魔法幻六边形

幻方是最早的数学文化之一，它的起源可以追溯到4200年前的“河图洛书”。最简单的幻方是3×3幻方（也叫“九宫格”），要求玩家在九宫格里填上数字1～9，数字不允许被重复使用，使每行、每列以及对角线上的数字之和均为15。经过长时间的研究后，数学家给出了幻方的定义：

在一个n×n的正方形网格中，填入从1～n2的若干正整数，数字不允许被重复使用，使得网格中任意一行、一列及对角线的n个数之和都相等，具有这种性质的图形称为“n阶幻方”。

3阶幻方

从1～9中选择合适的数字填入，使幻方的每一行、每一列和每条对角线上的数字之和均为15。

4阶幻方

从1～16中选择合适的数字填入，使幻方的每一行、每一列和每条对角线上的数字之和均为34。

5阶幻方

从1～25中选择合适的数字填入，使幻方的每一行、每一列和每条对角线上的数字之和均为65。

总的来说，正方形网格的幻方已经被许多数学家和数学爱好者研究得很透彻了。另外一种由正六边形网格组成的幻方大家却所知不多。本期实验，我们就来探究这种有趣的幻六边形。

准备材料：

4种不同颜色的A4纸各两张、直尺、量角器、圆规、水笔。

实验步骤：

1 准备4种颜色的A4纸，每种颜色各两张。在本次实验中，我们选择了粉色、黄色、绿色、蓝色这4种颜色的纸。

2 拿出圆规和直尺，取4.5厘米的长度。

3 拿出一张黄色的A4纸，用圆规在纸上画一个半径为4.5厘米的圆。

4 把圆规的针插在圆周上的任意一点，保持圆规的半径不变，画一段圆弧，圆弧和圆周有1个交点。

5 重复上一个步骤6次，圆周上就有了6个交点。

6 你在圆周上标记的6个点就是六边形的6个顶点，用尺子和铅笔连接相邻的顶点，得到一个正六边形。

7 拿出剪刀，沿正六边形的边把正六边形剪下来。

8 剪完后，我们得到了一个边长为4.5厘米的黄色正六边形。

9 接着，取两张蓝色的A4纸，上下对折之后再左右对折。

10 保持圆规半径不变，在对折后的纸上画一个半径为4.5厘米的圆，并重复步骤4和步骤5，在圆周上画出6个交点。

11 连接相邻的两个交点，得到一个正六边形。

12 拿出剪刀，沿正六边形的边把正六边形剪下来。

13 剪完后，我们得到了8个边长为4.5厘米的蓝色正六边形。

14 重复步骤8到步骤11，将两张绿色、粉色的A4纸对折后再对折，同样画出正六边形。

15 拿出剪刀，沿正六边形的边把正六边形剪下来，又得到了8个绿色正六边形和8个粉色正六边形。

16 在黄色正六边形中写上数字5，在绿色正六边形中写上1，2，4，6，7，8这6个数字。

17 在6个蓝色正六边形中写上3，9，10，15，16，18；在6个粉色正六边形中写上17，14，13，11，12，19。

18 请把这19个边长相同的正六边形拼起来，使正六边形每边上的数字之和相等。经多次尝试后，你会拼出如下图所示的图形。

知识课堂

仔细观察我们拼好的幻六边形，你会有如下有趣的发现：

1. 幻六边形的每条边上有3个正六边形，这种幻方被称为“3阶幻六边形”。

2. 幻六边形包含从1开始，到3n2-3n+1的连续整数。当n=3的时候，3n2-3n+1=19。

3. 数字是5的黄色正六边形在幻六边形的正中央，绿色正六边形在第2圈，粉色和蓝色正六边形在最外侧交错分布。

4. 每条边上的数字之和相等，都是38。

同学们在玩游戏时，可能还会发现，无论你怎么拼这个幻六边形，当n=3的时候，其拼法是唯一的。为什么只有这个幻方有唯一的拼法？因为幻六边形每行、每列的正六边形数量不同，运用数学算法求解后，只有唯一的一组解。