小学数学 “0～9数的认识” 单元学习心理过程的建构*

□徐文彬 陈韵娴，2 潘禹辰

在幼儿园科学领域课程中，已经涉及了 “0～9数的认识” 单元的相关内容［1］。在小学入学前，部分学生甚至已经认识了较大数，并能进行简单运算，如20以内数的认识与加减法。为防止教学 “简单重复” ，笔者基于已经确立的单元知识结构［2-3］，组织一年级新生进行了 “数感发展水平” 的测试，旨在了解学生的认知起点，预设新知与旧识的联系，建构 “0～9数的认识” 的学习心理过程。

一、一年级新生数感发展水平的测试

本测试以一年级新生为测试对象，诊断其数感发展水平。

（一）测试卷的编制

笔者借鉴已有实证研究成果，建构了较为全面的一年级新生数感发展水平评价框架（如表1）。然后基于国内外相关研究中已有的测试题［4-7］，结合教材内容，以贴近学生生活经验的情境为依据，按照评价框架编选题目。

表1 一年级新生数感发展水平的评价框架

本测试采用实物操作与问答相结合的形式。为控制测试时间，笔者通过挖掘各维度之间的关联性（如 “计数” 和 “基数” 等），构建了九个主题式情境任务（括号内为主要测试维度）：快速计数小圆点个数（感数）、数数（计数—数词）、统计小熊数量（计数—可数实体、基数）、比较积木数量（比较）、解决围棋子排序问题（数序与序数）、估计围棋子数量（估计）、分一分围棋子（分与合）、解决与铅笔相关的运算问题（加减法、非正式乘除法）、提交答案（比较、估计、分与合、加减法）。各任务下又由易到难设置了1～4题，采取一题多测、多题一测的方式进行设计。一题多测，即一道题可测同一维度的多个连续性水平或不同维度的平行性水平；多题一测，即通过不同任务中的交错题共同验证同一维度同一水平。在此基础上，对各题进行变式，生成多套平行卷。经预测试对试题进行优化，最终形成正式版测试卷。同时制订评价表和记录表，以辨明学生表现所处的水平，尽可能完整记录测试过程。

本测试卷在编制过程中，全程参考相关文件和教材，并采用专家咨询法进行评估和校正，具备较好的内容效度。需要说明的是，本测验卷还需检验复本信度，即通过两个平行测验卷测量同一组被试所得结果的一致性程度。但受工作量和时间限制，暂无法实施检验，留待后续进行。

（二）测试程序的组织

本研究选取N 市3 所小学及F 市1 所小学，共计152名一年级小学生作为研究对象（如表2）。其中，D 小学为农村小学，整体教育教学水平相对较低，尽管该校学生在测试时已经正式学习过相关内容，但其数感发展的平均水平仍未超过其他3所小学。由此可见，虽然本次测试由于某些客观原因，在施测时间和地点上有一定的局限性，但测试结果并未受到较大的影响。

表2 一年级新生数感发展水平研究对象统计表

（三）测试数据的处理

在全面评估同维度各项相关任务的基础上，以主要任务数据为准则、辅助任务数据为参照，根据评价框架，对被试在各维度所能达到的最高水平进行评定。达到水平n的被试，记为n分。将评定的被试各维度的水平情况录入Excel 软件，并利用SPSS 26.0 软件对信度与效度进行分析。结果显示：Cronbach’sα值为0.747，其信度可以接受；KMO值为0.719，结构效度较好，表明因素分析的适切性较为适中。

二、一年级新生数感发展水平的分析

结合描述统计结果，从质的层面作进一步分析。

（一）一年级新生 “数与数量” 的发展水平

在 “感数” 维度，被试的发展水平总体集中于水平3 和水平4。其中，0.66%的被试仅达到水平1，无法具体回答看到了 “几个” 小圆点，只能感知 “多” 与 “少” ；6.58%的被试达到水平2，只能识别数量为3个的小圆点集合；39.48%的被试达到水平3，能直观感知并识别数量为5 个左右的小圆点集合；33.55%的被试达到水平4，能采用简单的分组策略，识别数量为20 个以内的小圆点集合，如将7 个小圆点分成 “5 个” 和 “2 个” 或 “4 个” 和 “3 个” 两部分；17.76%的被试达到水平5，能采用跳数策略识别数量超过20个的点集；1.97%的被试达到水平6，能采用分组策略快速识别，知道 “5个10是50” 。

在 “计数—数词” 维度，所有被试都能从数词序列中分化出单个数词。其中，13.16%的被试达到水平2，无法从指定起点开始数或只能停于指定终点；44.74%的被试达到水平3，能较好地把握数链的起点与终点；15.79%的被试达到水平4，对自己数了多少个数词有一定的意识；26.31%的被试达到水平5，能自动转变数数方向，有意识地、熟练地正数与倒数。

在 “计数—可数实体” 维度，被试的发展水平主要集中于水平5，部分被试的最高水平为水平1 或水平4，无被试的最高水平为水平2 或水平3。其中，6.72%的被试达到水平1，只能数具体（感知）的物体，故无法作答或不能数出被遮挡的小熊；其余被试能摆脱感知单元的依赖，以数词本身为数数实体，但在回答集合总数时存在一定的偏差，故将其判定为水平4，占9.25%。

在 “基数” 维度，达到水平6 的被试最多，占83.55%，说明被试已能从集合元素个数的意义上来理解基数的含义；达到水平5的被试占1.32%，达到水平4的被试占15.13%，这些被试分别使用最大的数词和最后一个数词作为总数。

（二）一年级新生 “数量关系” 的发展水平

在 “比较” 维度，1.32%的被试达到水平1，仅能比较同类积木的相等小集合；6.58%的被试达到水平2，能比较数量较少且尺寸相近的两个积木集合，多数能采用计数的方式，但由于他们的数量守恒观念尚未发展，所以无法准确比较尺寸相差较多的两个积木集合，如误认为 “大的多” 或 “颜色占得多的就多” ；17.76%的被试达到水平3，具备数量守恒观念，且多数能采用计数方式进行比较。在实物集合比较的基础上，12.50%的被试达到水平4，能比较两个数字的大小，但仅限于一位数；61.84%的被试达到水平5，能准确比较两位数的大小。需要注意的是，水平1 至水平3 的被试表现出较强的过渡发展趋势，部分被试虽不能比较实物集合的数量，但能准确比较一位数和两位数，这可能与家庭和幼儿园的数学幼小衔接教育有关。

在 “数序与序数” 维度，5.92%的被试达到水平1，无法对不同大小的围棋子集合进行排序；15.79%的被试达到水平2，能对不同大小的围棋子集合进行排序，但无法区分诸如 “3颗棋子” 和 “第3颗棋子” 哪个是基数哪个是序数；20.40%的被试达到水平3，能准确指出某一围棋子是一排围棋子中的第几颗，但无法准确地将一颗围棋子插入其中某一特定位置；5.26%的被试达到水平4，能很好地完成序数放置任务；超过半数的被试达到水平5，能理解数量序列关系中的传递性和可逆性。

在 “估计” 维度，3.29%的被试达到水平1，能大胆猜测数量，虽出现空间范围估计倾向，但常使用不切实际的大数或小数进行估计，且无法说明理由，如看见一整盘围棋子（60颗）就认为 “这么多应该有100 颗” ，看见比前一盘多时只多估1 颗（实际多10 颗、15 颗、30 颗不等）；28.29%的被试达到水平2，能根据围棋子所占空间大小匹配较为合适的数量，但仍超出既定范围；47.37%的被试达到水平3，其估计结果较为合理，且能将估计值与心理数线上的一定范围建立联系；21.05%的被试达到水平4，能运用基准或分组策略进行估计，如 “感觉比30多2个10” 。

（三）一年级新生 “数的运算” 的发展水平

在 “分与合” 维度，约半数的被试达到水平2，能在 “分围棋子” 的任务中理解围棋子集合之间数量的等量、互补、互换等关系，但无法给出恰当的解释，也无法全面呈现 “8 颗围棋子” 的所有分解形式。22.37%的被试达到水平3，能全面呈现所有分法。25.00%的被试达到水平4，能从抽象层面全面呈现一个数的所有分解形式。在该水平对应任务的测试中，能明显观察到被试 “受训练” 的痕迹。据不完全了解，部分被试在幼儿园或幼小衔接阶段接触过这类题目。一些学生在填写时会默念如 “7可以分成1和6” 的口诀；有的学生知道 “7的分合有6种（比7 少1）” 的规律，但解释不清；有的学生能规范有序地依次填入 “1、6” “2、5” “3、4” “4、3” “5、2” “6、1” ；有的学生虽能准确填写，但不知道为什么这样填。因此，笔者一方面为学生超前的表现感到惊喜，另一方面也反思这样的衔接是否过于重视知识点本身，而忽略了知识背后的道理。

在 “加减法” 维度，少数被试达到水平1，不理解加减运算的情境而随意作答；25%的被试达到水平2，基本采用数全部的方式得到加减计算的结果；45.39%的被试达到水平3，能通过任意数的方式进行计算；28.29%的被试达到水平4，能较为熟练地运用诸如 “凑十法” 、根据已知算式推算、交换加数位置等推论性策略展开计算，如由 “13+14=27” 推算得到 “14+13=27” 。

在 “非正式乘除法” 维度，被试的发展水平主要集中在水平2，尚无被试达到水平4。其中，24.34%的被试达到水平1，无法理解乘除运算的情境而随意作答；71.05%的被试达到水平2，能通过在情境图上进行圈画或实物操作得出结果，如 “将每3 支铅笔分为一组，共4 组” ；4.61%的被试达到水平3，采用同数加减的策略进行计算，如通过 “3+3+3+3=12，加了4个3” ，知道 “共需4个笔筒” ；暂无被试直接依据 “4个3是12” 得出结果，故无人达到水平4。

根据上述分析，一年级新生具有超出预期的认知起点，因此本单元知识可以也应当作为培养数感的载体，以避免知识的简单重复，使学生在了解、理解、掌握甚至运用部分知识的基础上，根据各自原有的认知水平，实现更大程度的发展。同时，测试中表现出的薄弱点可以确定为本单元学习的难点，如难以区分基数和序数等。

三、 “0～9数的认识” 单元学习心理过程的建构

在一年级新生数感发展已有水平的基础上，预设其学习心理过程的阶段及具体表现。

（一） “0～9数的认识” 单元学习心理过程建构的基础

首先，根据皮亚杰儿童认知发展阶段理论，新知的学习应以学生现有认知水平为起点，即以数感发展水平的测试结果为基准。其次，单元知识结构决定了学习内容及其教学方式，为开展学习活动提供了方向。最后，以建构主义为基础的APOS 理论适用于数学概念的学习，探讨数学学习的心理结构与心理机制。其中，心理结构由低到高分为活动（Action）、程序（Process）、对象（Object）、图式（Schema）四个层次；心理机制则是促进心理结构形成的方法，包括内化、压缩、解压、协调、逆转等。［8］74

值得注意的是，数学学习心理结构的建立并非简单的线性过程，而是在 “程序” 与 “对象” 的交替前进中螺旋上升的环形进程。当 “程序” 被压缩成 “对象” 时，存在反向解压的潜在过程，即还原为先前的 “程序” ，并协调其他 “程序” 形成新 “对象” ，或逆转为具有相反意义的新 “对象” 。综上所述，APOS 理论提供了三种学习新知的方式，即 “活动—程序—对象” “两对象—两程序—相互协调的程序—新对象” 和 “对象—程序—逆转后的程序—新对象” （如图1）。［8］76

图1 基于APOS理论的数学知识建构过程

（二） “0～9数的认识” 单元的学习心理过程

APOS理论只是提供了数学知识建构的一般心理过程，下面将结合 “0～9 数的认识” 单元的具体学习内容以及学生实际情况，将知识结构转化为心理结构，并预设相应的学习活动，从而将知识逻辑转化为学习逻辑（如表3）。

表3 “0～9数的认识” 单元的学习心理过程

上述学习心理过程预设为教学设计提供了参考：阶段1为课前学生的准备状态；阶段2到阶段3的重点是从现实背景中抽象出数，初步理解数0～9的基数、序数的含义；阶段4 重点掌握0～9 数的顺序；阶段5 到阶段6 重点掌握0～9 数的大小比较；阶段7到阶段8重点掌握0～9数的分解与组成；阶段9 到阶段11 重点掌握0～9 数的加减运算；阶段12 回顾并整体建构 “0～9 数的认识” 单元知识结构；阶段13 则强调灵活运用所学知识解决实际问题。由于这一学习心理过程预设并未涵盖数的读写、阶段性练习与复习，因此在实际教学中，教师应根据实际情况适当添加相关活动，将其穿插于各阶段之间。

通过对一年级新生的数感发展水平进行诊断，并据此预设 “0～9 数的认识” 单元的学习心理过程，为设计单元整体教学奠定了基础。