规范性流量控制问题，同样可以用逆变分不等式来解释［2-4］。求解逆变分不等式的算法相继被众多学者研究应用。He等［5］提出了一种求解逆变分不等式的基于邻点的算法，并将其应用于其中的一个三方市场均衡问题。He和Liu［6］研究了一种新的求解逆变分不等式的投影型方法。

近年来，一阶和二阶动力系统方法在解决不动点问题、变分不等式和单调包含问题等方面得到了广泛的研究［4，7-11］。Vuong等［4］提出并研究了一个求解逆变分不等式的一阶动力系统，其关键思想是将逆变分不等式重新表述为一个适当算子的不动点问题，然后通过考虑一个与不动点映射相关联的动力系统来接近逆变分不等式的解集。这类似于文献［7］使用的关于单调包含和变分不等式的策略，在强伪单调性和Lipschitz连续性下，证明了一阶动力系统生成的轨迹指数收敛于唯一解。而文献［10］在Hilbert空间中构建了求解均衡问题的二阶动力系统，在温和条件下，证明了该二阶动力系统强全局解的存在唯一性，并建立了在强伪单调性和Lipschitz连续性的条件下轨迹的指数收敛性。而本文则在Euclidean空间中，对此二阶动力系统进行了改进，用于求解逆变分不等式，并证明了改进后的二阶动力系统具有唯一的强全局解，从而建立了在强单调和Lipschitz连续性的条件下轨迹的指数收敛性。

本文具体研究内容如下：首先介绍了本文所涉及的一些基本定义、引理等；其次证明了逆变分不等式解的存在性，并给出了逆变分不等式解的唯一性条件，以及其唯一解的误差界；然后改进Vuong［10］构建的二阶动力系统，提出了求解逆变分不等式的二阶动力系统方法，并证明了在Lipschitz连续性的条件下该动力系统具有唯一强全局解；最后利用在强单调和Lipschitz连续性的假设下逆变分不等式唯一解的误差界，来证明此条件下该动力系统的唯一强全局解是指数收敛的。

1  预备知识和基本概念

设Sn，称S为仿射集，若集合S中任意两点所确定的直线仍包含于S，即有下式成立

x，y∈S，θ∈（1－θ）x+θy∈S。

称S为凸集，若集合S中任意两点的连线仍包含于S，即有下式成立

x，y∈S，α∈［0，1］（1－α）x+αy∈S。

给定函数f：n→（－

SymboleB@ ，+

SymboleB@ ］，称集合domf={x∈nf（x）<+

SymboleB@ }为f的有效域，称集合epif={（x，r）∈n×f（x）

SymboleB@ ，+

SymboleB@ ］是正常的，若x∈n，使得f（x）<+

SymboleB@ 。对任意集合Sn，包含S的最小的仿射集称为仿射包，记为affS。设x∈S，则称x为S的相对内点，若存在x的某邻域U，使得U∩ affSS。S的所有相对内点的集合称为S的相对内部，记为riS。

n中的内积和范数分别记为〈·，·〉和‖·‖。若没有特别说明，本文始终假设M是n中的一个非空闭凸子集，令A：n→n是一个连续算子。本文考虑逆变分不等式问题由IVI（A，M）表示：x∈n，使得Ax∈M有

〈x′－Ax，x〉0，  x′∈M，（1）

IVI（A，M）的解集表示为Sol（A，M）。

定义1［12］  假设A：n→n的一个单值映射。称：

（i）A是γ-强单调，如果存在γ>0，使得〈Ax－Ay，x－y〉γ‖x－y‖2对任意的x，y∈n都成立；

（ii）A是L-Lipschitz连续，如果存在L>0，使得‖Ax－Ay‖L‖x－y‖对任意的x，y∈n都成立。

定义2［12］  设Sn为非空集合，对任意的x-∈S，定义在x-处的切锥Ts（x-），即

Ts（x-）={y∈nlimk→

SymboleB@ αk（xk－x-）=y，limk→

SymboleB@ xk=x-，xk∈S，αk>0，k=1，2，…}。

对任意锥Cn，C的极锥C*定义为C={y∈n〈y，x〉0，x∈C}。则切锥Ts（x-）的极锥Ts（x-）*称为S在x-处的法锥，记为Ns（x-），Ns（x-）={z∈n〈z，y〉0，y∈Ts（x-）}。当S为凸集时，法锥可以表示为Ns（x-）={z∈n〈z，x－x-〉0，x∈S}。

定义3［12］  给定正常凸函数f：n→（－

SymboleB@ ，+

SymboleB@ ］，考虑任意一点x∈domf，定义f在点x处的次微分为f（x）∶={ζ∈nf（y）－f（x）〈ζ，y－x〉，y∈n}。

定义4［12］   设Sn为非空凸集，称S中与点x∈n距离最近的点为x在S上的投影，记为PS（x），即PS（x）为S中满足如下条件的点：‖x－PS（x）‖=min{‖x－z‖z∈S}。

引理1［12］  设Sn为非空凸集，则对任意点x∈n，x在S上的投影PS（x）存在且唯一，并满足：〈x－PS（x），z－PS（x）〉0， z∈S，和‖PS（x）－PS（y）‖‖x－y‖，  x，y∈n。

引理2  ［12］  若≠Sn为凸集，x∈S，则必有Ns（x）={ξ∈n〈ξ，y－x〉0，y∈S}=δs（x），其中函数δs为给定集合Sn的示性函数，定义为δs（x）=0，x∈S，+

SymboleB@ ，xS。

引理3［12］  对于正常凸函数F：n→（－

SymboleB@ ，+

SymboleB@ ］与任意实数λ>0，必有

（λF）（x）=λF（x），x∈n。（2）

除此以外，给定正常凸函数Fi：n→（－

SymboleB@ ，+

SymboleB@ ］（i=1，…，m），则有

F1（x）+…+Fm（x）（F1+…+Fm）（x），x∈n。（3）

若ri domF1∩…∩ri domFm≠，则（3）式中的反包含关系成立。

2  解的存在性和唯一性

以下均令G（x，y）=〈y－Ax，x〉，其中x，y∈n。显然G（x，Ax）=0。令x∈n，对每个λ>0，定义一个函数φλ：n→M，

φλ（x）=argminy∈MλG（x，y）+12‖y－Ax‖2=argminy∈nλG（x，y）+12‖y－Ax‖2+δM（y）

=argminy∈Mλ［〈y－Ax，x〉］+12‖y－Ax‖2

=argminy∈M‖y－（Ax－λx）‖2

=PM（Ax－λx），λ>0，（4）

其中argmin表示使目标函数取最小值时的变量值。由于y

MT ExtraaA@ G（x，y）在n上是凸的，则对于每一个x∈M和λ>0，问题（4）是一个强凸问题，因此它有唯一解。因而φλ是良定的且在M上只有一个值。

定理1  对λ>0，x∈n，x∈Sol（A，M）当且仅当Ax=PM（Ax－λx）。

证明   对任意x∈n，设z=φλ（x）是问题（4）的唯一解，则z∈M，且由引理2和引理3可得0∈λG（x，z）+z－Ax+NM（z）。所以，存在s∈G（x，z），使得0∈λs+z－Ax+NM（z）。因此，由法锥定义可知，

〈Ax－z－λs，y－z〉0 y∈M。（5）

又由于s∈G（x，z），则有

G（x，y）－G（x，z）〈s，y－z〉  y∈M。（6）

对λ>0，结合（5）式、（6）式得，

λ（G（x，y）－G（x，z））〈λs，y－z〉〈Ax－z，y－z〉  y∈M。（7）

充分性：若Ax=PM（Ax－λx）=φλ（x）=z， 由G（x，Ax）=0，结合（7）式得G（x，y）0。因此，对于任意的y∈M，G（x，y）0，即x∈Sol（A，M）。

必要性：设x∈Sol（A，M），因为z∈M，且G（x，Ax）=0，则在（7）式中令y=Ax可以得到，‖Ax－z‖2λG（x，Ax）－λG（x，z）=－λG（x，z）0，且‖Ax－z‖20，所以‖Ax－z‖=0，因此Ax=z=φλ（x）=PM（Ax－λx）。

引理4［4］  令A：n→n是γ－强单调和L-Lipschitz的，则逆变分不等式问题IVI（A，M）有唯一解。假设λ>L24γ时，且设x*是逆变分不等式问题IVI（A，M）的唯一解，则对x∈n，有下式成立

〈Ax－PM（Ax－λx），x－x*〉4λγ－L24λ2γ‖Ax－PM（Ax－λx）‖2，（8）

‖x－x*‖4λ4λγ－L2‖Ax－PM（Ax－λx）‖。（9）

3  二阶动力系统

为了求解逆变分不等式问题IVI（A，M），考虑如下形式的二阶动力系统：

x··（t）+α（t）x·（t）+β（t）（Ax（t）－PM（Ax（t）－λx（t）））=0，

x（0）=x0， x·（0）=v0。（10）

其中t∈［0，+

SymboleB@ ），x（t），x·（t），x¨（t）∈n，α，β：［0，+

SymboleB@ ）→［0，+

SymboleB@ ）是Lebesgue可测函数，λ>0，且x0，v0∈n。

定义5［10］  称x：［0，b］→n（其中b>0）是绝对连续的，如果下列等价性质之一成立：

（i）存在一个可积函数y：［0，b］→n使得x（t）=x（0）+∫t0y（s）ds   t∈［0，b］；

（ii）x是连续的，并且其分布导数x·在［0，b］上是Lebesgue可积的。

定义6［10］  称x：［0，+

SymboleB@ ）→n是动力系统（10）的一个强全局解，如果满足以下性质：

（i）x，x·：［0，+

SymboleB@ ）→n 局部绝对连续，即对b∈（0，+

SymboleB@ ），x，x·在每个区间［0，b］上绝对连续；

（ii）对t∈［0，+

SymboleB@ ），x··（t）+α（t）x·（t）+β（t）（Ax（t）－PM（Ax（t）－λx（t）））=0几乎处处成立；

（iii）x（0）=x0，    x·（0）=v0。

定理2  设α，β：［0，+

SymboleB@ ）→［0，+

SymboleB@ ）是Lebesgue可测函数，使得α，β∈L1loc（［0，+

SymboleB@ ））（即对b∈（0，+

SymboleB@ ），α，β在［0，b］上绝对值可积）。令A：n→n是一个L－Lipschitz连续算子。则对于每个x0，v0∈n，存在动力系统（10）的唯一强全局解。

证明  令x∈n，定义Tx∶=Ax－PM（Ax－λx）∈n，则动力系统（10）可以等价地改写为：

x··（t）+α（t）x·（t）+β（t）Tx（t）=0，x（0）=x0， x·（0）=v0。（11）

由定理1可知，逆变分不等式IVI（A，M）的解集与T的零点集合等价。对任意x，x-∈n，且λ>0，因为A是L-Lipschitz连续的，然后由引理1和Cauchy-Schwarz不等式可得

‖Tx－Tx-‖=‖Ax－PM（Ax－λx）－Ax-+PM（Ax-－λx-）‖

‖Ax－Ax-‖+‖PM（Ax－λx）－PM（Ax-－λx-）‖

‖Ax－Ax-‖+‖Ax－λx－Ax-+λx-‖

2‖Ax－Ax-‖+λ‖x－x-‖（2L+λ）‖x－x-‖，

即T是l-Lipschitz连续的，这里l=2L+λ>0。动力系统（11）可以被等价地改写成乘积空间n×n中的下述一阶动力系统

Y·（t）=F（t，Y（t））， Y（0）=（u0，v0），（12）

Y：［0，+

SymboleB@ ）→n×n， Y（t）=（x（t）， x·（t）），

F：［0，+

SymboleB@ ）×n×n→n×n， F（t，u，v）=（v，－α（t）v－β（t）Tu）。

赋予n×n的内积〈（u，v），（u-，v-）〉n×n=〈u，u-〉+〈v，v-〉和相应的范数‖（u，v）‖n×n=‖u2‖+‖v2‖。则对任意的u，v，u-，v-∈n，和t0，由T是l-Lipschitz连续的，可得

‖F（t，u，v）－F（t，u-，v-）‖n×n=‖v－v-‖2+‖α（t）（v－v-）+β（t）（Tu-－Tu）‖2

（1+2α2（t））‖v－v-‖2+2l2β2（t）‖（u-－u）‖2

（1+2α2（t））+2l2β2（t）‖（（u，v）－（u-，v-））‖n×n

（1+2α（t）+2lβ（t））‖（（u，v）－（u-，v-））‖n×n，

因为α，β∈L1loc（［0，+

SymboleB@ ）），所以F（t，·，·）是1+2α（t）+2lβ（t）-Lipschitz连续的，并且Lipschitz系数是局部可积的。对任意的u，v∈n，和b>0，可以得到

∫b0‖F（t，u，v）‖n×ndt=∫b0‖v‖2+‖α（t）v+β（t）Tu‖2dt

∫b0（1+2α2（t））‖v‖2+2β2（t）‖Tu‖2dt

∫b0（（1+2α（t））‖v‖+2β（t）‖Tu‖）dt，

即可得到F（·，u，v）∈L1loc（［0，b］，n×n）。因此，由一阶动力系统的Cauchy-Lipschitz-Picard定理［13］，动力系统（12）存在唯一的强全局解。故动力系统（10），（11）均存在唯一的强全局解。

4  全局指数收敛

定理3  假设x*是逆变分不等式问题IVI（A，M）的唯一解，A是L-Lipschitz连续和γ-强单调的，且λ>L24γ，k=4λγ－L24λ2γ>0。设对每个t∈［0，+

SymboleB@ ），α，β：［0，+

SymboleB@ ）→［0，+

SymboleB@ ）是局部绝对连续函数，并且满足：

（i）1<ω<α（t）k（4λγ－L2）216λ2β（t）+1；

（ii）α·（t）0且ddt（α（t）β（t））0；

（iii）α2（t）－α（t）－2β（t）k0。

则当t→

SymboleB@ 时，由动力系统（10）生成的强全局解x（t）指数收敛到x*，即存在μ>0，η>0使得

‖x（t）－x*‖μ‖x（0）－x*‖e－ηt，t0。

证明  对所有t∈［0，+

SymboleB@ ），考虑函数h（t）=12‖x（t）－x*‖2。则有h·（t）=〈x（t）－x*，x·（t）〉， h··（t）=‖x·（t）‖2+〈x（t）－x*，x··（t）〉。令z（t）∶=PM（Ax（t）－λx（t）），对t∈［0，+

SymboleB@ ），由动力系统（10）可得h··（t）+α（t）h·（t）+β（t）〈x（t）－x*，Ax（t）－z（t）〉=‖x·（t）‖2，由（8）式可得h··（t）+α（t）h·（t）+kβ（t）‖Ax（t）－z（t）‖2‖x·（t）‖2，其中k=4λγ－L24λ2γ>0。再由动力系统（10）可知，

h··（t）+α（t）h·（t）+k2β（t）‖Ax（t）－z（t）‖2+k2β（t）‖x··（t）+α（t）x·（t）‖2‖x·（t）‖2。（13）

结合（9），（13）式可得，

h··（t）+α（t）h·（t）+k1β（t）h（t）+k2β（t）‖x··（t）‖2+（kα2（t）2β（t）－1）‖x·（t）‖2+kα（t）β（t）〈x··（t），x·（t）〉0，（14）

其中k1=k（4λγ－L2）216λ2。由ddt‖x·（t）‖2=2〈x··（t），x·（t）〉，对t∈［0，+

SymboleB@ ），设a（t）∶=k1β（t）， b（t）∶=kα（t）2β（t），c（t）∶=kα2（t）2β（t）－1， u（t）∶=‖x·（t）‖2，去除（14）式中的非负项k2β（t）‖x··（t）‖2，可得

h··（t）+α（t）h·（t）+a（t）h（t）+b（t）u·（t）+c（t）u（t）0，（15）

在（15）式两边同时乘上et>0，并使用恒等式：

eth··（t）=ddt（eth·（t））－eth·（t），

eth·（t）=ddt（eth（t））－eth（t），

etu·（t）=ddt（etu（t））－etu（t），

可以得到

ddt（eth·（t））+（α（t）－1）ddt（eth（t））+（a（t）+1－α（t））eth（t）+b（t）ddt（etu（t））+（c（t）－b（t））etu（t）0。（16）

由假设条件（i）和（iii）可知a（t）+1－α（t）0， c（t）－b（t）0 t∈［0，+

SymboleB@ ），因此（16）式可改写成

ddt（eth·（t））+（α（t）－1）ddt（eth（t））+b（t）ddt（etu（t））0。（17）

因（α（t）－1）ddt（eth（t））=ddt［（α（t）－1）eth（t）］－α·（t）eth（t）和b（t）ddt（etu（t））=ddt（b（t）etu（t））－b·（t）etu（t），结合（17）式可以得到

ddt（eth·（t））+ddt［（α（t）－1）eth（t）］－α·（t）eth（t）+ddt（b（t）etu（t））－b·（t）etu（t）0。（18）

由假设条件（ii），对t∈［0，+

SymboleB@ ），α·（t）0且b·（t）0。因此由（18）式可得到ddt（eth·（t）+（α（t）－1）eth（t）+b（t）etu（t））0。这说明函数t

MT ExtraaA@ eth·（t）+（α（t）－1）eth（t）+b（t）etu（t）是单调递减的；因此，存在M0，使得eth·（t）+（α（t）－1）eth（t）+b（t）etu（t）M。又因为b（t），u（t）0，则有h·（t）+（α（t）－1）h（t）Me－t;因此，对t∈［0，+

SymboleB@ ），h·（t）+（ω－1）h（t）Me－t;即对t∈［0，+

SymboleB@ ），有

ddt［e（ω－1）th（t）］Me（ω－2）t。（19）

对（19）式两边同时积分可得：

（i）若1<ω<2，则有0h（t）（h（0）－Mω－2）e－（ω－1）t；

（ii）若ω>2，则有0h（t）h（0）e－（ω－1）t+Mω－2e－t（h（0）+Mω－2）e－t；

（iii）若ω=2，则有0h（t）（h（0）+Mt）e－t。

由此可得，x（t）指数收敛到x*。

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Second-order Dynamical System Methodfor Solving Inverse Variational Inequalities

GUO Yang-jun-xiao，LI Jun

（a.School of Mathematics & Information，b.Key Laboratory of Optimization Theory and Applications atChina West Normal University of Sichuan Province，China West Normal University，Nanchong Sichuan 637009，China）

Abstract：In this paper，a new second-order dynamical system method for solving inverse variational inequalities is proposed in Euclidean space under the conditions of strong monotonicity and Lipschitz continuity.Firstly，the existence and uniqueness of solutions to inverse variational inequalities is given.Then，a second-order dynamical system method based on Vuong et al.is improved to solve inverse variational inequalities.Furthermore，the dynamical system has a unique strong global solution under the condition of Lipschitz continuity.Finally，the error bound of the unique solution to inverse variational inequalities is employed to prove that the unique strong global solution of the dynamical system is exponentially convergent under the assumption of strong monotonicity and Lipschitz continuity.

Keywords：strong monotonicity；Lipschitz continuity；inverse variational inequality;second-order dynamical system；strong global solution；exponential convergence