高中立体几何中球体问题的两类降维方法探究

吴婷

【摘要】高中立体几何有着深厚的数学文化背景，与社会实践息息相关.而立体几何中的球体是现实生活中最常见的数学模型之一.学生通过立体几何球体部分知识的学习能更好地提升数学学科素养，以适应今后的社会发展.然而，在实际教学过程中，不少学生表现出对球体问题的畏难情绪，主要原因在于基础知识概念的模糊、空间想象能力不足以及立体几何到平面几何的知识迁移能力不足等.基于此，文章从将球体问题降维至球心所在平面，将球体问题降维至其他辅助平面两个方面指导学生使用“降维思想”，促使学生利用“降维思想”去解决球体问题.学生掌握这两种降维方法对于掌握立体几何中的球体问题有着重要意义.

【关键词】立体几何；球体；降维思想

引 言

降维思想泛指将一个复杂的数学问题转化为一个相对简单的问题，从而达到简化解决数学问题的思维模式.在处理与球相关的问题时，教师可以指导学生进行立体几何和平面几何知识间的迁移，实现数学上的降空间维度，从而将原本复杂的空间球体问题转化为更容易理解和求解的平面问题.对于高中数学立体几何球体问题的降维策略，教师可尝试指导学生进行以下两大类降维处理方法.

一、将球体问题降维至球心所在平面

过球心的平面截球产生的截面圆即“大圆”，大圆中涵盖了球的关键要素，所以在进行有关球的计算时，可以将空间问题降维转化至大圆所在平面，即运用转化化归思想实现化球为圆来解决问题.在平面内可以利用相似三角形关系、勾股定理、正余弦定理等几何原理求解.

點评 该题通过投影技巧，将三棱锥中线段平方和问题降维至外接球小圆内的线段平方和问题，结合向量方法优化处理，亦可在该小圆所在平面建系实现几何问题代数化.

结 语

通过以上两种降维策略，学生可以更深刻地理解“空间问题平面化”的重要思想，在解决球体问题时更好地理解和应用相关的数学知识.同时这两种降维处理的方法可以帮助学生减少对空间概念的畏惧，更加直观地理解和解决复杂的立体几何问题.因此，在教学中，教师可以通过实际案例和练习来引导学生善于利用动态的思维，根据问题中的关键信息进行加工分析，提高他们解决立体几何球体问题的能力.任何一种思维形态的形成都是始于问题，成于思考，用于实践.教学中的灌溉渗透有利于学生逻辑思维和空间想象能力的发展，能更好地落实立德树人的根本任务.

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