提升高中生数学建模素养——以“数列的概念”为例

文| 李 峰

数学建模是解决实际问题的关键能力，对于培养学生的综合素质和未来的职业发展具有重要意义。本文以湘教版高中数学选择性必修第一册第1章“数列的概念”为例，提出引导学生树立建模意识、创设情境让学生在探究中掌握建模知识、结合实际生活分析数学知识等策略，提高学生的数学建模素养。通过实践活动，学生能够更好地理解和应用数列的概念，培养数学建模能力和问题解决能力。

一、数学建模能力概述

数学建模能力是一种运用数学语言、符号、公式等工具，对现实世界中的问题进行抽象、简化，并建立数学模型的能力。它是一种综合性的思维能力，需要学生具备扎实的数学基础知识、良好的分析问题能力以及一定的创新能力。在数学建模过程中，学生需要将实际问题转化为数学问题，并运用数学方法进行分析和解决，这有助于提高学生的数学应用能力和解决问题的能力。数学建模能力是培养学生创新精神和实践能力的重要途径之一，也是当前高中数学教育中的重要任务。

二、高中生数学建模素养提升策略

（一）引导学生树立建模意识，学习建模知识

在高中教育阶段，提升学生的数学建模素养是至关重要的。数学建模是一种将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解的过程。为了培养学生的建模素养，教师需要引导学生树立建模意识，让他们认识到建模在解决实际问题中的作用和意义。教师需要注重基础知识的讲解，包括代数、几何、概率统计等基础知识。只有掌握了这些基础知识，学生才能更好地理解和掌握建模方法。同时，教师还需要注重培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力。

★情景导入

教师：同学们，大家好！今天我们将学习一个新的数学概念——数列。在我们的日常生活中，数列有着广泛的应用，如工资、奖金、存款等都是按照数列的方式进行计算的。那么，数列的概念是什么呢？让我们一起来探索吧！

学生：老师，数列是不是一组数排列起来？

教师：是的，数列是一组有序的数，按照一定的规律排列。数列中的每个数都有其特定的位置，相邻的两个数之间有一定的关系。如等差数列和等比数列就是两种常见的数列类型。

学生：老师，等差数列和等比数列有什么区别呢？

教师：等差数列是指相邻两个数的差是一个常数的数列，而等比数列是指相邻两个数的比是一个常数的数列。如自然数序列1，2，3，…，就是一个等差数列，而1，2，4，8，…，就是一个等比数列。好了，下面开始我们今天的学习。

★知识点讲解

1.数列的概念

数列是一组有序的数，按照一定的规律排列。数列中的每个数都有其特定的位置，相邻的两个数之间有一定的关系。

2.数列的表示方法

通常可以用字母和一些符号来表示数列。比如，an表示第n项的值，a1表示第一项的值，d表示公差，r表示公比。

3.数列的分类

根据数列项的特点，可以将数列分为等差数列和等比数列。等差数列是指相邻两个数的差是一个常数的数列；等比数列是指相邻两个数的比是一个常数的数列。

★例题讲解

例1.求等差数列1，4，7，10，13，…，的第10 个数。

讲解：首先要确定这个等差数列的公差是多少。根据等差数列的定义，我们可以得出公差是3。那么第10 个数就是1 加上9 个公差，即1+3×9=28。

例2.求等比数列2，4，8，16，32，…，的第5 个数。

讲解：首先要确定这个等比数列的公比是多少。根据等比数列的定义，我们可以得出公比是2，那么第5 个数就是2 乘以2 的四次方，即2×24=32。

★小结与拓展

通过学习，学生对数列的概念、表示方法和分类有了深入的了解，并掌握了如何求等差数列和等比数列的项。这些概念和技巧不仅有助于学生更好地理解数学中的数列知识，还能够在实际生活中加以应用。同时，学生也意识到了不断提高自己的数学建模素养和能力的重要性。除了等差数列和等比数列，还有其他特殊类型的数列如质数列、合数列等。这些特殊类型的数列在数学中也有着重要的应用。例如，质数在密码学中有着重要的应用，而合数则在计算一些复杂数学问题的解时起到关键的作用。因此，了解这些特殊类型的数列也是非常重要的。

（二）创设情境，让学生在探究中掌握建模知识

创设情境是提升高中生数学建模素养的关键策略之一，通过创设具有挑战性和启发性的情境，可以引导学生深入探究数学建模的知识和方法。这种情境化的教学方式有助于学生更好地理解和掌握数学建模的核心概念和技巧，提高他们的数学建模能力。同时，创设情境还可以激发学生的思维活跃性和创新性，培养他们解决问题的能力。

探究活动：数列的规律探索

1.引入情境

教师向学生展示一组数列，如1，4，7，10，13，…，并引导学生观察这些数的规律。引导学生发现这是一个等差数列，其中每个数之间的差是常数。

2.提出问题

（1）这个数列的规律是什么？

（2）如何用数学模型描述这种规律？

（3）你能找出这个数列的其他规律吗？

3.探究过程

定义数列：教师引导学生了解数列的概念，强调数列是有序的数字排列，每个数字都有其特定的位置和规律，同时，让学生了解数列的项数、通项公式等基本概念。

分析规律：教师引导学生使用数学语言描述数列的规律。在这个例子中，学生可以发现这个数列是一个等差数列，其中每个数都比前一个数大3。教师进一步引导学生掌握等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d，其中a1是第一项，d是公差，n是项数。

预测与验证：教师引导学生使用通项公式来预测下一个数或给出新的数列规律。在这个例子中，学生可以预测下一个数为13+3=16，而给出新的数列规律如2，5，8，11，…，然后，让学生通过计算验证他们的预测是否正确。

拓展思考：除了等差数列，还有其他的数列类型如等比数列。教师可以引导学生思考如何探究等比数列的规律。例如，等比数列的通项公式是an=a1×r（n-1），其中a1是第一项，r是公比，n是项数。学生可以尝试使用这个公式来描述一些常见的等比数列，如2，4，8，16，…。

分组讨论：学生分组讨论，尝试找出更多数列的规律和建模方法。小组成员可以互相交流想法，分享发现的结果。教师巡视并给予指导和帮助。

分享与评价：各小组选派代表汇报讨论结果，其他小组提出疑问或补充意见。教师对各组的汇报进行评价和总结，强调建模的重要性和适用性。

巩固应用：教师通过一些练习题或小测验来检验学生对数列规律和建模方法的掌握情况。学生独立完成练习，并积极回答问题。

4.总结与反思

通过此次探究活动，学生亲身经历了从问题提出、规律发现到模型建立的全过程，深刻体会数学建模的魅力和价值。通过数列规律的探索，他们不仅掌握了数列的基本知识，还学会了如何将实际问题抽象为数学模型，并运用数学知识进行求解。通过此次探究活动，学生的建模素养得到了显著提升，他们不仅掌握了建模知识，还提升了建模素养。这对学生未来的学习和职业生涯都将产生深远的影响，更重要的是学会了如何面对挑战、勇于创新的精神品质。

（三）结合实际生活分析数学知识，让学生学以致用

数学建模作为连接现实生活与数学知识的桥梁，其重要性在于训练学生将现实问题转化为数学问题的能力。而要实现这一转化，学生需要深入理解数学知识的实际意义和应用背景。因此，高中数学教师在教学过程中应积极寻找数学知识与生活的结合点，使学生感受到数学的无处不在和实际应用价值。通过这样的教学方式，学生可以逐渐培养起从数学角度观察和分析问题的习惯。具体来说，教师可以引导学生在面对现实问题时运用数学知识和方法去寻求解决方案。这种能力的培养不仅有助于提高学生的数学成绩，还能提升他们的逻辑思维能力和问题解决能力。

活动名称：数列在生活中的应用

1.活动目标

（1）让学生了解数列的概念和基本性质。

（2）让学生掌握数列在实际生活中的应用。

（3）培养学生的数学建模能力和问题解决能力。

2.活动步骤

（1）准备阶段：教师首先向学生介绍了数列的基本概念和性质，包括数列的定义、分类、通项公式等。同时，教师还引导学生了解了数列在实际生活中的应用，如斐波那契数列、等差数列、等比数列等。为了让学生更好地理解数列的概念和性质，教师还提供了一些例题和练习题，让学生进行练习和巩固。

（2）实践活动：在实践活动阶段，学生分组进行以下任务。

任务一：寻找生活中的数列

学生分组后，每组选择一个与数列相关的主题，如时钟的秒针运动、音乐中的音符排列等。学生利用课余时间，通过观察、记录等方式，了解所选主题中的数列现象。在收集数据的过程中，学生需要运用所学的数学知识，对数据进行整理和分析，建立数学模型。同时，教师还提供了一些指导性的问题和建议，帮助学生更好地完成任务。

任务二：解决生活中的数列问题

学生分组后，每组选择一个与数列相关的实际问题，如计算物品排列的种类、分析数据的周期性等。学生利用所学的数学知识，对实际问题进行分析和解决，建立数学模型并得出结论。同时，教师还提供一些指导性的问题和建议，帮助学生更好地完成任务。

（3）课堂展示：在课堂展示阶段，学生将分析结果在课堂上进行展示，与全班同学分享自己的发现和体会。在展示过程中，学生需要运用所学的数学知识，对所建立的数学模型进行解释和说明。同时，教师需要对每个小组的展示进行评价和总结，强调数列在现实生活中的应用价值。为了让学生更好地理解和掌握数列的应用，教师还提供了一些拓展性的问题和建议，帮助学生更好地拓展自己的思维和知识面。

3.总结与反思

教师总结学生在实践活动中的表现和成果，指出存在的问题和不足，并给出改进建议，同时，引导学生反思自己的学习过程和方法，总结经验教训，为今后的学习提供借鉴和指导。通过这次实践活动，学生更加深入地了解了数列的概念和实际应用。他们不仅学会了如何将数学知识应用于实际问题中，还培养了观察能力和数学建模能力。同时，通过与其他同学的交流和分享，他们也增强了团队合作和沟通能力。这种学以致用的教学方式对提高学生的数学素养和综合能力具有积极的意义。

我们发现引导学生树立建模意识、创设情境让学生在探究中掌握建模知识、结合实际生活分析数学知识等策略可以有效提高高中生的数学建模素养。这些策略不仅有助于学生更好地理解和应用数列的概念，还能够培养学生的数学建模能力和问题解决能力。在未来的教育实践中，我们应该更加注重数学建模素养的培养，通过多种方式提高学生的综合素质和未来的职业发展能力。