楼面荷载作用下圆弧形曲梁内力

摘要：采用数学分析方法得出楼面均布荷载在圆弧形曲梁上的分布公式。然后通过积分方法推导出单跨圆弧形曲梁典型部位上的剪力、扭矩和弯矩。进一步运用结构力学方法求出圆弧形曲梁弯矩传递系数，利用分层总和法计算包含圆弧形曲梁和直梁的框架在竖向荷载作用下梁柱端部内力。算例分析表明采用上述方法计算出的梁柱内力符合工程精度要求。

关键词：圆弧形曲梁； 框架结构； 楼面荷载； 弯矩传递系数； 分层总和法

中图分类号：TU323.3文献标志码：A

0引言

对框架结构的建筑，设计人员通常希望结构体系比较规则，开间和进深相等的等跨结构体系经常采用。但是，有时为追求美观，转角处一般做成弧形。在尽量不改变原有结构体系的条件下，通常去掉一个角柱，将原本与该角柱相连的两根柱子直接用圆弧形曲梁连接。如果曲梁跨度不大，则中间一般不再另设柱子。于是，便形成如图1所示的结构体系。

此类结构形式总体比较规则，符合抗震的要求，但转角处的梁和柱内力计算却比较复杂。到目前为止，现行建筑结构计算手册缺乏该种结构的内力计算公式，给结构设计带来一定困难。设计人员要么仍按规则结构体系进行计算，要么凭借经验进行估算，或借助结构分析软件进行分析，而没有一种相对简便的理论计算方法。

关于曲梁内力的計算，很多业内人士进行了研究。程翔云等［1］提出了一种在均布线荷载作用下将曲梁转化为直梁的算法，徐皖生等［2］探讨了不等跨连续曲梁结构的内力计算，任宜春［3］、董新梅等［4］讨论了带直梁段的单跨圆弧形曲梁在垂直荷载作用下的内力，蒋纯志等［5］将传递函数方法运用于单跨曲梁的内力和变形计算。叶康生［6］、王佳佳等［7］深入分析了曲梁在弯曲平面内的受力问题。刘志等［8］采用多种有限元软件对某混凝土弧形梁结构进行了受力分析。由于楼面传递到曲梁上的荷载十分不规则，造成曲梁内力状态相对复杂，迄今为止，关于楼面荷载作用下框架结构中圆弧形曲梁的内力还没有人研究。本文通过数学和力学推导，给出一种楼面荷载作用下圆弧形曲梁内力的计算方法，以供参考。

1曲梁荷载分布

要计算圆弧形曲梁的内力，首先应计算楼面荷载在圆弧形曲梁上的分布。楼面传递到圆弧形曲梁上的荷载，既不是集中力，也不是均布荷载，须通过数学分析确定其分布函数。取图2所示的梁板单元进行分析。

楼面荷载通常简化为均布面荷载，设其大小为q，直梁长为l。建立如图3所示的直角坐标系。根据楼面荷载沿最短路线传递到梁上的原则［9］，可以大致确定楼面荷载传递的分区曲线如图3所示。

直线1的方程为式（1）。

y=x（1）

设曲线3的方程为式（2）。

y=f（x）（2）

在曲线上任取一点（x，y），根据楼面苛载的传递规则可得如式（3）。

l-x2+y2=y（3）

由上式可得出该曲线的方程为式（4）。

y=l2-x22l（4）

同理可得曲线2的方程为式（5）。

y=l2-2lx（5）

设曲梁上任一点与原点之连线与x轴夹角为θ，则该直线方程为式（6）。

y=tanθ·x（6）

为求解上述直线与曲线3的交点，将上式变形后代入方程（4）中得式（7）。

y=l2-12lcot2θ·y2（7）

求解上述方程得式（8）。

y=cot2θ+1-1cot2θl（8）

进而可得曲梁靠近x轴半段各点的线荷载密度p为式（9）。

p=cot2θ+1-1cot2θql，θ∈0，π4（9）

上式变形后得式（10）。

p=sinθcos2θ+1-1cos2θql，θ∈0，π4（10）

相应可得出曲梁靠近y轴半段各点的线荷载密度见式（11）。

p=cosθsin2θ+1-1sin2θql，θ∈π4，π2（11）

2楼面荷载作用下曲梁内力

求出了楼面荷载在梁上的分布之后，则可以进一步求出相关构件的内力。内力计算简图如图4所示。

2.1曲梁端部剪力

作为对称结构，在小变形的情况下，曲梁两端的轴力可忽略不计，剪力、弯矩和扭矩大小相等。采用积分法计算曲梁端部剪力V时，可取半结构进行分析，见式（12）。

V=∫π2π4pldθ=π4+2-2ql2（12）

2.2曲梁端部扭矩

在框架结构中，直梁的扭矩通常忽略不计。但是对曲梁而言，扭矩的值相对较大，不可忽略。同样取半结构，采用积分方法计算分析曲梁端部扭矩T，见式（13）。

工程结构潘树华： 楼面荷载作用下圆弧形曲梁内力

T=∫π2π4pl（1-sinθ）ldθ=π4+22-2+ln1+22ql3（13）

2.3曲梁端部弯矩

曲梁的弯矩也没有统一的计算公式，须采用积分方法进行计算。同样取半结构计算曲梁端部弯矩M，见式（14）。

M=∫π2π4plcosθldθ=3-322-π4ql3（14）

3弯矩传递系数

计算竖向荷载作用下框架结构梁柱的内力，通常采用分层总和法［9］，须计算梁柱的弯矩传递系数。对于直梁和柱，弯矩传递系数容易确定。对于曲梁的弯矩传递系数，须采用结构力学分析方法进行具体研究［10］。

研究曲梁的弯矩传递系数，应选取整个曲梁进行分析，并假设曲梁两端均不能抵抗弯矩，只能抵抗扭矩和剪力。

首先求曲梁在荷载作用下的支反力。解除右侧的抗扭约束，代之以扭矩Tr，取曲梁任一点右侧截面进行分析，基本体系及其受力图如图5所示。

如图5左图所示，在曲梁内任一点，由左边的弯矩Ml导致的弯矩和扭矩分别为式（15）。

ml=Mlsinθ

tl=Ml（1-cosθ）（15）

如图5右图所示，在曲梁内任一点，由右边的扭矩所导致的弯矩和扭矩分别为式（16）。

mr=0

tr=-Tr（16）

综合采用叠加法和单位荷载法［11］，可求出曲梁右端的的扭转角φ见式（17）。

φ=∫π20Ml（1-cosθ）ldθ-∫π20TrldθGIP=π2-1Mll-π2TrlGIP（17）

式中：GIP为圆弧形曲梁的抗扭刚度，单位（kN·m2）。

根据曲梁右端的位移协调条件见式（18）。

φ=0（18）

联解上述两式可得式（19）。

Tr=1-2πMl（19）

求出曲梁在弯矩Ml作用下右端的扭矩之后，便可进一步利用叠加法求出曲梁在弯矩作用下左右两端的转角。

在曲梁左端作用一单位弯矩，则在曲梁内任一点所产生的弯矩和扭矩分别为式（20）。

m=sinθ

t=2π-cosθ（20）

进而可求出曲梁左端的转角为式（21）。

φl=MlEI∫π20sin2θldθ+MlGIP∫π202π-cosθ2ldθ

=π4EI+π2－84πGIPMll（21）

式中：EI為圆弧形曲梁的抗弯刚度，单位（kN·m2）。

若在曲梁右端作用一单位弯矩，采用同样的方法，可求得在曲梁内任一点所产生的弯矩和扭矩分别为式（22）。

m=cosθ

t=sinθ-2π（22）

进而可求出曲梁右端的转角为式（23）。

φr=MlEI∫π20sinθcosθldθ+MlGIP∫π20Ml2π-cosθsinθ-2πldθ

=12EI+4-π2πGIPMll（23）

框架结构中，直梁弯矩传递系数为两端简支梁一端受弯矩作用时，不受力端和受力端所产生的转角之比。据此，可求出圆弧形曲梁的弯矩传递系数k：

k=φrφl（24）

4算例分析

某3层框架结构平面布置如图1所示。底层层高为4 500 mm，二、三层层高均为3600 mm。直梁长度全部为6 000 mm。柱截面尺寸均为400 mm×400 mm，直梁、曲梁截面尺寸均为250 mm×600 mm。一、二层恒载为3.0 kN/m2，三层恒载为6.0 kN/m2。

计算出底层柱的线刚度为4.74×105E，二、三层柱的线刚度5.93×105E，直梁的线刚度为7.5×105E。

对于框架梁而言，线刚度可理解为悬壁梁自由端受集中力作用时，固定端弯矩与自由端转角2倍的比值［12］。据此，求出圆弧形曲梁的线刚度为3.53×105E。

对于混凝土结构，G取0.43E，可算出梁的抗扭刚度GIP为0.50EI。

将以上参数代入上述公式中，便可运用分层总和法计算该框架结构在楼面恒载作用下各梁端的弯矩MJ。在对该框架结构进行手算的同时，采用PKPM软件中的TAT—8模块计算出该框架结构在楼面荷载作用下的梁端弯矩MP。此处仅取曲梁端部和紧靠曲梁受影响比较大的直梁端部（如图1中1、2、3、4四点）的弯矩进行比较，计算及比较结果如表1、表2和表3所示。

从以上计算结果可以看出，采用前述计算方法得出的梁端弯矩与采用PKPM软件得出的梁端弯矩之间的最大误差不超过10%，与分层总和法本身的误差处于同一水平，满足结构工程的精度要求。

5结论

（1）基于楼面荷载分布原则，通过数学分析，得出了楼面荷载在圆弧形曲梁上的分布公式。

（2）得出了单跨圆弧形曲梁在楼面荷载作用下梁端剪力、扭矩及弯矩的计算公式。

（3）得出了采用分层总和法计算框架结构内力时圆弧形曲梁的弯矩传递系数。

（4）在工程设计过程中，对楼面荷载作用下的曲梁内力，设计人员要么凭借经验进行估算，要么借助于结构分析软件进行分析。本文给出了一种简化的理论计算方法，算例分析表明，其结果误差和分层总和法的误差处于同一水平，满足结构工程精度要求。

参考文献

［1］程翔云，张卫平.曲梁的弯曲刚度与等代跨长［J］.重庆交通学院学报，1997，16（1）：32-37.

［2］徐皖生，袁浪，李晓英.不等跨连续圆弧曲梁结构设计内力计算法［J］.浙江水利科技，2005（2）：7-9.

［3］任宜春.任意垂直荷载作用下带直线段水平圆弧梁的内力计算［J］.湘潭大学自然科学学报，2003，25（1）：84-86.

［4］董新梅，王彦明.圆弧形水平曲梁在对称垂直荷载作用下的内力计算公式［J］.四川建筑科学研究，2006，32（1）：37-38.

［5］蒋纯志，李海阳，姚敏.等截面曲梁的传递函数方法［J］.科学技术与工程，2006，6（16）：2425-2427.

［6］叶康生，姚葛亮.平面曲梁有限元静力分析的p型超收敛算法［J］.工程力学，2017，34（11）：26-33.

［7］王佳佳，丁敏，蒋秀根，等.考虑二阶弯矩效应的自由扭转圆曲梁静力分析［J］.中国农业大学学报，2019，24（3）：109-116.

［8］刘志，蒋友宝等.某混凝土弧形梁结构考虑楼板约束的受力性能研究［J］.建筑结构，2021，51（21）：54-58.

［9］李碧雄主编.建筑结构设计［M］.北京：中国电力出版社，2008，2.

［10］龙驭球，包世华主编.结构力学教程（Ⅰ）［M］.北京：高等教育出版社，2000，7.

［11］龚志钰，李章政.材料力学［M］.北京：科学出版社，1999，8.

［12］潘树华，刘长武，马利伟.与圆弧形曲梁连结的框架柱侧移刚度［J］.工程建设与设计，2007，12：9-13.

［作者简介］潘树华（1982—），男，硕士，审计师，从事建筑结构、工程审计等方面的工作和研究。